线性代数课件33.ppt
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《线性代数课件33.ppt》由用户(晟晟文业)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 课件 33
- 资源描述:
-
1、3.3 向量组的秩向量组的秩3.3.1 向量组的极大线性无关组与秩向量组的极大线性无关组与秩3.3.4 欧氏空间欧氏空间3.3.2 向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标3.3.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换012:,rA 线性无关向量组线性无关向量组,定义定义3.16简称为简称为极大无关组极大无关组或或最大无关组最大无关组.12,r 若向量组若向量组A的一个部分组的一个部分组A0:满足满足(1)向量组向量组线性无关线性无关;(2)向量组向量组A中的中的任意向量均可由任意向量均可由12,r 线性表示线性表示.则称向量组则称向量组A0:12,r 为向量组为向量组A的一个的一个极大极大
2、由极大无关组的定义可得由极大无关组的定义可得:(2)012:,rA 则向量则向量组组A的的任意线性无关部分组所含向量的个数至多为任意线性无关部分组所含向量的个数至多为r 个个.这是因为这是因为A中任意中任意r+1个向量均可由个向量均可由 012:,rA 线性表示线性表示,根据定理根据定理3.11可知可知:这这r+1个向量线性相关个向量线性相关.(1)向量组向量组A与它的极大无关组与它的极大无关组A0等价等价.是向量组是向量组A的极大无关组的极大无关组,在全体在全体n维向量构成的向量组维向量构成的向量组Rn 中中,n维单位坐标向量组维单位坐标向量组 12,n 线性无关线性无关,且且Rn 中任一向
3、量均可由中任一向量均可由,n 线性表示线性表示,故故 12,n 是是Rn 的一个极大无关组的一个极大无关组.12,事实上事实上,若若n维向量组维向量组 12,n 对任意对任意n 线性无关线性无关,维向量维向量 ,由于由于n+1个个n维向量维向量12,n 线性相关线性相关,故故 可由可由 12,n 线性表示线性表示.所以所以12,n 也是也是Rn 的一个极大无关组的一个极大无关组.Rn 中任意中任意n个线性无关向量组个线性无关向量组12,n 也是也是Rn 的的一个极大无关组一个极大无关组.向量组的极大线性无关组不唯一向量组的极大线性无关组不唯一,定理定理3.12向量组的极大线性无关组向量组的极大
4、线性无关组所含向量的个数所含向量的个数相同相同.两个极大无关组等价两个极大无关组等价,证明证明定理定理3.11推论推论2可知可知:这两个极大无关组所含向量的个数相同这两个极大无关组所含向量的个数相同.设向量组设向量组12I:,s 和和12II:,t 都是向量组都是向量组A的极大无关组的极大无关组,由于一个向量组的由于一个向量组的任何任何故向量组故向量组I与与II等价等价.根据根据故故s=t.但我们有如下定理但我们有如下定理:称为称为向量组的秩向量组的秩向量组的向量组的极大线性无关组所含的向量的个数极大线性无关组所含的向量的个数定义定义3.17全体全体n维向量构成的向量组维向量构成的向量组Rn
5、的秩为的秩为如如:n.向量组向量组线性无关线性无关的的充要条件充要条件是其是其秩等于秩等于向量向量定理定理3.13组所含组所含向量的个数向量的个数.证明证明必要性必要性 设向量组设向量组12,s 线性无关线性无关,则该向量组的极大线性无关组就是其本身则该向量组的极大线性无关组就是其本身,的秩为的秩为s,故向量组故向量组即为向量个数即为向量个数.充分性充分性 若向量组若向量组 12,s 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数s,则该向量组的极大线性无关组由则该向量组的极大线性无关组由s个向量构成个向量构成,本身本身,故为其故为其从而向量组从而向量组 12,s 线性无关线性无关.例例3.23 若向量
6、组若向量组A的秩为的秩为r,12,r 是向量组是向量组A中中r 个个线性无关线性无关的向量的向量,则则 12,r 线性无关组线性无关组.是向量组是向量组A的极大的极大证明证明任意向量任意向量 ,由于向量组由于向量组A的秩为的秩为r,无关部分组所含向量的个数至多为无关部分组所含向量的个数至多为r.则向量组则向量组A的的任意线性任意线性故对向量组故对向量组A中中12,r 必线性相关必线性相关.r+1个向量个向量又又12,r 线性无关线性无关,从而从而 必可由必可由12,r 线性表示线性表示.故故12,r 是向量组是向量组A的极大线性无关组的极大线性无关组.向量组向量组线性相关线性相关的的充要条件充
7、要条件是其是其秩小于秩小于向量向量推论推论组所含组所含向量的个数向量的个数.定理定理3.14 若向量组若向量组A可由可由向量组向量组B线性表示线性表示,的秩为的秩为r,向量组向量组A向量组向量组B的秩为的秩为s,则则.rs 设向量组设向量组A的极大无关组为的极大无关组为 证明证明12,r 向量组向量组B的极大无关组为的极大无关组为 12,s 可由向量组可由向量组B线性表示线性表示,由于向量组由于向量组A则向量组则向量组 12,r 组组B线性表示线性表示,可由向量可由向量而向量组而向量组B可由其极大线性无关组可由其极大线性无关组 12,s 线性表示线性表示,从而向量组从而向量组12,r 可由向量
8、可由向量12,s 线性表示线性表示.又向量组又向量组 12,r 线性无关线性无关,由定理由定理3.11推论推论1可知可知:.rs 推论推论 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.若两个向量组有相同的秩,若两个向量组有相同的秩,例如例如,向量组向量组(I)110,0 201,0 向量组向量组(II)101,0 200,1 向量组向量组(I)和和(II)的秩均为的秩均为2,但这两个向量组不等价但这两个向量组不等价.则它们则它们不一定等价不一定等价.两个向量组的两个向量组的秩相等秩相等,它们满足什么条件等价它们满足什么条件等价?注注证明证明分析分析 由由A组与组与C组等价组等价,B组与组与C
9、组等价组等价A组与组与B组等价组等价.只需证明只需证明:A组与组与(A,B)组等价组等价,B组与组与(A,B)组等价组等价.设设A组与组与B组的秩为组的秩为r,C=(A,B).所以所以 A组可由组可由C组线性表示组线性表示.因为因为 B组可由组可由A组线性表示,组线性表示,所以所以 C组可由组可由A组线性表示组线性表示.因为因为A组是组是C的的部分组部分组,所以所以 A组与组与C组等价组等价.因此因此C组的秩也为组的秩也为r.因因B组的秩为组的秩为r,故故B组的组的极大无关组极大无关组B0含有含有r个向量,个向量,因此因此B0组也是组也是C组组的极大无关组的极大无关组.从而从而C组与组与B0组
10、等价组等价.由由B0组与组与B组等价组等价.故故A组与组与B组等价组等价.例例3.24 若向量组若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示,且它们的且它们的秩相等秩相等,则向量组则向量组A与向量组与向量组B等价等价.定义定义3.18若若V中存在向量组中存在向量组 12,m 满足满足(1)向量组向量组12,m 线性无关线性无关;(2)V中任意向量均可由向量组中任意向量均可由向量组12,m 线性表示线性表示.则称向量组则称向量组 12,m 为向量空间为向量空间V的基的基,记作记作dim(V)=m.量的个数量的个数m称为称为向量空间向量空间V的维数的维数,基中所含向基中所含向这时也称这时也称V
11、为为m维向量空间维向量空间.对对V中任意向量中任意向量,组数组数 存在一存在一12,mk kk使得使得1122,mmkkk称称12,mk kk为向量为向量 在基在基12,m 下的下的坐标坐标.设设V为实数域上的为实数域上的向量空间向量空间,(1)只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间称为称为0维向量空间维向量空间,说明说明(2)若把向量空间若把向量空间 V 看作看作向量组向量组,(3)向量空间向量空间V 的的基不唯一基不唯一.因此它没有基因此它没有基量组的量组的极大无关组极大无关组,那么那么V 的的基基就是该向就是该向V 的的维数维数就是该向量组的就是该向量组的秩秩.(4)注意区分注意区
12、分向量空间向量空间V的维数的维数与与V中向量的维数中向量的维数.(5)若若dimV=r,则则V中任意中任意r+1个向量均线性相关个向量均线性相关.(6)若若W为为V的子空间的子空间,则有则有dimdim.WV nRnR123,n nnR12,n 故故Rn 称为称为 n 维向量空间维向量空间.对任意对任意12(,),Tnna aaR 有有1122,nnaaa12,na aa就是向量就是向量 在基在基12,n 下的下的坐标坐标.n维向量的全体维向量的全体Rn,的极大无关组的极大无关组:的的秩秩为为:(任意任意n个个线性无关线性无关的的n维向量组都是维向量组都是Rn的的极大无关组极大无关组)是一个向
13、量空间是一个向量空间,是向量空间是向量空间Rn的基的基,数数n称为向量空间称为向量空间Rn的的维数维数.(任意任意n个线性无关的个线性无关的n维向量组都是维向量组都是Rn的基的基)由向量组由向量组12,m 所生成的向量空间所生成的向量空间112212,mmmR 显然向量空间显然向量空间V与向量组与向量组12,m 等价等价,所以向量组所以向量组12,m 的的极大无关组极大无关组就是就是V 的一个基的一个基.向量组向量组12,m 的的秩秩12span,mV 若向量组若向量组12,r 是是V的的一个基一个基,则则V可以表示为可以表示为12span,rV 该表达式清楚地显示出该表达式清楚地显示出向量空
14、间向量空间V 的结构的结构.112212,rrrR 就是就是V 的的维数维数.那么那么,同一个向量同一个向量在在不同的基下的坐标有什么关系不同的基下的坐标有什么关系呢呢都可以作为都可以作为V 的一个基的一个基在在 n 维向量空间维向量空间V 中,中,问题问题:坐标是不同的坐标是不同的对于对于不同的基不同的基,任意任意n 个线性无关的向量个线性无关的向量换句话说,换句话说,随着基的改变随着基的改变,向量的坐标如何改变向量的坐标如何改变呢呢1)基变换基变换同一个向量同一个向量的的1212,nn 及及设设11112121212122221122,nnnnnnnnnnppppppppp 称此公式为称此
展开阅读全文