第五节无穷小与无穷大课件.ppt
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- 关 键 词:
- 五节 无穷小 无穷大 课件
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1、第第2章章 极限与连续极限与连续2.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.2.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大例如例如,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx,01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意(2)无穷小是变量)无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;(3)零是可以作为无穷小的唯一的数)零是可以作为无穷小的唯一的数.(1)称一个函数为无穷小,必须指明自变量变化趋
2、势;)称一个函数为无穷小,必须指明自变量变化趋势;注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小,n1时,n例如,之和为1不是无穷小.n1但n个2、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:性质性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质性质3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无有极限的变量与无穷小的乘
3、积是无穷小穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.2.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大特殊情形:正无穷大,负无穷大特殊情形:正无穷大,负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意(1)无穷大是变量)无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;(4)无穷大是一种特
4、殊的无界变量)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认为极限存在认为极限存在)切勿将)切勿将(xfxx(3)称一个函数为无穷大,必须指明自变量变化趋势;)称一个函数为无穷大,必须指明自变量变化趋势;xxy1sin1.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx),3,2,1,0(221)1(kkxk取取,22)(kxyk.)(,Mxykk 充分大时充分大时当当),3,2,1,0(21)2(kkxk取取,kxk 充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界
5、,无界,三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;不恒为零的无穷小的倒数为无穷大不恒为零的无穷小的倒数为无穷大.即即f(x)f(x)limlim设设0 0 x xx x为无穷小.为无穷小.f(x)f(x)1 1时,时,x x当x当x0 02.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大0,0,f(x)f(x)且且0,0,f(x)f(x)limlim设设反之,反之,0 0 x xx x为无穷大.为无穷大.f(x)f(x)1 1时,时,x x当x当x0 0意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为
6、关于无穷小的讨论的讨论.四、无穷小的比较四、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不存在不存在观察各极限观察各极限型)型)(002.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大;记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比,就说,就说如果如果)(,0lim)1(o定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两
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