第二节微积分基本公式课件.ppt
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- 第二 微积分 基本 公式 课件
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1、第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式一、问题的提出一、问题的提出二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四、小结四、小结 思考题思考题【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看定积分公式应有的形式】定积分公式应有的形式】变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中【注】【注】上述结论在一定条件(连续)下
2、具有普遍性上述结论在一定条件(连续)下具有普遍性 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数abxyo)(x x1.【定义】【定义】abxyo2.【积分上限函数的性质】【积分上限函数的性质】xx 【证】【证】dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x),(bax 设设dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)(xxxdttf利用积分中值定理脱掉积分号利用积分中值定理脱掉积分号)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa
3、 (1)xx ,0时时),(fx )(limlim00 fxxx .)()(limlim)(0 xffxxxx abxyoxx )(x x(2)()(0 ,afaxax 同理可得:同理可得:取取若若(3)()(0 ,bfbxbx 同理可得:同理可得:取取若若f 在在a,b连续,由积分中值定理得连续,由积分中值定理得xf )(,xxx 3.【推广】【推广】)()()()(xaxafxbxbf 【证】【证】dttfdttfxaxbxbxa)()()()3(0)()(0)()(dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()(xaxafxbxbf )()()()3(xbxadttfd
4、xd)()()(可导,则可导,则、连续,连续,若若xbxaxf )()()1(xbadttfdxd bxadttfdxd)()()2()()()(xbxadttfdxd【证完】【证完】【思考】【思考】),(?)(为常数为常数badttfdxdba )()(xbxbf )()(xaxaf 【例【例1】求】求.lim21cos02xdtextx 【解】【解】1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e【分析】【分析】这是这是 型不定式型不定式,应用洛必达法
5、则应用洛必达法则,求导去掉积分号求导去掉积分号.00但由于但由于 “积不出积不出”,故不能先求出,故不能先求出定积分定积分再求极再求极限限.dxex2【证】【证】xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()(200 xxdttfdttftxxf)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF也可用积分也可用积分中值定理判中值定理判.【证】【证】,1)(2)(0 dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf
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