chap1概率论的基本概念.ppt
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- chap1 概率论 基本概念
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1、chap1概率论的基本概念这类不确定现象,人们经过长期实践并深入研究之后发现这类现象在大量重复试验或观察下,它的结果却呈现出某种规律性这种在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们以后所说的统计规律性统计规律性这类在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象,我们称之为随机现象随机现象概率论所研究的是随机现象的数量规律概率论的中心课题中心课题就是要给“可能性”以确切的描述,并给出科学的估计方法,它是一门从数量的角度研究随机现象内部隐藏的必然规律的学科数理统计是一门有趣的学科,它为科研工作者提供所必需的科学方法,利用这些方法去收集数据,并用来确定所需的
2、数据量通过样本进行推断,并且度量它们的不确定性,从而做出有意义的决定第一节随机事件在这里,我们把试验作为一个含义广泛的术语,它包括各种各样的科学实验,甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验如:抛一枚硬币,观察正面,反面出现的情况:将一枚银币抛掷三次,观察正面,反面出现的情况:将一枚银币抛掷三次,观察出现正面的次数1、随机试验随机试验的特点:可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现2样本空间 定义:定义:我们将随机试验 的所有可能结果组成的集合称为的样本空间,记为样本空间的元素,即的每个结果称为样本点
3、S1:H,TS2:HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTS3:0,1,2,3S4:1,2,3,4,5,6S5:0,1,2,3,S6:tt0S7:(x,y)T0XYT1,这里x表示最低温度,y表示最高温度并设这一地区温度不会小于T0,也不会大于T1.3随机事件定义:定义:一般,我们称试验的样本空间的子集为的随机事件,简称事件在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件样本空间包含所有的样本点,它是自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件空集不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都
4、不发生,称为不可能事件4事件间的关系与事件的运算设试验E的样本空间S,而是 S的子集.若 则称事件B包含事件,这指的是事件发生必导致事件发生若 且 ,即 。则称事件A与事件B相等。2.事件 称为事件A与事件B的和事件。当且仅当中A,B至少有一个发生时,事件 发生。KABA,BA BA AB BA BxorAxBABA类似地,称knkA1为n个事件nAAA,2,1的和事件;称kkA1为可列个事件,2,1AA的和事件。3.事件,BxandAxxBA称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A,B同时发生时,事件BA发生.BA也记作AB类似地,称knkA1nAAA,2,1为n个事件的积事件;称kkA1,2
5、,1AA为可列个事件的积事件4.事件称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生,B不发生时,事件,BxandAxxBA,BxandAxxBA发生5.若则称事件A与B是互不相容的,或互斥的.这指的是事件A与事件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.BA6.若BAandSBA则称事件A与B是互为逆事件.又称事件A与事件B互为对立事件.记 AB 注:对立事件与互斥事件的区别:1.两事件对立必定互斥,但互斥不一定对立2.互斥的概念适用于多个事件,但对立的概念只适用于两个事件3.两事件互斥只表明两事件不能同时发生,即至多只能发生一个但可以都不发生;两事件对立则表示有且仅有一个发生.事件的运算定律:设
6、A,B,C为事件,则有交换律:结合律:分配律:德.摩根律:ABBAABBA;CBACBACBACBA)()()()()()()()()()(CABACBACABACBABABABABA此外还有,吸收律、重余律、幂等律、差化积:ABABABA例1:一个盒子有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,,10.从中任取一球.令i=取得球号为i,则S=1,2,10.若A=球的标号为偶数,B=球的标号0,则称则称 (1)()()|(APABPABPSABAB条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.条件概率P(B|A)与P(B)的区别 每一个随机
7、试验都是在一定条件下进行的,设B是随机试验的一个事件,则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小.P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小,即P(B|A)仍是概率.条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证)设设A是一事件,且是一事件,且P(A)0,则则1.对任一事件对任一事件B,0P(B|A)1;2.P(S|A)=1;3.设设B1,B 互不相容,则互不相容,则而且,前面对概率所证明的一些重要性质而且,前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用
8、于条件概率.11)()(iiiiABPABPn 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:,)()()|(APABPABPP(A)0 掷骰子掷骰子例:例:B=掷出掷出2点点,A=掷出偶数点掷出偶数点P(B|A)=31A发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中B所含样本点所含样本点个数个数例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:)()()|(APABPABP解法2:2163)|(ABP解:设A=第一颗掷出6点 B
9、=掷出点数之和不小于10应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算21366363例2:一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品。从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(B|A)由条件概率的定义:即 若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)()()|(APABPABP而 P(AB)=P(BA)2、乘法公式若已知P(A),P(B|A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调,有故 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若 P(B)0,则P(BA)=P(B)P(A|B)(2
10、)和和(3)式都称为式都称为乘法公式乘法公式,利利用它们可计算两用它们可计算两个事件同时发生个事件同时发生的概率的概率当P(A1A2An-1)0时,有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式:例3:设袋中装有r只红球,t只白球。每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次,试求第一、第二次取到红球且第三、第四次取到白球的概率。例4:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为
11、9/10。试求透镜落下三次而未打破的概率。例5:某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率?若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率,它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)03、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式例例1 有三个箱子,分别编号为有三个箱子,分
12、别编号为1,2,3,1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球,个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球,白球,3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱,从某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率中任意摸出一球,求取得红球的概率.解:记解:记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球即即 ,且且 B1A、B2A、B3A两两互斥两两互斥A发生总是伴随着发生总是伴随着B1,B2,B3 之一同时发生,之一同时发生,P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)运用加法公式得123)()()(321ABABABA将此例中所用的方法推广到一般的情形,就
13、将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得 31)()()(iiiBAPBPAP代入数据计算得:代入数据计算得:P(A)=8/15P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)定义:设S为试验E的样本空间,n21B,B,B为E的一组事件。若SBBB)ii(n,2,1j,i,ji,BB)i(n21ji则 称为样本空间S的一个划分。n21B,B,Bn21B,B,B为样本空间的一个划分,那么对每次试验,事件n21B,B,B中必有一个且仅有一个发生。全概率公式全概率公式定理:设试验E的样本空间为S,A为E的
14、事件,nBBB,21为S的一个划分,且),2,1(0)(niBPi则)()|()()()()()()()(12211iniinnBPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(A)不易不易,但但A总是总是伴随着某个伴随着某个Bi出现,适当地去构造这一组出现,适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiBAPBPAP1)()()(全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:某一事件某一事件A的发
15、生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n),如果,如果A是由原因是由原因Bi所引起,则所引起,则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生,故发生,故A发生发生的概率是各原因引起的概率是各原因引起A发生概率的总和,即发生概率的总和,即全概率公式全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解例3 甲箱中有5个正品和3个次品,乙箱中有4个正品和3个次品。从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品,求这个产品是正品的概率。例2 采购员要购买10个一包的电器元件,他
16、的采购方法是:从一包中随机抽查3个,如果3个元件都是好的,他才买下这一包,假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含一个次品。求采购员拒绝购买的概率。该球取自哪号箱的可能该球取自哪号箱的可能性最大性最大?实际中还有下面一类问题,是实际中还有下面一类问题,是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见,它所求这一类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球,摸出一球,发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱
17、的概率.1231红红4白白或者问或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子,分别编号为有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球,个白球,2号箱装有号箱装有2红球红球3白球,白球,3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱,某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,从中任意摸出一球,发现是红球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球,一球,发现是红球,求该发现是红球,求该球是取自球是取自1号箱的概率号
18、箱的概率.)()()|(11APABPABP记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球求求P(B1|A).3111)()()|()(kkkBAPBPBAPBP运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(A)将这里得到的公式一般化,就得到将这里得到的公式一般化,就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?niiiiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|(该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它它是在观察到事件是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导已发生的条件下,寻找导致致A发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式
19、贝叶斯公式:设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S。A为为E的事件,的事件,B1,B2,Bn为为S的一个划分,且的一个划分,且P(A)0,ni,21),2,1(0)(niBPi则 贝叶斯公式在实际中有很多应用,它贝叶斯公式在实际中有很多应用,它可以帮助人们确定某结果(事件可以帮助人们确定某结果(事件 B)发生)发生的最可能原因的最可能原因.例例 4 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005,患者,患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常,正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04,现,现抽查了一个人,试验反应是阳性
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