3.4-向量组的最大无关组与秩.ppt
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- 关 键 词:
- 3.4 向量 最大 无关
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1、3向量组线性无关性的判定向量组线性无关性的判定(重点、难点)(重点、难点)向量组向量组 A:a1,a2,am 线性无关线性无关如果如果 k1a1+k2a2+kmam=0(零向量)(零向量),则必有,则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只只有零解有零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示3.4 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩二、矩阵的秩与向量组的秩
2、的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩定义定义3.5 设向量组设向量组 A(含有有限个或者无穷多个向量含有有限个或者无穷多个向量),若在若在A中存在中存在 r 个向量个向量 1,2,r,满足:满足:(1)向量组向量组 A0:1,2,r 线性无关线性无关,(2)向量组向量组 A 中任意中任意 r+1 个向量个向量(若存在若存在 r+1 个向量个向量的话的话)都线性相关都线性相关,则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大线性无关向最大线性无关向量组量组(简称简称最大无关组最大无关
3、组).定义定义3.6 向量组向量组 A的最大无关组所含向量的最大无关组所含向量个数个数称为称为向量组的向量组的秩秩,记作记作 RA.向量组向量组 1,2,m 的秩也记作的秩也记作 R(1,2,m).注注:1.只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组.规定它的秩为规定它的秩为0.2.向量组向量组 1,m 线性无关线性无关 R(1,m)=m.3.向量组向量组 1,m 线性相关线性相关 R(1,m)m.例:例:全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn,求求 Rn 的一的一个最大无关组及个最大无关组及 Rn 的秩的秩解:解:n 阶单位矩阵阶单位矩阵 的列
4、向的列向量组是量组是 Rn 的一个最大无关组,的一个最大无关组,Rn 的秩等于的秩等于n 思考:思考:上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个最大无关组吗?的一个最大无关组吗?12100010,001nEe ee111011001A 矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列(行)向量组的秩矩阵的秩等于列(行)向量组的秩Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 由向量组由向量组 A 线性表示线性表示定理定理3.13 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量
5、组的秩,也等于它也等于它的行向量组的秩的行向量组的秩.二、矩阵的秩与向量组的秩的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系例:例:求求矩阵矩阵 的秩,并求的秩,并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式21112112144622436979A 例:例:设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在
6、的列的第一个非零元所在的列 ,与之对应的是选取矩阵,与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解:解:第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行,故个非零行,故R(A)=3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B R(A0)=3,计算,计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式21111180462 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零
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