《3.3.1几何概型》课件.ppt

1、3几何概型几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称模型，简称_概率公式概率公式自学导引自学导引12长度长度面积面积体积体积几何概型几何概型 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示提示几何概型的概率只与它的长度几何概型的概率只与它的长度(面积或体积面积或体积)有关，有关，而与构成事件的区域形状无关而与构成事件的区域形状无关几何概型概率的适用情况和计算步骤几何概型概率的适用情况和计算步骤(1)适

2、用情况：适用情况：几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的而结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度事件区域的长度(面积或体积面积或体积)成比例成比例(2)计算步骤：计算步骤：判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断型更难于判断计算基本事件空间与事件计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域所含的

3、基本事件对应的区域的几何度量的几何度量(长度、面积或体积长度、面积或体积)这是计算的难点这是计算的难点利用概率公式计算利用概率公式计算名师点睛名师点睛1几何概型的处理方法几何概型的处理方法有关几何概型的计算的首要任务是计算事件有关几何概型的计算的首要任务是计算事件A包含的基本包含的基本事件对应的区域的长度、角度、面积或体积，而这往往很事件对应的区域的长度、角度、面积或体积，而这往往很困难，这是本节难点之一，实际上本节的重点不在于计困难，这是本节难点之一，实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概算，而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概型问题，为此可以参

4、考以下办法：适当选择观察角度型问题，为此可以参考以下办法：适当选择观察角度(原则是基本事件无限性、等可能性原则是基本事件无限性、等可能性)；把基本事件转化；把基本事件转化为与之对应的区域；把随机事件为与之对应的区域；把随机事件A转化为与之对应的区转化为与之对应的区域；利用概率公式给出计算；如果事件域；利用概率公式给出计算；如果事件A的对应区域的对应区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思考不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思考2题型一题型一与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型 如图如图A，B两盏路灯之间的距离是两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安米，由于光线较暗，

5、想在其间再随意安【例例1】装两盏路灯装两盏路灯C、D，问，问A与与C，B与与D之间的距离都不小于之间的距离都不小于10米的概率是多少？米的概率是多少？思路探索思路探索 在在A、B之间每一位置安装路灯之间每一位置安装路灯C、D都是一个都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件合几何概型条件规律方法规律方法将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机

6、会都一样，而一机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解解 取一根长度为取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于那么剪得的两段长度都不小于1 m的概率为多大？的概率为多大？【变式变式1】一只海豚在水池中自由游弋，水池为长一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的长方形，求此刻

7、海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率的概率思路探索思路探索 海豚在水池中自由游弋，其位置有无限个，且海豚在水池中自由游弋，其位置有无限个，且在每个位置是等可能的，故这是几何概型问题，海豚游弋在每个位置是等可能的，故这是几何概型问题，海豚游弋区域的面积与水池面积之比就是所求的概率区域的面积与水池面积之比就是所求的概率题型题型二二与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型【例例2】解解如图所示，区域如图所示，区域是长是长30 m、宽、宽20 m的长方形图中阴影部分表示事件的长方形图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部

8、分理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率的概率由于区域由于区域的面积为的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为，阴影部分的面积为30202616184(m2)规律方法规律方法此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积面积”，套，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率用几何概型公式，从而求得随机事件的概率 已知已知|x|2，|y|2，点，点P的坐标为的坐标为(x，y)，求当，求当x，yR时，时，P满足满足(x2)2(y2)24的概率的概率【变式变式2】解解如图，

9、点如图，点P所在的区域为正方形所在的区域为正方形ABCD的内部的内部(含边界含边界)，满足，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以的点的区域为以(2,2)为圆心，为圆心，2为为半径的圆面半径的圆面(含边界含边界)已知正方体已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为的棱长为a，在正方体内，在正方体内随机取一点随机取一点M.(1)求点求点M落在三棱锥落在三棱锥B1A1BC1内的概率；内的概率；题型题型三三与体积、角度有关的几何概型与体积、角度有关的几何概型【例例3】审题指导审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间的度量关系，再利用相关公式求出其

10、概率的度量关系，再利用相关公式求出其概率【题后反思题后反思】分清题中的条件，提炼出几何体的形状，分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少以及所求的事件占有的几何体是什并找出总体积是多少以及所求的事件占有的几何体是什么几何体并计算出体积么几何体并计算出体积 在在RtABC中，中，A30，过直角顶点，过直角顶点C作射线作射线CM交线段交线段AB于于M，求使，求使|AM|AC|的概率的概率【变式变式3】解解如图所示，因为过一点作射线是均匀如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在的，因而应把在ACB内作射线内作射线CM看做看做是等可能的，基本事件是射线是等可能的，基本事件是射线CM

11、落在落在ACB内任一处，使内任一处，使|AM|AC|的概率只与的概率只与BCC的大小的大小有关，这符合几何概型的条件有关，这符合几何概型的条件设事件设事件D为为“作射线作射线CM，使，使|AM|AC|”数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来包含和直观的图形结合起来包含“以形助数以形助数”和和“以数辅形以数辅形”两两个方面在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形个方面在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题问题(或符合条件的点集问题或符合条件的点集问题)去解决去解决方法技巧数形结合思想方法技巧数形结合思想

12、甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6时到时到7时之间在某处会面，并约定时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率会面的概率思路分析思路分析 甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x轴轴表示甲到达约会地点的时间，表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的轴表示乙到达约会地点的时间，用时间，用0分到分到60分表示分表示6时到时到7时的时间段，则横轴时的时间段，则横轴0到

13、到60与纵轴与纵轴0到到60的正方形中任一点的坐标的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲乙两就表示甲乙两人分别在人分别在6时到时到7时时间段内到达的时间，而能会面的时间时时间段内到达的时间，而能会面的时间由由|xy|15所对应的图中阴影部分表示由于每人到达的所对应的图中阴影部分表示由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的的(即基本事件等可能发生即基本事件等可能发生)，所以两人能会面的概率只与，所以两人能会面的概率只与阴影部分的面积有关，这就转化成与面积有关的几何概型阴影部分的面积有关，这就转化成与面积有关的几何概型问题问题【示示例例】方法点评方法点评 本题的难点是把两个时间分别用本题的难点是把两个时间分别用x、y两个坐标两个坐标轴表示，构成平面内的点轴表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一个一维，从而把时间这一个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不失为一种好方法失为一种好方法单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练