数的概念的扩展课件.ppt

1、 复数的引入复数的引入 数的概念的扩展数的概念的扩展20112011年年4 4月月1515日日N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 原始社会，由于计数的需要产生了自然数原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号：的符号：1 1、2 2、3 3、4 4、，进而建立了自，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集然数的概念。自然数的全体构成自然数集.此时只有自然数，其它的数如正数、负数、此时只有自然数，其它的数如正数、负数、分数分数甚至连零都还没有出现，人们的一切甚至连零都还没有出现，人们的

2、一切活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行加法和乘法运算。加法和乘法运算。一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 但随着生产活动的不断发展，有些活动就但随着生产活动的不断发展，有些活动就无法用数来表示了：无法用数来表示了：如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在还有几坏了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在还有几斗粮食？斗粮食？这一问题在当时是无法用数学解决的，这一问题在当时是无法用数学解决的，因为因为 5 510 10 N N 数集（自然数集）面临着数集（自然数集）面临着

3、第一次扩展第一次扩展一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 自然数集如何扩展呢？自然数集如何扩展呢？引进引进“新数新数”：0和正负整数，组成新数和正负整数，组成新数集集整数集整数集 Z=0，1，2，确定数集扩展的原则：确定数集扩展的原则：第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质，第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质，同时又增加一些新的运算性质。同时又增加一些新的运算性质。引入新概念引入新概念:零和正负整数零和正负整数,数集数集N扩展了扩展了!于是：于是：5 510105 5 Z Z

4、 N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程Z 在整数集的范围内，某些生产活动可以用减在整数集的范围内，某些生产活动可以用减法运算表示了，但类似法运算表示了，但类似“三担粮食均分给七人，三担粮食均分给七人，每人可得多少担粮食？每人可得多少担粮食？”的问题仍然无法解决。的问题仍然无法解决。因为因为 3 37 7 Z Z同学思考同学思考:此时怎么办？此时怎么办？一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程数集（整数集）第二次扩展数集（整数集）第二次扩展表示新数的符号：如表示新数的符号：如 有理数有理数Q=0，1，2，-13,0.72425 13,0.72425 根据数集

5、扩展的原则，引入新数根据数集扩展的原则，引入新数“分数分数”及及引入新概念引入新概念:分数分数数集数集Z又扩展了又扩展了!N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程ZQ一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 整数集的扩展和有理数整数集的扩展和有理数集的建立，大约是在公元前集的建立，大约是在公元前五世纪左右，由当时古希腊五世纪左右，由当时古希腊伟大的数学家伟大的数学家毕达哥拉毕达哥拉斯和其创立的非常有名的毕斯和其创立的非常有名的毕达哥拉斯学派最终完成。达哥拉斯学派最终完成。一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 当时毕达哥拉斯学派认为：当时毕达

6、哥拉斯学派认为：“万物皆数万物皆数”（指整数），（指整数），数是现实的基础，是严整性和数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。宇宙间控制着的永恒的关系。宇宙间一切事物都可归结为整数或整一切事物都可归结为整数或整数之比；世界上只存在整数和数之比；世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什分数，除此以外，没有别的什么数了。么数了。一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 毕达哥拉斯学派学毕达哥拉斯学派学派的一项重大贡献：派的一项重大贡献：证明了勾股定理证明了勾股定理一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程

7、不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长为长为1 1正方形的对角线长正方形的对角线长m m既不是整数也不是分既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数数，是当时人们还没有认识的新数 希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌引起了的恐慌引起了第一次数学危机第一次数学危机。为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。在得

8、知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。伯斯扔进地中海。一一、数的产生和扩展过程概念的、数的产生和扩展过程概念的 希伯斯发现：若：希伯斯发现：若：x2=2 则：则：x Q 为解方程为解方程 x2=2 引入引入“2的平方根概念的平方根概念”，并用符号，并用符号“”表示表示 于是，于是，x2=2 x=同时把它（即同时把它（即 ）称为无理数）称为无理数222从而引发：从而引发：数集（有理数集

9、）第三次扩展数集（有理数集）第三次扩展一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程数集（有理数集）第三次扩展数集（有理数集）第三次扩展 引进引进“新数新数”：无理数：无理数 及其符号表示方及其符号表示方法法 如如：实数实数R=0，1，2，-2,7,2,7,引入新概念引入新概念:无理数无理数,数集数集Q进一步扩展了进一步扩展了!N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程ZQR通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：1、数的概念扩展的动力：、数的概念扩展的动力：解决实际问题数学内部矛盾的需要解决实际问题数学内部矛盾的需要 2、数的概念

10、发展了，数集也就扩展了、数的概念发展了，数集也就扩展了3、因而可以说：数集是随着新数的概念、因而可以说：数集是随着新数的概念的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能适用的矛盾运算在原数集内不能适用的矛盾一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程探究：实数集如何进一步扩展呢？探究：实数集如何进一步扩展呢？问题问题1:解方程解方程 x +1 0所以方程所以方程 x=-1 的解为的解为x=i 或或x=-i 规定：规定：(1)i 的平方等于的平方等于-1，即，即i i=-1 解决办法解决办法：引入：引入 虚数单位虚数单位i i R中的负数

11、无法进行开方运算！中的负数无法进行开方运算！二、实数集的进一步扩展二、实数集的进一步扩展 问题问题2:解方程解方程 x=-2 问题问题3 解方程解方程 (x+1)=-2 2i2ix=，x=-x=-1+,x=-1-2i2i 探究：实数集如何进一步扩展呢？探究：实数集如何进一步扩展呢？规定：规定：(2)实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，进行进行四则运算，进行 四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立。四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立。二、实数集的进一步扩展二、实数集的进一步扩展 17与与虚数单位虚数单位i有关的有关的“新数新数”的产生的产生1，i R-即虚数单位即虚数单位i不是实数；不是实数

12、；2，i与实数与实数b可以进行通常的乘法运算，可以进行通常的乘法运算，即即bi（特别地，（特别地，0i=0 R；b 0时，时，bi R）3，bi与实数与实数a可以进行通常的加法运算，可以进行通常的加法运算，即即 a+bib=0时，时，a+bi=a R；b 0时，时，a+bi R引入新概念引入新概念:虚数单位虚数单位 i数集数集R又扩展了又扩展了!三、复数的概念(1)对于复数对于复数 z=a+bi,其中其中 i 称为虚数单称为虚数单位位(2)对于复数对于复数 z=a+bi (a、b R）当当b=0时，时，z=a 是实数是实数当当b 0时，时，z=a+bi不是实数，称为虚数不是实数，称为虚数定义定

13、义:形如形如a+bi(a、b R）的数）的数 z 称为称为复数复数 a 叫做复数叫做复数 z的实部的实部，记作，记作Re z,即即 a=Re z b 叫做复数叫做复数 z的虚部，记作的虚部，记作Imz,即即 b=Im z 当当b 0且且a=0时，时，z=bi,称为纯虚数称为纯虚数四、复数集合的分类 复数复数 a+bi i(a,bR)实数实数(b=0)虚数虚数(b0)纯虚数纯虚数(a=0)非纯虚数非纯虚数(a0)NZQRC四、复数集合的分类五、回顾与小结五、回顾与小结正整数正整数零零负整数负整数 有理数有理数实数实数b=0 无理数无理数整数整数 分数分数C复数复数z=a+bi（a、b R）虚数虚

14、数b 0纯虚数纯虚数 （a=0）非纯虚数（非纯虚数（a 0）数，是数学中的基本概念，也是人类文数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数集理论的完善程于数的认识与应用，以及数集理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。度，反映了当时数学发展的水平。五、回顾与小结五、回顾与小结 今天，我们所应用的数集，已经构造的今天，我们所应用的数集，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切

15、领域中，它都成为基本的语言和生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，应想到在数的概份人类文明的共同财富时，应想到在数的概念发展的历史过程中，人类的智慧所经历的念发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛。曲折和艰辛。五、回顾与小结五、回顾与小结六、作业基础题基础题：课本：课本P74 第第 1、2、3、4题题补充题补充题：复数：复数z=（2m2-5m+2）+（m2-m-2）i，实数实数m为何值时为何值时：（1）z为实数；（为实数；（2）z为纯虚数；（为纯虚数；（3）z为虚数为虚数分层题分层题：1、复数、复数z=（a2-1）+a（a+1）i （a R）（1）z R的一个充要条件是的一个充要条件是 ；（2）z是纯虚数的一个充要条件是是纯虚数的一个充要条件是 ；（3）z是虚数的一个充要条件是是虚数的一个充要条件是 。2、A=x|x=m+n ,m、n Z，1）、若a=12 、b=2+3 ，求证：abA，abA；2）、试举出两个数x1，x2A，（x20），但 A；3）、给出集合B，A BR，使得对于任意 a、bB（b0），都有 Bab12xx333