正余弦定理1课件.ppt

1、教学目标：教学目标：1、进一步熟悉正余弦定理内容、进一步熟悉正余弦定理内容;2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。难点：难点：1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向2、三角恒等式证明中结论与条件之间、三角恒等式证明中结论与条件之间 的内在联系的内在联系的寻求。

2、的寻求。正余弦定理正余弦定理abc=sinAsinBsinC正正弦弦定定理理：a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAb b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBc c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222222222b+c-acosA=2bca+c-bcosB=2aca+b-ccosC=2ab余弦定理余弦定理解三角形中常用关系式解三角形中常用关系式 A+B+C=sin A+B=sinC,cos A+B=-cosC A+BCA+BCsin=cos cos=sin2222，2ABC1S=absinC=2

3、R sinAsinBsinC2 D DC CB BA A1 2BDAB=CDAC角平分线性质角平分线性质D DC CB BA A圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补A+C=B+D=随堂练习随堂练习 abc1ABC=k,k=sinAsinBsinC1 A 2R B R C 4R DR 2 RABC 、在在中中，那那么么、是是外外接接圆半径圆半径A2 2、在、在ABCABC中，中，bcosA=acosB,bcosA=acosB,则三角形为则三角形为 A A、直角三角形、直角三角形 B B、锐角三角形、锐角三角形 C C、等腰三角形、等腰三角形 D D、等边三角形、等边三角形C3 3、在、在AB

4、CABC中，若中，若a=6,b=7,c=8,a=6,b=7,c=8,则则ABCABC的形状是的形状是 A A、锐角三角形、锐角三角形 B B、钝角三角形、钝角三角形 C C、直角三角形、直角三角形 D D、无法确定、无法确定A4 4、在、在ABCABC中，下列命题正确的是中，下列命题正确的是11AsinA=A=30 BcosA=A=3022、若若、若若C C、若、若a=7,b=6,c=10,a=7,b=6,c=10,则则C C为锐角为锐角D D、满足、满足a=18,b=20,A=150a=18,b=20,A=150o o的的ABCABC一定不存在一定不存在D5 5、在、在ABCABC中，中，c

5、osAcosBsinAsinB,cosAcosBsinAsinB,则则ABCABC为为 A A、等边三角形、等边三角形 B B、直角三角形、直角三角形 C C、等腰三角形、等腰三角形 D D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形C（事实上，（事实上，C为钝角，只有为钝角，只有C项适合）项适合）6 6、在、在ABCABC中，中，sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinBsinC+sinB+sinBsinC+sin2 2C,C,则则A A等于等于 A A、3030o o B B、6060o o C C、120120o o D D、150150o o7ABCB=30,b=50

6、 3,c=150,ABC、在在中中，已已知知那那么么是是A A、等边三角形、等边三角形 B B、直角三角形、直角三角形C C、等腰三角形、等腰三角形 D D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形DC18ABCA30sinA2 、在在中中，“”是是“”的的A A、充分不必要条件、充分不必要条件 B B、必要不充分条件、必要不充分条件C C、充要条件、充要条件 D D、既不充分也不必要条件、既不充分也不必要条件BtanAsinA9ABC=,_tanBsinB、中中，那那么么三三角角形形是是等腰三角形等腰三角形1010、在、在ABCABC中，中，A A、B B均为锐角，且均为锐角，且cos

7、AsinB,cosAsinB,则则ABCABC是是_钝角三角形钝角三角形11ABCsinA=2cosBsinC,ABC_、在在中中，那那么么是是等腰三角形等腰三角形22222212ABCAB=a+b,AC=a+c,BC=b+c,a,b,c0,ABC_ 、已已知知中中，其其中中那那么么是是角角三三角角形形。锐锐0sin(90)sinAB即ABC1ABCa=4,b=5,S=5 3,c 例例、在在中中，已已知知求求 的的值值。1S=absinC,a=4,b=5,S=5 32解解：2S3sinC=C=60120ab2或或222C=60c=a+b-2abcosC=16+25-20=21 c=21222C

8、=120c=a+b-2abcosC=16+25+20=61 c=61（三维）（三维）例例2 2、已知圆内接四边形、已知圆内接四边形ABCDABCD的边长分别为的边长分别为AB=2AB=2，BC=6BC=6，CD=DA=4CD=DA=4，求四边形，求四边形ABCDABCD的面积。的面积。D DC CB BA A解：连接解：连接BDBDABCDABDBCDS=S+S11=AB ADsinA+BC CDsinC22A+C=180sinA=sinC ABCD1S=AB AD+BC CD sinA=16sinA222222BD=AB+AD-2AB ADcosA=CB+CD+2CB CDcosA22222

9、+4-2 2 4cosA=6+4+2 6 4cosA 13cosA=-sinA=22ABCDS=8 3（例（例1变式）变式）222c13ABCb+c-bc=a=+3,AtanBb2 例例、在在中中，和和求求 和和的的值值。222b+c-a1cosA=2bcA02=6 解解：31cosB+sinBsin 120-B1csinC22+3=2bsinBsinBsinB 131+3=cotB+2221tanB=2（三维）（三维）ABC14S=1 tanB=,tanC=-2,ABC2 例例、已已知知，求求的的边长和外接圆面积。边长和外接圆面积。152 5tanB=sinB=,cosB=255解解：2 5

10、5tanC=-2sinC=,cosC=-55 3sinA=sin B+C=sinBcosC+cosBsinC=5222ABC35 2 512S=1=2R sinAsinBsinC=2R=R55525 25 325R=S=625R=1212 152 15a3,b=,c=2RsinA=33（例（例1变式）变式）222tanA-tanBc-b5ABCa+b-c=ab,=,tanA+tanBc 例例、在在中中，且且试判断三角形的形状。试判断三角形的形状。222a+b-c1cosC=C=602ab2 解解：sin A-Bsin A-BtanA-tanBsinAcosB-cosAsinB=tanA+tan

11、BsinAcosB+cosAsinBsin A+BsinC sin A-Bc-bsinC-sinBsinC-sinB=csinCsinCsinC sinB=sinC-sin A-B=sin A+B-sin A-B=2cosAsinB1cosA=A=602 A=B=C=60 三角形三角形ABCABC是正三角形是正三角形（三维）（三维）例例6 6、根据所给条件，判断三角形、根据所给条件，判断三角形ABCABC的形状。的形状。abc1 acosA=bcosB 2 =cosAcosBcosC 1 sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B解解：2A=2B2A+2B=180A=BA+B=9

12、0或或或或ABCABC是是等腰三角形等腰三角形或或直角三角形直角三角形abcsinAsinBsinC2)=cosAcosBcosCcosAcosBcosCtanA=tanB=tanCtanA=tanB=tanCABCABC是是等边三角形等边三角形（例（例1变式）变式）小结小结1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有其中至少有一边一边)，那么这个三角形一定可解。，那么这个三角形一定可解。2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即、正弦定理和余弦定理的特殊功

13、能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁-正、余弦定理。正、余弦定理。4、根据条件选用定理可使解题简便、根据条件选用定理可使解题简便1)1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，如已知如已知A,B,aA,B,a解三角形，则用正弦定理。解三角形，则用正弦定理。2)2)已知三边已知三边a,b,c,a,b,c,一般选用余弦定理求角一般选用余弦定理求角3)3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边再用正弦定理求角。再用正弦定理求角。4)4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。但需要进行讨论，有两解的可能。