江苏省无锡市2020届高三上学期期末考试 数学 Word版含答案.docx

1、 1 2020 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷 数数 学学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 20201 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 集合 Ax|x2k1，kZ，B1，2，3，4，则 AB_ 2. 已知复数zabi(a， bR)， 且满足iz9i(其中i为虚数单位)， 则ab_ 3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用 时为 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二(4)班全体同学中午用 餐平均用时为_分钟 4. 函数 f(x)(a1)x3

2、(a1，a2)过定点_ 5. 已知等差数列an(公差不为 0)，其中 a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比 为_ 6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道做答，小李会做 其中的 3 道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为_ 7. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA11，点 E 为 BC 的中点，则点 A 到平面 A1DE 的距离是_ (第 7 题) (第 8 题) 8. 如图所示的流程图中，输出 n 的值为_ 9. 圆 C：(x1)2(y2)24 关于直线 y2x1 对称的圆的方程为_ 10. 已知正方形 ABCD 的边长

3、为 2，圆 O 内切于正方形 ABCD，MN 为圆 O 的一条动直 径，点 P 为正方形 ABCD 边界上任一点， 则PM PN 的取值范围是_ 2 11. 双曲线 C：x 2 4 y 2 31 的左右顶点为 A，B，以 AB 为直径作圆 O，P 为双曲线右支上 不同于顶点 B 的任一点，连结 PA 交圆 O 于点 Q，设直线 PB，QB 的斜率分别为 k1，k2.若 k1k2，则 _ 12. 若对于任意的正数 a，b，不等式(2aba2)k4b24ab3a2恒成立，则 k 的最大值 为_ 13. 在直角三角形 ABC 中，C 为直角，BAC45，点 D 在线段 BC 上，且 CD1 3 CB

4、.若 tanDAB1 2，则BAC 的正切值为_ 14. 已知函数 f(x)|x21|x2kx9 在区间(0， 3)内有且仅有两个零点， 则实数 k 的取 值范围是_ 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(2a 3b， 3c)，向量 n (cos B，cos C)，且 mn. (1) 求角 C 的大小； (2) 求 ysin A 3sin(B 3 )的最大值 16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD

5、 是平行四边形，O 为其中心，PAD 为锐角三角形， 且平面 PAD底面 ABCD，点 E 为 PD 的中点，CDDP.求证： (1) OE平面 PAB； (2) CDPA. 3 17. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左右焦点分别为 F1， F2， 焦距为 4， 且椭圆过点(2， 5 3)， 过点 F2且不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R，直线 PR 交 x 轴于点 M. (1) 求PF1Q 的周长； (2) 求PF1M 面积的最大值 4 18. (本小题满分 16 分) 一酒企为扩大生产规模，

6、决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵馆， 发酵馆内有 一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形 ABCD(如图所示)，其中 ADAB.结合现有的生产 规模，设定修建的发酵池容积为 450 m3，深 2 m若池底和池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150 元，发酵池造价总费用不超过 65 400 元 (1) 求发酵池 AD 边长的范围； (2) 在建发酵馆时， 发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 m和 b m的走道(b 为常数) 问： 发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小 5 19. (本小题满分 16 分) 已知an，bn均为正项数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，且

7、 a11 2，b11，b22，当 n2，nN*时，Sn112an，bn2（T 2 nT 2 n1） bn1bn1 2Tn1. (1) 求数列an，bn的通项公式； (2) 设 cn（bn2）an b2nbn ，求数列cn的前 n 项和 Pn. 6 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)ln xax，aR，a0. (1) 求函数 f(x)的单调区间； (2) 若函数 f(x)0 有两个零点 x1，x2(x1x2) () 求 a 的取值范围； () 求证：x1x2随着x2 x1的增大而增大 7 2020 届高三模拟届高三模拟考试试卷考试试卷 数学附加题数学附加题 (满分 40 分，考试

8、时间 30 分钟) 21. (本小题满分 10 分) 已知 a， bR， 矩阵 A a b c d .若矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 1 1 ， 点 P(2， 1)在 A 对应的变换作用下得到点 P(1，2)，求矩阵 A. 22.(本小题满分 10 分) 已知曲线 C1： x4cos ， y4sin (其中 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴， 建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为cos( 3 )2 3.设曲线 C1与曲线 C2交于 A， B 两点，求 AB 的长 8 23. (本小题满分 10 分) 如图，矩形 ABCD 所在的平面垂直于平面 AEB，

9、点 O 为 AB 的中点， AEB90， EAB30，AB2 3，AD3. (1) 求异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值； (2) 求二面角 ADEC 的正弦值 24.(本小题满分 10 分) 对于任意的 x1，nN*，用数学归纳法证明：ex 1x n n！. 9 2020 届高三模届高三模拟考试试卷拟考试试卷(无锡无锡) 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 1. 1， 3 2. 8 3. 15 2 4. (0， 2) 5. 4 6. 1 2 7. 6 3 8. 4 9. (x3)2y24 10. 0，1 11. 3 4 12. 2 2 13. 3 14. ( 26 3 ，8)

10、 15. 解：(1) mn， (2a 3b)cos C 3ccos B0.(2 分) 由正弦定理可得 2sin Acos C 3sin Bcos C 3sin Ccos B0，(4 分) 即 2sin Acos C 3sin(BC) 3sin A(6 分) 又 A 为ABC 的内角， sin A0， cos C 3 2 . 又 C 为ABC 的内角，故 C 6 .(8 分) (2) ysin A 3sin(B 3 )sin(B 6 ) 3sin(B 3 )(10 分) 1 2cos B 3 2 sin B 3 2 sin B3 2cos B 3sin Bcos B2sin(B 6 )，(12

11、分) 当 B2 3 时，y 的最大值为 2.(14 分) 16. 证明：(1) 连结 BD，因为底面是平行四边形，故 BD 经过 O 点，且点 O 为 BD 的中 点 又点 E 为 PD 的中点，所以 OEPB.(4 分) 因为 OE平面 PAB，PB平面 PAB， 所以 OE平面 PAB.(6 分) (2) 在平面 PAD 内作 PHAD，由于PAD 为锐角三角形， 设 PHADH. 因为平面 PAD底面 ABCD， 平面 PAD底面 ABCDAD， PHAD， PH平面 PAD， 所以 PH平面 ABCD.(8 分) 又 CD平面 ABCD，所以 PHCD.(10 分) 而 CDDP，PH

12、PDP，PH，PD平面 PAD，所以 CD平面 PAD.(12 分) 而 PA平面 PAD，则 CDPA.(14 分) 17. 解：(1) 由椭圆的焦距为 4，则 c2，从而 a2b24. 10 又椭圆过点(2，5 3)，所以 4 a2 25 9b21，即 36b 225a29a2b2， 消去 b，得 9a497a21440，解得 a29 或 a216 9 (舍去)， 所以 a3.(4 分) 则PF1Q 的周长为 4a12.(6 分) (2) 由(1)得椭圆方程为x 2 9 y 2 51，F2(2，0) 设直线 l 的方程为 yk(x2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则

13、R(x2，y2)， 直线 PR 的方程为 yy1y1y2 x1x2(xx1)， 令 y0，则y1y1y2 x1x2(xx1)，x y1（x2x1） y1y2 x1， 所以 my1（x2x1） y1y2 x1y1x2y2x1 y1y2 2x1x22（x1x2） x1x24 .(8 分) 将直线 l 的方程与椭圆方程联立，并消去 y，得(59k2)x236k2x36k2450， 则 x1x2 36k2 59k2，x1x2 36k245 59k2 ，(10 分) 从而 m 236k 245 59k2 2 36k2 59k2 36k2 59k24 90 20 9 2，(12 分) SPF1M1 2F1

14、M|y1| 1 2 9 22 |y1| 13 4 |y1|13 5 4 ， 所以PF1M 面积的最大值为13 5 4 .(14 分) 18. 解：设发酵池 AD 边长为 x m，则另一边长为225 x m，且 x225 x ，即 x15.(2 分) (1) 2252004(x225 x )15065 400，(4 分) 化简得 x234x2250，解得 9x25，(6 分) 所以发酵池 AD 边长的范围是15，25(8 分) (2) 发酵馆占地面积 S(x8)(225 x 2b)22516b2bx1 800 x ，15x25，(10 分) 令 S2b1 800 x2 2bx 21 800 x2

15、 0，解得 x30 b， (0，30 b) 30 b (30 b，) S 0 S 递减 递增 当30 b15，即 b4 时，AD 边为 15 m，S 最小；(12 分) 11 当 1530 b25，即 36 25b4 时，AD 边长为 30 b m，S 最小；(14 分) 当30 b25 时，即 0b 36 25时，AD 边长为 25 m，S 最小(16 分) 答：(1) 发酵池 AD 边长的范围是15，25 (2) 当 b4 时，AD 边长为 15 m，S 最小；当36 25b4 时，AD 边长为 30 b m，S 最小； 当 0b36 25时，AD 边长为 25 m，S 最小 (注：答不写

16、扣 2 分) 19. 解：(1) 因为当 n2，nN*时 Sn112an，所以 Sn12an1， 两式相减得 an2an2an1，即 an2an1，所以an 1 an 1 2.(2 分) 当 n2 时，a112a2，所以 a21 4，所以 a2 a1 1 2， 所以数列an为等比数列，其通项公式为 an 1 2n.(4 分) 当 n2， nN*， bn2（T 2 nT 2 n1） bn1bn1 2Tn1， 所以(bn2Tn1)(bn1bn1)2(T2nT2n1)， 所以(TnTn1)(bn1bn1)2(T2nT2n1) 因为 TnTn10，所以 bn1bn12(TnTn1)2bn，(6 分)

17、所以数列bn为等差数列，且 b11，b22，所以数列bn的通项公式为 bnn.(8 分) (2) 因为 cn bn2 b2nbnan n2 （n2n） 2n 1 n 2n 1 1 （n1） 2n，(12 分) 所以 Pn( 1 11 1 22)( 1 22 1 322) 1 n 2n 1 1 （n1） 2n 1 1 （n1） 2n， 即 Pn1 1 （n1） 2n.(16 分) 20. (1) 解：因为 f(x)1 xa 1ax x ，x0， 当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增；(2 分) 当 a0 时，x(0，1 a)，f(x)0，x( 1 a，)，f(x)0， 所

18、以 f(x)在(0，1 a)上单调递增，在( 1 a，)上单调递减 综上，当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无减区间； 当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，1 a)，单调递减区间为( 1 a，)(4 分) (2) () 解：由(1)可知： 当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，函数 f(x)至多有一个零点，不符合；(5 分) 当 a0 时，f(1 a)ln a1， 若 f(1 a)ln a10，即 a 1 e时，f(x)0 恒成立，所以函数 f(x)无零点，不符合； 12 若 f(1 a)ln a10，即 a 1 e时，f(x)只有一个零点，不符合； 若 f(1 a

19、)ln a10，即 0a 1 e时，此时 1 ae. f(1)a0，所以 f(x)在(0，1 a)上只有一个零点，(8 分) f( 1 a2)2ln 1 a 1 a，设 1 ate，则 g(t)2ln tt， 因为 g(t)2 t1 2t t 0，g(t)在(e，)上单调递减，g(t)g(e)2e0，即 f(1 a2) 0， 所以 f(x)在(1 a， 1 a2)上只有一个零点，(9 分) 即 0a1 e时，f(x)有两个零点，函数有两个零点 综上，0a1 e时，函数有两个零点(10 分) () 证明： 因为函数 f(x)有两个零点 x1，x2， 所以 ln x1ax1， ln x2ax2 l

20、n（x1x2）a（x1x2）， ln x2 x1a（x2x1）， 两式相比可得 ln(x1x2) （x2x1）ln x2 x1 （x2x1） .(12 分) 令x2 x1t(t1)，则设 ln(x1x2) （t1）ln t （t1） m(t)，m(t) t1 t2ln t （t1）2 . 设 (t)t1 t2ln t，(t)1 1 t2 2 t t22t1 t2 0， 所以 (t)在(1，)上单调递增，(t)(1)0，(14 分) 即 m(t)0，m(t)随着 t 的增大而增大， 所以 ln(x1x2)随着x2 x1的增大而增大 又 e1，即 x1x2随着x2 x1的增大而增大(16 分) 1

21、3 2020 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷(无锡无锡) 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21. 解：由题意得 ab cd 1 1 5 1 1 ，可得 ab5， cd5. (2 分) 又 a b c d 2 1 1 2 ，可得 2ab1， 2cd2， (4 分) 解得 a2，b3，c1，d4，(8 分) A 23 14 .(10 分) 22. 解：由 cos( 3 )2 3可得 (cos cos 3 sin sin 3 )2 3， 即曲线 C2的直角坐标方程为 x 3y4 30；(4 分) 曲线 C1的直角坐标方程为 x2y216，(6 分) 所以圆心到直线的距

22、离为 d4 3 2 2 3，(8 分) 所以 AB2 16124.(10 分) 23. 解： AB2 3，EAB30，AEB90， EB 3，AE3. 以点 E 为坐标原点，EB 所在直线为 x 轴，EA 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系， 则 E(0，0，0)，A(0，3，0)，B( 3，0，0)，C( 3，0，3)，D(0，3，3)，O( 3 2 ，3 2，0)， (1) OC ( 3 2 ，3 2，3)，DE (0，3，3)， |OC |2 3，|DE |3 2， OC DE 9 29 9 2， cosOC ，DE OC DE |OC |DE | 9 2 2 33 2 6 8 ，(

23、2 分) 14 异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值 6 8 .(4 分) (2) 设平面 DCE 的一个法向量为 m(x，y，z)，CE ( 3，0，3)， 则 m DC 3x3y0， mCE 3x3z0， 取 x 3，得 m( 3，1，1)(6 分) 平面 EAD 的一个法向量 n(1，0，0)，(8 分) cosm，n m n |m|n| 3 51 15 5 ， sinm，n 10 5 ， 二面角 ADEC 的正弦值为 10 5 .(10 分) 24. 证明： 当 n1 时，只需证 ex 1x，设 f(x)ex1x(x1)，则 f(1)0. 而 x1 时，f(x)ex 110，故 f(x)在(1，)上单调递增(2 分) 因此 x1 时，f(x)0，即 ex 1x.(4 分) 假设 nk 时不等式成立，即 ex 1x k k！， 则当 nk1 时，设 h(x)ex 1 xk 1 （k1）！，(6 分) 所以 h(x)ex 1（k1）x k （k1）！e x1x k k！0， 故 h(x)ex 1 xk 1 （k1）！在(1，)上单调递增 又 h(1)1 1 （k1）！0， 则 h(x)ex 1 xk 1 （k1）！0，即 e x1 xk 1 （k1）！，nk1 时也成立 综上，对任意的 x1，nN*，都有 ex 1x n n！.(10 分)