考研数学复习-常数项级数及性质课件.ppt

1、09 研究生 数学考试大纲七、无穷级数七、无穷级数考试内容考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区

2、间内的基本性质简敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数考试要求考试要求1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2掌握几何级数与掌握几何级数与 级数的

3、收敛与发散的条件级数的收敛与发散的条件.3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法用根值判别法.4掌握交错级数的莱布尼茨判别法掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系收敛与收敛的关系.6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8了解幂级数在其收敛区间内

4、的基本性质（和函了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和和.9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10掌握一般函数掌握一般函数 的麦克劳林（的麦克劳林（Maclaurin）展开）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上

5、的函数展开为傅里叶级数，会将定义在区间上定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在区间上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式的和函数的表达式.4正项级数的三种判别法正项级数的三种判别法1、比较判别法 52、比值判别法 63、根值判别法7交错级数及其判别法交错级数及其判别法一、什么是交错级数？8 交错级数及其判别法交错级数及其判别法二、判断交错级数敛散性的常用方法：莱布尼兹定理9绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛10绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛11什么是什么是函数项级数函数项级数（其中）（其中）12函数项级数的

6、函数项级数的收敛域收敛域函数项级数的函数项级数的收敛点收敛点与与发散点发散点该级数该级数13函数项级数的函数项级数的和函数和函数若函数项级数的收敛域为D，则对xD可设S(x)级数的和函数11x (|1)x 144.4.1幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域一、什么是一、什么是幂级数幂级数？(1)形如:200102000()()(4.4.1).().)nnnnna x xaa x xa x xa x x 的级数称为（x-xo）的幂级数，其中 ai(i=1,2,3,)均为常数,称为该幂级数的系数.200102000()()().().(7.9.)nnnnna x xaa x xa x xa x x(2

7、)形如:20120.(.0.7.1)nnnnna xaax a xa x的级数称为 x 的幂级数，其中 ai(i=1,2,3,)均为常数.20120.(4.4.).2.nnnnna xaax a xa x由于级数（4.4.1）是当（x-x0）换为 x（或者说是当 x0=0的情形），因此，我们下面主要讨论形如（4.4.2）的幂级数.4.4.1幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域二、幂级数收敛域的二、幂级数收敛域的结构结构特征特征16174.4.1幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域二、幂级数收敛域的二、幂级数收敛域的结构结构特征特征推论推论4.2.44.2.4如果任意项级数121.nnnuuuu 1li

8、mnnnulu满足条件：1(1)1;nnlu当时时，级数绝对收敛1(2)1;nnlu当时时，级数发散(3)1;l当时 时，失效三、幂级数收敛域的三、幂级数收敛域的求法求法18三、幂级数收敛域的三、幂级数收敛域的求法求法以下给出幂级数收敛半径的计算方法.4.4.2 幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质20一、幂级数运算一、幂级数运算4.4.2 幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质21二、和函数的性质二、和函数的性质4.4.2 幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质22一、幂级数运算一、幂级数运算二、和函数的性质二、和函数的性质二、函数二、函数f(x)可展成幂级数的含义可展成幂级数的含义给定函数f(x)，若存在在区间 I 内收敛，且其和恰好等于f(x)的幂级数，即则称00()()nnnf xaxx ()f x 或或0nnna x f(x)在区间I 内可展开成关于xx0（或x）的幂级数.五、五、f(x)展成幂级数的展成幂级数的间接法间接法间接展开法是指以一些已知的函数的幂级数为基础，利用幂级数的性质、变量变换等方法，求出某些函数的幂级数展开式的方法。相对而言，间接展开法的使用更多一些。使用间接展开法的前提是熟记常用的幂级数公式.1(,sin,cos,(1),(1),ln(1)xexxxxx等六个公式)