高等数学高数课件-31-微分中值定理.ppt
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- 高等数学 课件 31 微分 中值 定理
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1、第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、中值定理一、中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则 三、泰勒公式三、泰勒公式 四、函数的单调性与凹凸性四、函数的单调性与凹凸性 五、函数的极值与函数图形的描绘五、函数的极值与函数图形的描绘 六、弧微分与曲率六、弧微分与曲率 二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理一、费马一、费马(Fermat)引理引理四、柯西四、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第一节第一节 中值定理中值定理首先我们观察一首先我们观察一个几何事实个几何事实:ab1 2 xyo)(xfy CAB如果如果f(x)在在
2、(a,b)上上可导,且在可导,且在(a,b)的内点上存在极的内点上存在极值点值点 1或或 2,即即),(),()(11Uxfxf),(),()(22Uxfxf换句话说在极值点处必有换句话说在极值点处必有,0)()(21ff则在曲线则在曲线AB上至少存在一点上至少存在一点C,C,在该点处的切线是在该点处的切线是水平的。水平的。如右图所示如右图所示费马引理费马引理设函数设函数)(xf在点在点0 x的某邻域的某邻域)(0 xU内有定义,内有定义,并且在并且在0 x处可导,处可导,如果对任意的如果对任意的),(0 xUx 有有)()(0 xfxf(或或)()(0 xfxf)证证 不妨设不妨设)(0 x
3、Ux 时,时,).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时,时,;0)()(00 xxfxxf当当0 x时,时,.0)()(00 xxfxxf则则.0)(0 xf由此几何事实,我们引出如下的费马定理:由此几何事实,我们引出如下的费马定理:费马引理费马引理证证 不妨设不妨设)(0 xUx 时,时,).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时,时,;0)()(00 xxfxxf当当0 x时,时,.0)()(00 xxfxxf费马引理费马引理证证 不妨设不妨设)(0 xUx 时
4、,时,).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时,时,;0)()(00 xxfxxf当当0 x时,时,.0)()(00 xxfxxf由极限的保号性,由极限的保号性,费马引理费马引理证证 不妨设不妨设)(0 xUx 时,时,).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时,时,;0)()(00 xxfxxf当当0 x时,时,.0)()(00 xxfxxf由极限的保号性,由极限的保号性,0limx 0limx及函数及函数)(xf在在0 x处可导处可导;0)()(00 xfxf.
5、0)()(00 xfxf所以,所以,.0)(0 xf例例1 1.0)(),(,)()(,/fbabfafbaf使得至少存在一点证明异号与且上可导在设函数分析分析,0)(首先会想到费马定理的结论要证f证明的的可导的极值点,因此是在费马定理中f,的极值点。是函数使得上至少存在一点思路就转化为证明在)(,),(xfxba同本题要证的结论形式相因为费马定理的结论与证证0)()(lim)(,0)()(lim)(,0)(,0)(,/bxbfxfbfaxafxfafbfafbxax于是不妨设由已知条件),()(,),(,0),()(,),(,02211bfxfbbxafxfaax有时当有时当由极限的保号性知
6、,.),(,内取得的最小值必在述所证可知由上上必存在最值在上连续在又bafbafbaf。可知则由费马定理为函数的最小值设0)(,)(),(ffba.)(),(,)()(),()(,kfbabfafkbfaff使得点则至少存在一之间的任一实数与为介于且是可导函数若函数,此结论的意义在于区间上的导函数不论是否连续 一定有介值性质。()()fxfx反之由的介值性是推不出的连续性。()fx导函数的介值性质()(),F xf xkx xa b证证:只须令只须令应用例应用例1的结论的结论.罗尔罗尔(Rolle)定理定理 若函数若函数)(xf在在续,续,在开区间在开区间),(ba内可导,内可导,且在区间端点
7、的函数值且在区间端点的函数值相等,相等,即即),()(bfaf 则在则在),(ba内至少有一点内至少有一点),(ba 使使.0)(f证证)(xf在在,ba连续,连续,必存在最大值必存在最大值M和最小和最小值值.m)1(若若,mM 则则.)(Mxf 故故),(ba 都有都有.0)(f)2(若若,mM ),()(bfaf,ba上连上连闭区间闭区间证证)(xf在在,ba连续,连续,必存在最大值必存在最大值M和最小和最小值值.m)1(若若,mM 则则.)(Mxf 故故),(ba 都有都有.0)(f)2(若若,mM ),()(bfaf 证证)(xf在在,ba连续,连续,必存在最大值必存在最大值M和最小和
8、最小值值.m)1(若若,mM 则则.)(Mxf 故故),(ba 都有都有.0)(f)2(若若,mM ),()(bfaf 最值不可能同时在端点取得最值不可能同时在端点取得.不妨设不妨设),(afM 则在则在),(ba内内使使.)(Mf ),(bax 有有),()(fxf 故由费马引理知故由费马引理知.0)(f证毕证毕.至少存在一点至少存在一点不妨设不妨设),(afM 则在则在),(ba内内使使.)(Mf ),(bax 有有),()(fxf 故由费马引理知故由费马引理知.0)(f证毕证毕.至少存在一点至少存在一点不妨设不妨设),(afM 则在则在),(ba内内使使.)(Mf ),(bax 有有),
9、()(fxf 故由费马引理知故由费马引理知.0)(f证毕证毕.至少存在一点至少存在一点例如,例如,).1)(3(32)(2 xxxxxf在在3,1 上连续,上连续,在在)3,1(上可导,上可导,且且,0)3()1(ff),1(2)(xxf取取),3,1(1(1 则有则有.0)(f几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,的切线是水平的的切线是水平的在该点处在该点处少有一点少有一点上至上至在曲线弧在曲线弧CABCAB罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可
10、能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:易见函数易见函数)(xf断断,不满足闭区间连续的条件不满足闭区间连续的条件,10,0,1)(xxxxf1.在闭区间在闭区间 0,1 的左端点的左端点0 x处间处间尽管尽管)(xf 在开区间在开区间(0,1)内内存在存在,且且,1)1()0(ff切线切线.但显然没有水平但显然没有水平罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的
11、三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:2.10,01,)(xxxxxf我们在第二章第一节中已证明过我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件因此不满足在开区间可导的条件,虽然虽然)(xf在在1,1 内是连续的内是连续的,且有且有),1()1(ff 但是没有水平切线但是没有水平切线.)(xf在在0 x函数函数罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有
12、一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:3.,)(xxf 1,0 x函数函数)(xf虽然满足在闭虽然满足在闭区间区间0,1上连续上连续,在开区在开区间间(0,1)内可导的条件内可导的条件,但但),1()0(ff 显然也没有水平切线显然也没有水平切线.例例2对函数对函数2()sinf xx 在区间在区间0,上上罗尔定理的
13、正确性罗尔定理的正确性.验证验证解解显然显然()f x在在0,上连续上连续,且且(0)()0,ff 而在而在 0,内确存在一点内确存在一点2 使使 22sincos0.2xfxx 在在 0,内可内可导导,不求导数,不求导数,()(1)(2)(3)f xxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解解 因为因为(1)(2)(3)0,fff所以所以()f x在闭在闭从而,从而,使使 1()0,f 1即即是是()fx 的一个零点;的一个零点;使使 2()0,f 例例3判断函数判断函数区间区间上满足罗尔定理的三个条件,上满足罗尔定理的三个条件,1,22,3、内至少存
14、在一点内至少存在一点1,在在(1,2)又在又在 2,内至少存在一点内至少存在一点(2,3)不求导数,不求导数,()(1)(2)(3)f xxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例例3判断函数判断函数解解使使 2()0,f 又在又在 2,内至少存在一点内至少存在一点(2,3)1即即是是()fx 的一个零点;的一个零点;即即 2是是()fx 的一个零点;的一个零点;又因为又因为()fx 为二次多项式,为二次多项式,故故()fx 恰好有两个零点,恰好有两个零点,不求导数,不求导数,()(1)(2)(3)f xxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有
15、几个零点及这些零点所在的范围.例例3判断函数判断函数解解使使 2()0,f 又在又在 2,内至少存在一点内至少存在一点(2,3)1是是()fx 的一个零点;的一个零点;最多只能有两个零点,最多只能有两个零点,和和分别在区间分别在区间(1,2)内内.(2,3)例例4证证证明方程证明方程5510 xx有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.设设5()511,f xxx则则()f x在在0,1上上连续连续,且且(0)1,(1)3.ff 由零点定理由零点定理,存在存在0(0,1),x 使使0()0,f x 即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.设另有设另有110(0,1),xxx
16、使使1()0.f x 因为因为()f x在在01,xx之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,例例4证证证明方程证明方程5510 xx有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.因为因为()f x在在01,xx之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点所以至少存在一点(在在01,xx之间之间),使得使得()0.f 但但4()5(1)0fxx(0,1),x 导致矛盾导致矛盾,故故0 x为唯一实根为唯一实根.例例4证证证明方程证明方程5510 xx有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.因为因为()f x在在01,xx之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔
17、定理的条件,例例5证证设设123,na aaa为为121(1)0321nnaaan 的实数的实数,试证明方程试证明方程12coscos3cos(21)0,naxaxanx在在(0,/2)内至少存在一个实根内至少存在一个实根.作辅助函数作辅助函数121()sinsin33f xaxax1sin(21),21nanxn 满足满足证证 作辅助函数作辅助函数121()sinsin33f xaxax1sin(21),21nanxn 证证 作辅助函数作辅助函数121()sinsin33f xaxax1sin(21),21nanxn 显然显然(0)(/2)0,ff 在在(0,/2)内可导内可导,故由罗尔定理
18、知故由罗尔定理知,存在一点存在一点(0,/2),使使()0,f 续续,在在 0,/2上连上连()f x至少至少即即12()coscos3faa 从而题设方程在从而题设方程在(0,/2)内至少有一个实根内至少有一个实根.cos(21)0nan 例例6设设()f x在在,a b上连续上连续,在在(,)a b内可导内可导,且且()()0.f af b证明证明:存在存在(,),a b 使使()()ff 成立成立.证证 从结论倒推分析知从结论倒推分析知,可引进辅助函数可引进辅助函数()(),xxf x e 由于由于()()0,ab罗尔定理条件罗尔定理条件,易知易知()x在在,a b上满足上满足且且()(
19、)(),xxxfx ef x e因此因此,在在(,)a b内至少存在一点内至少存在一点(,),a b 使使()0,例例6设设()f x在在,a b上连续上连续,在在(,)a b内可导内可导,且且()()0.f af b证明证明:存在存在(,),a b 使使()()ff 成立成立.证证()()(),xxxfx ef x e因此因此,在在(,)a b内至少存在一点内至少存在一点(,),a b 使使()0,例例6设设()f x在在,a b上连续上连续,在在(,)a b内可导内可导,且且()()0.f af b证明证明:存在存在(,),a b 使使()()ff 成立成立.证证()()(),xxxfx
20、ef x e因此因此,在在(,)a b内至少存在一点内至少存在一点(,),a b 使使()0,即即()()0,fefe 因因0,e 所以所以()().ff 例例7证证设函数设函数()f x在在,a b上连续上连续,导导,在在(,)a b内可内可且且()()0.f af b若存在常数若存在常数(,),ca b 使得使得()()0,f af c试证至少存在一点试证至少存在一点(,),a b 使得使得()0.f 因因()()0,f af b故故()f a和和()f b同号同号,不妨设不妨设()0,f a ()0.f b 又因为又因为()()0,f af c所以所以()0.f c 在在,a c和和,c
21、 b上上()f x连续连续,证证不妨设不妨设()0,f a ()0.f b ()0.f c 在在,a c和和,c b上上()f x连续连续,证证()0,f a ()0.f b ()0.f c 在在,a c和和,c b上上()f x连续连续,设设由于由于()f a和和()f c异号异号,()f b()f c和和异号异号,所以所以,至少存在一点至少存在一点1(,),xa c 使使1()0;f x 至少存在一点至少存在一点2(,),xc b 使使2()0.f x 在区间在区间12,xx上上,()f x显然满足显然满足罗尔定理的三个条件罗尔定理的三个条件,即即()f x在在12,xx上连续上连续,在在
22、12(,)xx内可导内可导,12()(),f xf x 所以至少存所以至少存在一点在一点12(,)(,),xxa b 使使()0.f?能否用罗尔定理证明例1再证例再证例1)()(,)()(,0)(,0)(/bfafbfafbfaf不妨设罗尔定理得证。否则,则有若我们不妨设),()(,),(bfxfbabbx有时且当),(0 xac理,存在根据连续函数的介值定0)(),(,).()(fbcbcbfcf使知存在可上应用罗尔定理再在使使知,存在由,00)()()(lim/bfbxbfxfbx),()()(),(00afbfxfbbx使取练习练习 1,()()0,(,),()()0ff af ba b
23、ff设函数 可导 且证明至少存在一点使得分析分析0|)()(,0)()(xxfxfff即证要证或等于等于什么样的原函数的导数)()(xfxf()()().u xf xfx()()()().F xu xf xfx即()(,),()()()()0,()0,()()0F xa bFuffuff如果满足了罗尔定理的条件,则存在使得且不就证明了。练习练习 2.1)(),1,0(,)(),1,0(,0)1()0(,)1,0(,1,0000fxxfxfff使得证明一定存在一点使得且存在内可导在上连续在设函数证明证明由于设辅助函数,)()(xxfxF定理不能直接用RolleFFFF),1()0(,1)1(,0
24、)0(1)(0)()1,0(),0()(,0fFxF。此即,使得即存在运用罗尔定理。上对可微函数于是在.0)(),1,(,1,1)1(,0)()(00000FxxFxxfxF使至少存在上应用零点定理则在由条件例例8 8分析分析02021max3xxmin f xffff x ()(0)+(1)+(2)或xyf xf y若,即有11()(),nniiiif xf y()0,()()iiiifxxyf yf x若,即有11()(),nniiiif xf y这两种情况都构成矛盾,故(,),a b存在使得()0f.ab1 2 xoy)(xfy ABCD再看一个几何事实再看一个几何事实:.,ABCAB平
25、行于弦在该点处的切线上至少有一点在曲线弧如右图所示如右图所示,则即每点都存在导数处都有切线点上连续可导,且在每一在若曲线)(,)(baxf)()()()(的斜率弦切线斜率ABabafbff拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 若函数若函数)(xf在闭区在闭区间间,ba上连续上连续,),(ba 内至少有一点内至少有一点使得使得)()(abfaf 分析分析:条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差).()(bfaf 几何图中几何图中,弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy 曲线曲线)(xf减去弦减去弦,AB所
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