高等数学微积分不定积分(专题)课件.ppt
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- 高等数学 微积分 不定积分 专题 课件
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1、微分与积分微分与积分微分是导数的变型运算微分是导数的变型运算积分是积分是 微分的微分的 逆逆 运运 算算2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),0(内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内,内,定义:定义:可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ,都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(,那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf,或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣原函数存
2、在定理:原函数存在定理:如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续,内连续,简言之:简言之:连续函数连续函数有原函数有原函数.问题:问题:(1)原函数是否唯一?原函数是否唯一?那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF,使使Ix ,都有,都有)()(xfxF .(2)若不唯一它们之间有什么联系?若不唯一它们之间有什么联系?2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣关于原函数的说明:关于原函数的说明:(1)若)若 ,则对于任意常数,则对于任意常数 ,)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf的的原原函函数数.(2)若)若 和和 都是都是 的原函数的原函数)(xF)(x
3、G)(xf则则CxGxF )()((为任意常数)为任意常数)C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()((为任意常数)为任意常数)C2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义:不定积分的定义:不定积分就是原函数族不定积分就是原函数族在在区区间间I内内,CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分,记为,记为 dxxf)(.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣
4、冯国臣例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例3 3 设曲线通过点(设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点(由曲线通过点(1,2),1 C所求曲线
5、方程为所求曲线方程为.12 xy2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然,求不定积分得到一积分曲线族显然,求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义,可知由不定积分的定义,可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论:结论:微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式?能否根据求导公式得出积
6、分公式?结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的,既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明:说明:,0 x,ln Cxxdx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6
7、(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式(根据积分公式(2)Cxdx
8、x 11 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxxkf)()2(.)(dxxfk(k是是常常数数,)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例
9、6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明:说明:以上几例中的被积函数
10、都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表恒等变形,才能使用基本积分表.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2,且此曲线与,且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5,0(,求此曲线的方程,求此曲线的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分
11、的性质 原函数的概念:原函数的概念:)()(xfxF 不定积分的概念:不定积分的概念:CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数?为什么?内是否存在原函数?为什么?),(2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微,故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),
12、()(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数,设置中间变量利用复合函数,设置中间变量.过程过程令令xt2,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣在一般情况下:在一般情况下:设设),()(ufuF 则则.)()(CuFduuf如果如果)(xu (可微)(可微)dxxxfxdF)()()(CxFdxxxf)()()()()
13、(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣设设)(uf具有原函数,具有原函数,dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式(凑微分法凑微分法)说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()(dxxxf观察重点不同,所得结论不同观察重点不同,所得结论不同.)(xu 可可导导,则有换元公式则有换元公式定理定理1 12022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1 1 求求.2sin xdx解解(一)(一)xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解(二)(
14、二)xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解(三)(三)xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)(baxuduufa)(1一般地一般地2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln2
15、1(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812d
16、xx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 1232
17、12321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx
18、)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1313 求求解解(一)(一)dxxsin1.csc xd
19、x xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx (使用了三角函数恒等变形)(使用了三角函数恒等变形)2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣解解(二)(二)dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣解解例例1414 设设 求求 .,c
20、os)(sin22xxf )(xf令令xu2sin,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(si
21、n25 tdtt25cossin (应用(应用“凑微分凑微分”即可求出结果)即可求出结果)2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数.证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t)()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数,是单调的、可导的函数,)()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)(t,又设又设)()(ttf 具有原函数,具有原函数,定理定理2 22022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣第二类积分换元公式第二类积分换元
22、公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣回顾:)()()()(xtdtttfdxxf dxxxf)()()()(xuduuf 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例
23、例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2,0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .
24、ln22Caaxax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下:当被积函数中含有一般规律如下:当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sin
25、h 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中,令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251(三角代换很繁琐)(三角代换很繁琐)21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 2
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