高数课件-114隐函数微分法.ppt

1、11.4 11.4 隐函数的求导公式隐函数的求导公式11.4.1 由一个方程确定的隐函数由一个方程确定的隐函数11.4.2 由方程组确定的隐函数由方程组确定的隐函数11.4.1 由一个方程确定的隐函数由一个方程确定的隐函数隐函数的求导公式隐函数的求导公式)(0),(.1xyyyxF 确定函数确定函数两边对两边对x求导：求导：0),(),(yyxFyxFyx),(),(yxFyxFyyx 这里，这里，x,y都是自变量都是自变量Fxyx，求求确确定定函函数数已已知知方方程程)(122xyyyx yxFFdxdy ,22yxyx 解：解：令令1),(22 yxyxF010 yxdxdy10 yxdx

2、dy比较：比较：022 dxdyyx方程两边对方程两边对x求导：求导：,22yxyxdxdy (x,y都是自变量都是自变量)（x是自变量是自变量y是是x的函数）的函数）例例1.010 yxdxdy已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.解：解：令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 例例2.),(0),(.2yxzzzyxF 确定函数确定函数隐函数的求导公式隐函数的求导公式两边对两边对x求导：求导：0),(),(xzzyxFzyxFzx),(),(zyxFzyxFxzzx 隐函数

3、的求导公式隐函数的求导公式两边对两边对y求导：求导：0),(),(yzzyxFzyxFzy),(),(zyxFzyxFyzzy 这里，这里，x,y都是自变量都是自变量这里，这里，x,y都是自变量都是自变量Fxyxyz解一：解一：令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx ,2yFy yzxzzzyx ,04222求求设设,2zyFFyzzy 例例3.3.解二：方程两边分别对解二：方程两边分别对x和和y求导：求导：0422,0422yzyzzyxzxzzx设设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .分析：从所求偏导判断自变量。分析：从所

4、求偏导判断自变量。解一：解一：令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz ),(),(),(zxyyzyzyxxyxyxzzxz ，说说明明求求；，说说明明求求；，说说明明求求xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 例例4.4.把把z看作看作x，y的函数，方程两边对的函数，方程两边对x求导：求导：把把x看看成成yz,的的函函数数，即即)1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(xyzzyxfz 注注意意：整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 续例续例4.:yx 求求),(,),(yzzyxzyzyxfz 方程两边对方程两边对

5、y求导：求导：),(xyzzyxfz 注注意意：把把y看看成成zx,的的函函数数，即即)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 续例续例4.:zy 求求),(,),(zzxxyzzxyxfz 方程两边对方程两边对z求导：求导：解二：解二：zxyzzyxfzyxF ),(),(令令xyzvzyxu ,yzffFvux 则则,zxffFvuy 1 xyffFvuzzxFFxz ,1vuvuxyffyzff ,vuvuyzffxzff xyFFyx yzFFzy .1vuvuxzffxyff ),(xyzzyxfz 注注意意：续例续例4.),(),(0

6、),(0),(yxvvyxuuvuyxGvuyxF 确确定定的的函函数数由由.,yvxvyuxu 求求1.4.2 方程组的情形方程组的情形 00 xvGxuGGxvFxuFFxvuxvux求偏导：求偏导：解：方程组两边对解：方程组两边对 xvuxvuGxvGxuGFxvFxuF即即线性方程组线性方程组,0),(),(vuvuGGFFvuGFJ若若用消元法或克兰姆法则可解出用消元法或克兰姆法则可解出.,xvxu ),(),(1vxGFJGGFFGGFFxuvuvuvxvx ),(),(1xuGFJGGFFGGFFxvvuvuxuxu 00yvGyuGGyvFyuFFyvuyvuy求求偏偏导导：方

7、方程程组组两两边边对对 yvuyvuGyvGyuGFyvFyuF即即,0),(),(vuvuGGFFvuGFJ若若),(),(1vyGFJGGFFGGFFyuvuvuvyvy ),(),(1yuGFJGGFFGGFFyvvuvuyuyu 克兰姆法则克兰姆法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 那么线性方程组那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以有解，并且解是唯一的，解可以表为

8、表为（方程个数（方程个数=未知量个数）未知量个数）.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111 第第 j 列列 14230321321321xxxxxxxxx,4114113111 D,41111121101 D81141231012 D,121142130113 D3,2,1321xxx解：解：0 由克兰姆法则得：由克兰姆法则得：例：求例：求

9、方程组的解。方程组的解。设设0 yvxu，1 xvyu，求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解一：解一：直接代入公式（略）；直接代入公式（略）；解二：解二：运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，方程的两边对方程的两边对 x 求导并移项求导并移项,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 例例5.5.在在0 J的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 方程的两边对方程的两边对 y 求导，求导，uyvxyuyvyvyyux得得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 解三：解三：dyyuxvdxyvxuxudyvd

10、xyvdyudxD)()(1 22yxxyyxD dyyvxudxyuxvudyvdxyvdyudxxD)()(2 ,2222dyyxyuxvdxyxyvxudu ,22yxyuxvyu ,2222dyyxyvxudxyxxvyudv ,22yxxvyuxv ,22yxyvxuxu .22yxyvxuyv 由克兰姆法则：由克兰姆法则：故所求偏导为故所求偏导为例例6.,sin,cosyyxxyx 试求试求设设 yyyyxxxxyxcossin1sincos0cossin0sincos1:求导求导和和方程两边分别对方程两边分别对.cos,sin,sin,cos:yyxx解以上方程组得解以上方程组得

11、解：解：（先确定自变量（先确定自变量）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF小结小结自变量个数自变量个数=变量个数变量个数 方程个数方程个数(因变量个数因变量个数)（两边求导或（两边求导或微分微分或公式）或公式）（两边求导或（两边求导或微分微分或公式）或公式）（两边求导或（两边求导或微分微分，再解方程组）再解方程组）.)(yzyxzxzyzx 为为可可微微函函数数，求求，其其中中已已知知 解：解：记记)(),(zyzxzyxF ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz 则则zFx1，,)(zyyxzFFx

12、zzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .思考题思考题（在用微分试一试）（在用微分试一试）一、一、填空题填空题:1 1、设设xyyxarctanln22 ,则则 dxdy_._.2 2、设、设zxyz,则则 xz_,_,yz_._.二、二、设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：.1 yzxzyxyx yyxzzzzxxlnln1 yyxzzyzxzln11 练习题练习题三、三、如 果 函 数如 果 函 数),(zyxf对 任 何对 任 何t恒 满 足 关 系 式恒 满 足 关 系 式),(),(zyxfttztytxfk,则称函数则称函数),(zyx

13、f为为 k次齐次函数次齐次函数,试证试证:k次齐次函数满足方程次齐次函数满足方程 ),(zyxkfzfzyfyxfx .四、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数四、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:1.1.设设 203222222zyxyxz ,求求.,dxdzdxdy 2.2.设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求，求.,xvxu （其中（其中gf,具有一阶连续偏导数）具有一阶连续偏导数）13,)13(2)16(zxdxdzzyzxdxdy12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu ,1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv .五、五、函数函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定,且且.,0,0dxduzhyg求求 (hgf,均可微均可微)zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 六六、设设),(txfy 而而t是是由由方方程程0),(tyxF所所确确定定的的yx,的的函函数数,求求.dxdy 七七、设设),(yxzz 由由方方程程),(xzyyxxF =0 0所所确确定定,证证明明:xyzyzyxzx .tyttxxtfFFfFfFdxdy