振型截断法-振动力学方案.ppt

1、 振型叠加法中，需要求出各个阶的固有频率 和与之对应的主振型 ，然后分析响应x(t)。若系统自由度数n很大时，及 不便于也不可能全部求出。若激励频率主要包含低频成分，可撇去高阶振型及固有频率对响应的贡献，只利用较低的前面若干项 及主振型近似分析系统的响应，这就是工程上常采用的振型截断法振型截断法。振型叠加法 振型截断法撇去高阶 及 对响应的贡献利用较低的前面若干项 及iiii12,niiii振型截断法振型位移法振型加速度法1LiLiisx 211()iiiits-1xK P 主要知识点：1）以上两类方法的介绍及对比；2）如何进行截断，即阶数s的确定。1,2,TLs 若记由前知，有坐标变换公式：

2、i0(0)1()(0)cossin()sin(t)dtiiiiiiipiitttQM(i=1,2，s)假设已求得系统较低的前s阶固有频率 (i=1,2，s)及相应的主振型 (i=1,2，s)，由第4章知系统在第 i 个主坐标的响应为：1.1.振型位移法振型位移法ii则有：1 (5.89)sLiLiix 撇去高阶振型部分，就可以得到下列近似的系统响应：其中111222222 (5.91)plppsspsdiagMMM C 由于在上式中响应是由主振型及主坐标的位移叠加组成的，因而这种振型截断法称为振型位移法。i 如果考虑系统的阻尼，并且假定其主阻尼矩阵 是对角阵，那么只需要确定前s阶的振型阻尼比

3、(i=1,2,s)，而将高阶的阵型阻尼比 (i=s+1,s+2,n)都假定为零，即有：pCi (5.90)pplC0C00这时，第i(i=1,2，s)个主坐标的响应式为：1 1）考虑阻尼时，系统的响应）考虑阻尼时，系统的响应：di()di0(0)(0)()(0)cossint1()sin(t)diiiitiiiiiididittipiditetQeM 而表示系统的阻尼矩阵的表达式为：12()()(5.92)TiiiiipiMsCMM()tMxKxP上式可变为：(t)(5.93)-1-1xK PK Mx 已知强迫振动的振动方程为：2.2.振型加速度法振型加速度法将式（5.89）代入上式，并结合下

4、式：L-1-1LLK M 21()()1 ()(5.94)LLsiiiittt-1-1L-1-1LL-1xK PK M K P K P可得到系统的响应近似地为：上式右端第一项是伪静态响应，第二项是由前s阶主振型及主坐标的加速度叠加而成的，因而这种方法称为振型加速度法。由于第二项有 存在，比较起振型位移法，振型加速度法改善了收敛性，即可用更少的主振型和固有频率求出同样精度的响应。式（5.94）中的 可以用积分号下的微分法算出为：21ii20()(0)cos(0)sin()+()sin()(5.95)iiiiiiitiiiippitttQ tQtdMM 221siiii(t)-1-1xK PK M

5、x 利用分部积分，上式也可写为(备后用)：20()(0)cos(0)sin(0)1 +cos()cos()(5.96)iiiiiiitiiiipipitttQtQtdMM 当考虑阻尼时，式（5.93）成为：将式（5.89）代入上式，近似地得：结合第四章公式：故而由式（5.92）及主振型的正交性，上式右端第二项为：21()-1K M(t)(5.97)-1-1-1xK PK CxK Mx(t)(5.98)LLLL-1-1-1xK PK CK M 2 2）考虑阻尼时，系统的响应）考虑阻尼时，系统的响应：21121 2siiipiiipiisiiiiiMM于是系统的响应近似地为：21121=(t)-(

6、5.99)ssiiiiiiiii-1x K P1112()()2 ()()sTiiLLiiLLipisTiiiiLLipiMM-1-1K CKMMK MM下面通过例5.8来观察使用振型截断法时如何选取阵型的个数s。例5.8：如下图所示，四层楼建筑，简化为刚性楼板和弹性支柱。其余四张为不同的振型图。已知：顶层楼板上作用有简谐激振力：；若激振频率分别为：1costP010.531.31）；2）；3）1()x t分别用振型位移法和振型加速度法计算顶层楼板的响应 。其中各主振型的归一化是使最大的元素为1。1100132080002530037K1000020000200003M1.000001.000

7、000.901450.154360.779100.099631.000000.448170.496550.539890.158591.000000.235060.437610.707970.63688211222233244176.72 13.294879.70 29.6601687.46 41.0793122.79 55.882系统刚度矩阵、质量矩阵、固有频率及振型矩阵已知如下。解：由公式 求出主质量、主刚度：2piTpiiipiiMKMM112233442.87288,507.6952.17732,1915.394.36658,7368.433.64239,11374.4ppppppppM

8、KMKMKMK已知激振力向量为：1()000 costPtP由第4章知：假设 简谐激振力P P(t)与响应同频率，即：()sintt0PP其中 是激振力幅的常数列向量；0P则系统在主坐标下对该激振力的稳态响应幅值为：0T0Q P故激振力幅为：011021031041,0.90145,0.15436QPQPQPQP 又由第4章知，此时主坐标的稳态响应为：02cos (a)(1)iipiiQtK（1）当采用阵型位移法时，系统的的响应近似为：ii1()(s4)siiitx其中顶层楼板的响应为：111(t)()(s4)(b)siiixt 因为振型叠加法有n项，下面只截取前4项，将 写出；并指出当所截取

9、振型个数为s=1,s=2及s=3时的响应部分，即：1(t)x其中此时，激振频率分别取：1121212121.0cos()507.695(1/176.72)1.0cos 1915.39(1/879.70)(0.90145)(0.90145cos)7368.43(1/1687.46)(0.15436)(0.15436cos)11374.4(1/3122.79)Ptx tPtPtPt (c)2s3s 1s 130,0.56.6468,1.353.402.将上述顶层楼板的响应表示为：11()cosx tPt下表列出了不同频率下系数 的值：可以看出：当振型个数取s=1时，振型位移法得到的响应对三种激振频

10、率的任何一种都存在较大的误差；取s=3时，响应在 时是相当精确的，但在时，响应的误差任较大。这是因为 接近于 （前），第四阶主坐标的响应在 中占重要成分，而振型截断法却没有包括它。100.5或31.331.341()x t（2）当采用振型加速度法计算响应时，先算出柔度矩阵：32.604171.354170.729170.312501.354171.354170.729170.31250100.729170.729170.729170.312500.312500.312500.312500.31250-1FK由式（5.94），顶层楼板的响应近似为：111 11211()cost (s4)siii

11、ix tf P 将式(a)代入上式，得：2111 1121()cost (s4)(d)siiiix tf P 为与精确解比较，仍将上式按（c）的形式写为：311212212()2.60417*10cos1.0cos 176.72 507.695(1/176.72)1.0cos 879.701915.39(1/879.70)x tPtPtPt212212(0.90145)(0.90145cos)1687.467368.43(1/1687.46)(0.15436)(0.15436cos)(e)3122.79 11374.4(1/3122.79)PtPt2s3s 1s 将上述顶层楼板的响应表示为：下

12、表列出了不同频率下系数 的值：11()cosx tPt从上表可以看出：对于 的静态载荷，振型加速度法得到精确解，实际上由式(d)得知，这个精确解是由伪静态响应给出的；010.5 对于 的低频情况，振型个数取s=1时已经得到相当好的近似解；取s=2时，响应的精度相当于振型位移法中取s=3时的精度；31.3 而 时，出于与振型位移法相同的原因，振型加速度法同样得不到精度较好的解。根据上例可知，在使用振型截断法求系统响应时，必须把分布在激振频率 附近的固有频率 所对应的主振型都包括在内。工程实践当中，当计入激振频率值20%范围内的固有频率对应的主振型时，一般已能得到较好的近似解。另，有结论：对于低频

13、激振力，振型加速度法求出的响应比振型位移法所得到的更好一些。下面以无阻尼系统为例说明原因：第4章有公式：(m-k)()TpiipiiiMKtP主坐标下的系统 从而得21()TiiiipitM P 将上式代入(5.94)，得到：1111()()1 ()()(5.100)ssTiiiiiipisTLiiipixttKtK-1-1LK PPKP211()siiiit-1xK Pn 根据第4章柔度矩阵的模态展开式可知，上式右端第二项圆括号中的部分可以写为：11111)1 =(5.101)nsTTiiiiiipipinTiiHi spiKKK F 于是式(5.100)可表示为：()(5.102)LtLH

14、x F P 称为剩余柔度矩阵，上式右端第二项正是振型加速度法比振型位移法多出的部分。HF 先考虑振型位移法中撇去的高阶振型部分：021121isin(1)1 ()(t)(1)TnniHiiii si spiinTiii spiHPtKK P 对于低频激振力，当 (i=s+1,s+2,，n)时，上式近似为i11()()()(5.103)nTHHiii spittK H PF P 正因为振型加速度法中增添了对高阶振型部分的近似项 ，因而求出的响应比振型位移法求出的要好。()tHF P 振型截断法中包括的主振型个数不仅与激振频率有关，而且与激振力的空间分布有关。如果某些主振型与激振力正交，那么即使这

15、些主振型对应的固有频率接近激振频率，它们也不会被激发，例如在对称结构上施加对称的激振力，结构系统的反对称型主振型就不会被激发，因此振型截断法中就无需包括它们。小结：（1）振型截断法也是近似解法，且对激振频率有一定要求；（2）低频激振力时，振型加速度法求出的响应比振型位移法 求出的要好；（3）在使用振型截断法求系统响应时，必须把分布在激振 频率 附近的固有频率 所对应的主振型都包括在内，也就是 的 20%的范围。n人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。