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1、三角函数史正弦、余弦三角学开创之初，希腊人思考的是定圆各中心角所对应的弦长全弦.如托勒密约85-165把圆周角分成360份，把直径分为120份，然后对于圆心角COB求对应弦的长直径的1/120为弦的度量单位.而印度人则不同，他们研究一个角的倍角所对弦的一半，即AOB对应的半弦长BD.例如，印度为我们知道的最早的数学家阿利耶毗陀476-550，他把圆周分成36060=21600份，然后根据公式C周长=2r，3.141，求得圆半径的近似值3438份，再求出各圆周角所对的半弦的长以半径的1/3438为度量单，这与现今的正弦sine概念接近了一步，且已有弧度制思想的雏形.当时阿利耶毗陀称此半弦为jlv

2、a，意即弓弦，这个词阿拉伯人音译为dschiba，后经多次转抄，误作dschiab，意思是胸膛，海湾或凹处，已与原意有出入.至12世纪，意大利人T柏拉图又将此字译成拉丁文sinus胸当，此即今日正弦一词的来由. 1631年邓玉涵1576-1630汤若望1591-1666与徐光启1562-1633编译的大测一书，将sinus译成正半弦或前半弦，简称正弦，此即我国正弦一词的来源.正弦、余弦cosine函数的现代定义起源于欧拉.正割、余割起源正割secant、余割cosecant两个概念由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发940-998首先引入.sec这个略号是1626年荷兰数基拉德1595-1630在

3、他的三角学中首先使用，后经欧拉采用才得以通行.正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的.正弦定理在ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆半径，则有 称此定理为正弦定理. 正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔威发940-998首先发现与证明的.中亚细亚人阿尔比鲁尼973-1048给三角形的正弦定理作出了一个证明.也有说正弦定理的证明是13世纪的阿塞拜疆人纳速拉丁在系统整理前人成就的基础上得出的.三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）. 尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来 定义三

4、角函数，是欧拉（1707-1783）在著名的无穷小分析引论一书中首次给出的.在欧拉之前 ，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的.如古希腊的托勒密（85-165）定半径为60；印度人阿利耶毗陀（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地 计算三角函数值曾定半径为600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107.因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段（如弦）的长. 意大利数学家利提克斯（1514-1526）改变了前人的做法，即过去一般称AB为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如图），而利提克斯却把它称为AOB的正弦，从而使正

5、弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了. 到欧拉时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比.三角的历史一简介：三角学创始于公元前约年，为当时天文学家希伯诸斯（Hipparchus of Nicaea）用以作为研究天文的工具.至十五世纪中叶，三角学始突飞猛进，有关平面三角及球面三角之解法，均曾详细论及.故三角学从开始长足的进展至目前之规模，不过四百余年而已.三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元年，实际导源于希腊文trigono (三角) 和 metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法）.现在，三角学的研究范围已不仅限于三角

6、形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具.希伯诸斯据说曾编着了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了三角学之父的称谓.三角学有两大分支：球面三角（研究球面）与平面三角（研究平面）.十六世纪末期，三角学已成为一个内容清晰可辨的数学体系.一连串的改进一直延续至今，三角学实质上已广泛地应用于天文、地理、航海、物理、建筑、测量、工程、航空、音乐和经济学等.三角学可以说是最实际与最具应用性的数学分支之一.（取自于澈府子女子高中数学系列丛书 及三角函数丁俊浩）二希帕克、梅内劳斯、托勒玫和希腊的三角学关于三角学的起源还说不清.在兰德纸草书中有一些涉及棱锥体底上二面角的余切的问题，巴比伦楔形书板普林顿号

7、实际上包括一个重要的余割表.也许现代对古代美索不达米亚数学的研究将揭示实用三角学的显著进展.公元前四、五世纪的巴比伦天文学家已经收集了大量的观察数据，现在知道，其中大部分传到了希腊.这就是说古代的天文学产生了球面三角学.也许最著名的古代天文学家是希帕克（ Hipparchus），他生活在大约公元前年.虽然希帕克于公元前年在历山大里亚做过春分的观察，但是他最重要的观察是在罗得岛商业中心的著名的天文台进行的.希帕克是一位十分仔细的观察者，他所确定的平均太阴月与现在测得的数值相比，其误差不超过”.他准确地计算了黄道的倾角，发现并估计了秋分点的岁差.这些业绩使他在天文学上享有盛誉.有人说他还计算过太阴

8、视差，确定过月亮的近地点和平均移动，并且曾编过个恒星的目录.把圆分成360的划分法介绍到希腊的也是希帕克也许是希普西克（Hipsicles，大约公元前年）.据说，他曾提倡过用纬度和经度来定地球上地点的位置.我们对于这些成果的知识来自第二手材料，因为几乎没有希帕克的任何原著被保存下来.然而，对我们来说，希帕克有比在天文学上更重要的成就，那就是他在三角学的发展中所起的作用.四世纪的评论家亚历山大里亚的泰奥恩曾把十二本讨论弦表（tableof chords）设计的论着归功于希帕克.托勒玫作的另一个表，一般认为是仿效希帕克的著作；它给出一个圆从（） 到180每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度.圆的半径

9、被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进位制表达.这样，以符号 crd a 表示圆心角所对的弦长，例如 crd =p，意思是： 圆心角的弦等于半径的（或个小部分），加上一个小部分的，再加上一个小部分的，从下图看出，弦表等价于正弦函数表，因为.这样，托勒玫的弦表实质上给出了从到每隔的角的正弦.这些被托勒玫天才地解释的计算弦长的方式，似乎希帕克就已知道.有证据表明：希帕克系统使用过他的表，并且知道与现代解球面直角三角形所用的一些公式等价的公式.泰奥恩曾提到过：普鲁塔克的同辈、亚历山大里亚的梅内劳斯写的关于圆中的弦的六本论着.这部著作和梅内劳斯的许多其它著作都失传了.但幸运地，梅内劳斯的三卷

10、(Sphaerica)以阿拉伯文保存下来了，这部着作在希腊三角学的发展中起重要作用.在第一卷中，第一次给出了球面三角( spherical tringle ) 的定义.这卷书，对球面三角形证明了许多欧几里得在平面三角形中证明过的命题，例如，通常的全等定理、关于等腰三角形的定理等等.除此之外，还证明了：两个球面三角形，如果其对应角分别相等，则全等（在平面上不存在类似的命题）；以及这样一个事实：球面三角形的三内角之和大于二直角.对称的球面三角形被当作是全等的.第二卷中包括天文学中一些有趣的定理.第三卷展示当时的球面三角学，多半是从大学几何课中学生所熟知的强有力的命题梅内劳斯定理 （Menelaus

11、 theorem）之球面情况导出的；该定理为：如果一直线分别交ABC的三边BC，于，则在球面中的一个类似的命题是：一个大圆分别交于一个球面三角形的三边、于点、，则相应的结论等价于 梅内劳斯假定平面情况是已知的，并用来证明球面的情况.大量的球面三角学命题可以用取特殊的三角形和特殊的横截线方式从此定理导出.此定理在平面清况和球面情况的逆定理都成立.希腊的天文学的权威性著作是亚历山大里亚的托勒玫（ Claudius Ptolemy ）在大约公元年写的.这部很有影响的著作称为 (Syntaxis mathematica ) 是以希帕克的著作为基础的，且以其文笔简洁和隽永而著称.为了和其它篇幅较小的天文

12、学著作区别开，后来的评论家把它称之为the superlative magiste 或 greatest(最大的).再靠后些，阿拉伯译者以阿拉伯文冠词al 添在词头，因此这部著作被称为 Almagest.这部论着共十三卷.第一卷除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表，并且扼要解释从一个含义丰富的几何命题，来推导弦表的方法，这个命题现在称为托勒玫定理 （Ptolemys theorem） ：在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边之积的和.第二卷是研究与地球的球面性有关的现象.第三、四、五卷，用本轮解释天文学的地心学说.第四卷中有测量学的三点问题 ( three-point problem)：确定这样的点，使这一点与给定的三个点中每两点的联机所成之角分别为给定的角；并且，有解.这个问题已经有很长的历史，被称作斯内尔（Snell）问题（1617年）或波西诺特（Pothenot）问题（1692年）.第六卷讲述日、月蚀的理论，其中有的四位值.第七卷和第八卷是1028个恒星的目录.其余几卷是研究行星的. 一书，在哥白尼和克卜勒之前一直是标准的天文学著作.托勒玫写过关于地图射影、光学和音乐的著作.他还试图从 的其它公理和公设推出欧几里得的第五（平行）公设，使之把它从欧几里得的一系列原始假定中去掉，然而没有成功.5 / 5