高二数学竞赛辅导不等式专题参考模板范本.doc

1、高二数学竞赛辅导不等式专题高二数学竞赛辅导不等式专题一、与导数数列的结合1. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立，由, 得,从而.综上可知6分()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而10分() 因为 ,所以, , 所以 ,由()知:,

2、所以= ,因为, n2, 所以 0时，h(x)=px22x+p为开口向上抛物线，轴为x=（0，+）.h(x)min=p.只需p0，即p1时h(x)0，g(x) 0，g(x)在(0,+ )单调递增，p1当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+），只需h(0)0，即p0时h(0)（0,+ )恒成立.g(x)0 ，g(x)在（0,+ ）单调递减，p0)，设.当x（0，1）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（1，）时，k(x)0，5.设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.(1)求证：M点的纵坐标为

3、定值；(2) 若Sn=f(N*，且n2,求Sn;(3)已知an=，其中nN*. Tn为数列an的前n项和，若Tn(Sn+1+1)对一切nN*都成立，试求的取值范围.（1） M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）, 由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.而y=(y1+y2)= f(x1)+f(x2) =(+log2 =(1+log2 =(1+log2 =(1+log2 M点的纵坐标为定值. （2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1, Sn=f( Sn=f(, 两式相加得：2Sn=f()+f()+f() = Sn=(n2,nN*

4、).(2)当n2时,an= Tn=a1+a2+a3+an=() =( 由Tn(Sn+1+1)得 n+4,当且仅当n=2时等号成立,因此，二、不等式恒成立专题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：赋值型；一次函数型；二次函数型；变量分离型

5、；数形结合型.策略一、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0策略二、一次函数型利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于），或 ） 可合并定成nmoxynmoxy同理，若在m,n

6、内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.策略三、二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)0恒成立；f(x)g(a)恒成立，则g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例7. 函数是奇函数，且在上

7、单调递增，又，若 对所有的都成立，求的取值范围 .策略五、数形结合直观求解例8. 的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.例4：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)在区间(1，1)上是增函数，求t的取值范围。例6：函数yf(x)在区间(0, )内可导，导函数(x)是减函数，且(x)0。设x0(0, )，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程并设函数g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）证明：当x(0, )时，g(x)f(x)

8、（）若关于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。 本题（）应用了此方法。（）解：0b1，a0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0对任意x0, )成立的充要条件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x0, )成立的充要条件是(x)0由(x)=a-=0得x= 当0x时，(x) 时，(x) 0,所以，当x时，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。即a 综上，不等式x2+1ax+b对任意x0, 成立的充要条件是 a显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式有解。

9、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。例1求使不等式sinxacosx a1cosx对一切xR恒成立的负数a 的取值范围。 解：原不等即cosx（1a）cosxa0 (*)令cosx=t，由xR知t-1，1，于是(*)对一切xR恒成立当且仅当f(t)=t（1a）a0 (*)对一切t-1，1恒成立，其充要条件f(t)在-1，1上的最大值f(t)0,而f(t)= f(1)或 f(-1)，因此(*)对一切t-1，1恒成立当且a-2 故所求的a的范围为(-,-2.2设函数 （a、b、c、dR）满足： 都有，且x=1时，取极小值 （1）的解析式；2）当时，证明：函数图象上任

10、意两点处的切线不可能互相垂直；（3）设 ，证明：时，3已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；(III）当时,若在内恒成立,求的取值范围.2解：（I）因为，成立，所以：，由： ，得 ，由：，得 解之得： 从而，函数解析式为：（2）由于，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是： 又因为：，所以，得：知： 故，当 是函数图像上任意两点的切线不可能垂直9分（3）当： 时， 且 此时 当且仅当：即，取等号，故：14分3、（I） ,即,.上式恒成立, 1分又, ,即,.恒成立, 2分由得.3分 4分（II）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知5分令由6分列表分析:(0,1)1(1,+)-0+递减0递增知在处有一个最小值0, 7分，当时,0,在(0,+)上只有一个解.即当x0时,方程有唯一解.8分（III）设, 9分，在为减函数 又11分，所以：12分9 / 99 / 9