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1、练习（练习（30、31、32）解答）解答第第8章章 机械振动机械振动练习练习30 一、一、选择题选择题1.C22/Tk m 弹簧折半弹簧折半212kk 所以所以12222/kTm 1122/km 12T 2.Bcos()xAt2221sin()2kEmAt TT/2122111kkk3.BtyO3cos()4yAt 练习练习30 二、填空题二、填空题tyO40.54A=4/3 0.52 0.53 53 54cos()33yt53 52 2 1.5()3 2.m0 4m.Ax m0 8 m/s.vA 2 00 2m.x 反向运动反向运动3 2A 0 423.cos()xt 3.0 xA0 0 x

2、A 00 x 反向运动反向运动 2 02Ax 反向运动反向运动 23 练习练习30 三、计算题三、计算题1.解：解：yBoxy取固定坐标系取固定坐标系xoy，坐标原点，坐标原点o在水面上。在水面上。设货轮静止不动时设货轮静止不动时货轮上的货轮上的 B 点恰在水面上点恰在水面上o点点此时浮力和重力平衡（此时浮力和重力平衡（f=mg）该力与位移成正比该力与位移成正比方向指向平衡位置方向指向平衡位置22d ymgfSgymdt 则浮力的则浮力的增量增量 fS gy 220d yS gydtm 设设B点下沉致坐标为点下沉致坐标为 y 处处整理，得整理，得根据简谐振动的动力学方程，有：根据简谐振动的动力

3、学方程，有：2S gm 满足简谐振动的动力学方程，说明货轮作简谐振动。满足简谐振动的动力学方程，说明货轮作简谐振动。220d yS gydtm 则：则：22mTS g 2.解：解：振幅：振幅：0.10(m)A 频率：频率：110(Hz)2T 角频率：角频率：20周期：周期：20.1(s)T 初相：初相：4 0.10cos(20)4xt 根据：根据：cos()xAt sin()vAt 2cos()aAt 将将 代入，得：代入，得：2st 2(m)20 x 2(m/s)v 2220 2(m/s)a 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为为m 的物体。今将物体向下拉一

4、段距离后再的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。放开，证明物体将作简谐振动。解：例题1：m0ll xxo平衡位置平衡位置k lmg mglk 以平衡位置以平衡位置o为原点建坐标为原点建坐标()Fmgklx kx 此振动为简谐振动此振动为简谐振动 设设m=0.02kg，弹簧的静止形变为，弹簧的静止形变为 l=9.8cm，t=0时，时，x0=9.8 cm，v0=0。写出振动方程。写出振动方程。解：接上例题：m0ll xxok lmg/kmgl振动方程为振动方程为cos()xAt km 10rad/s9.80.098gl由初条件得由初条件得000arctan()0,vx mv

5、xA09802020.)(由旋转矢量法，由旋转矢量法，取取 0=0振动方程为：振动方程为：x=9.8 10-2cos(10 t)m练习练习31 一、选择题一、选择题1.B2.（1）D2.（2）B23 tyO316 32 t 213 由由56 32 20.1m,83A 2.51(m s)/263.2(m s)/解：1、质量为、质量为0.01kg的小球与轻弹簧组成谐振系统的小球与轻弹簧组成谐振系统按按 的规律运动。求的规律运动。求A、T、及及 vm、am。Fm、E、何处、何处？t=5s 和和t=1s 两时刻的相位差。两时刻的相位差。0.1cos 82/3(SI)xt ()kEpEkpEE21,4T

6、s mvA 0.8(m s)/2maA 练习练习31 二、填空题二、填空题4Hz 2PEE有有22111()222kxkA即：即：22xA 21()tt：mmFma2m12Emv12PkEEEkPEE2m20()32 8(51)0.63N23.16 10 J21.58 10 J2.26 10cos()(SI)34xt 26 10 sin()(SI)334vt 系统势能等于总能量的一半，即系统动能等于势能。系统势能等于总能量的一半，即系统动能等于势能。221122mvkx 2212mx 222222sin()cos()3434AtAt (21)0,1,2344tnn 22xA 24.24 10

7、m 2tT /422/33s4 2T 3.0.24cos()(SI)23xt 0.12m2Ax 反向运动反向运动3 02Ax 由图可见由图可见3 2tT /322/22s3 练习练习31 三、计算题三、计算题1.解：解：由旋转矢量图法知：由旋转矢量图法知：4Tt 12Tt 6Tt 2tT 2 6 3 2.解：解：设设当物体处于平衡位置时当物体处于平衡位置时两弹簧伸长量分别为两弹簧伸长量分别为 、1l 2l 向右为向右为x 轴正方向。轴正方向。k1的伸长量为的伸长量为1lx 2211()()fklxklx 其中其中 只与弹簧性质有关只与弹簧性质有关12kkk因此证明物体作简谐振动。因此证明物体作

8、简谐振动。2lx k2的伸长量为的伸长量为则物体受力为：则物体受力为：当物体位移为当物体位移为x 时时以平衡位置为坐标原点，以平衡位置为坐标原点，1122klkl则则kx 12()kkx 若两弹簧最初都处于原长状态若两弹簧最初都处于原长状态当质点当质点 m 产生位移产生位移 x 时时21fk xk x 12()kkx kx 同样的结果！同样的结果！总之，并联弹簧总之，并联弹簧12kkk振动的角频率和振幅分别为振动的角频率和振幅分别为:122 10(rad/s)kkkmm 220020.02(m)vAx 03cos2xA 00v 且且振动方程为振动方程为:22 10cos(2 10)(m)6xt

9、 6 得得 如图，两根弹簧串联的系统，求组合劲如图，两根弹簧串联的系统，求组合劲度系数。度系数。解：例题2：由虎克定律由虎克定律11fxk22fxk质点质点 m 受力受力12()ffkkk fkx 12()k xx 2112()kkk fk k 所以，所以，组合弹簧的劲度系数组合弹簧的劲度系数1221k kkkk12111kkk练习练习32 一、选择题一、选择题1.B2.D练习练习32 二、填空题二、填空题合振动的振幅为合振动的振幅为 5m ，1.5cos()(SI)22xt合振动的方程为合振动的方程为24T 2 2.216 10 cos(5)(m)2xt 222 10sin(5)(m)xt

10、22 10 cos(5)(m)2t 合振动的振幅为合振动的振幅为 410-2 m ，2 反相位的振动合成，初相位由振幅大的决定。反相位的振动合成，初相位由振幅大的决定。3.13.0cos()3xt 28.0cos()6xt 221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA 2238238cos()63 3sin8sin36arctan3cos8cos36 10.7m 0.664rad38 36.0sin6.0cos()2xtt 8.45mA 0.071rad4 练习练习32 三、计算题三、计算题1.解：解：由：由：221212212cosAAAA A

11、 ()得：得：221212(mm)AAA54612则合振动的表达式为：则合振动的表达式为：512cos(100)(mm)12xt xoA1A2A112tan4AA 16tan46 3 222127.8 10(m)AAA 2.解：解：合振动的振幅为：合振动的振幅为：合振动的初位相满足：合振动的初位相满足：则：则：1tan 11 当时，即：当时，即：12k 13224kk 的振幅最大；的振幅最大；12xx xoA1A2A12arctan4AA 5arctan46 的振幅最小。的振幅最小。12xx当时，即：当时，即：121k ()17(21)24kk xo1A3A2A3A*用旋转矢量表示：用旋转矢量

12、表示：质量为质量为M的盘子挂在劲度系数为的盘子挂在劲度系数为k 的轻弹簧下，的轻弹簧下，质量为质量为m 的物体从高为的物体从高为h 处自由下落，与盘发生完处自由下落，与盘发生完全非弹性碰撞。取全非弹性碰撞。取 m 落下后系统的平衡位置为原落下后系统的平衡位置为原点点,位移向下为正位移向下为正,求物体落入盘后的振动方程。求物体落入盘后的振动方程。解：例题 3：h1xox0 xm空盘的振动周期为空盘的振动周期为2/M k 2()/Mmk 落下重物后振动周期为落下重物后振动周期为10()()Mm gk xx02()mghMm v02mvghMm0mgxk kMm 0mgxk 02mvghMm21()

13、mgkhkMm gh1xox0 xmM12tan()khMm g22002vAx 100tan()vx （第三象限）（第三象限）1221costan()()mgkhkkhxtkmM gmMmM g则当物体偏离则当物体偏离原点的坐标为原点的坐标为x 时时,有有:图示系统，求振动周期。图示系统，求振动周期。解：例题 4：mk 以物体在斜面上静平衡时位置为坐标原点，以物体在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向沿斜面向下为下为x 轴正向，轴正向，212sind xmgTmdt 12T RT RJ 1T2T20()Tk xx22d xRdt 0sin/xmgk 22()0J d xmRkxRR dt令

14、：令：2220d xxdt 则有：则有：2220d xxdt 故知该系统是作简谐振动，其振动的周期为：故知该系统是作简谐振动，其振动的周期为：222mRJTkR 联解得联解得 图示系统，不计摩擦。将物体从平衡位置图示系统，不计摩擦。将物体从平衡位置拉下一小距离后放手拉下一小距离后放手,求其振动周期求其振动周期。解：例题5：mgRk2T1T力矩分析力矩分析建坐标建坐标xo以物体平衡位置为坐标原点，以物体平衡位置为坐标原点，x 轴向下轴向下20()()mgk xxRJmR 22d xRdt 22220d xkRxdtmRJ 222mRJTkR 轴在同一水平面上的两个相同的圆柱体，两轴轴在同一水平面

15、上的两个相同的圆柱体，两轴间相距间相距 2L=0.49 m,它们以相同的角速度它们以相同的角速度相向转相向转动动。一质量为。一质量为 m 的木板搁在两圆柱体上，木板与的木板搁在两圆柱体上，木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为圆柱体之间的滑动摩擦系数为=0.1 。问木板偏。问木板偏离对称位置后将如何运动离对称位置后将如何运动？周期为多少？周期为多少？解：例题6：木板受力木板受力x 向：摩擦力向：摩擦力 f 1 、f2 y 向：重力向：重力 m g支持力支持力 FA、FBmg以两轮中心连线之中点为坐标原点以两轮中心连线之中点为坐标原点 木板质心位于木板质心位于 x 处时处时 2122d xffmdt0ABFFmg 0()()BAFLxFLx 1AfF 2BfF 12LxfmgL 22LxfmgL 220d xgxdtL 2LTg ()s mg222(2)dmglklJdt 22203dmgkldtml 0cos()t 22211(2)2333Jmlmlml（）2g3mklml 322gmlTmkl能量的方法能量的方法(t 时刻系统的能量时刻系统的能量)220111()g(sin)222EJk xxml 2g(1cos)m lC0g()cos2g sin02m lJk xx xm l 2(2g)0Jm lkl（其它步骤同前其它步骤同前）