柯西中值定理和不定式极限6-2(数分教案)课件.ppt
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- 关 键 词:
- 中值 定理 不定式 极限 教案 课件
- 资源描述:
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1、6.2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限一、柯西一、柯西(Cauchy)中值定理中值定理二二.洛必达法则洛必达法则三、小结三、小结一、柯西一、柯西(Cauchy)中值定理中值定理()Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBC,.LagrangeABCAB由中值定理知在光滑曲线弧上至少有一点在该点处的切线平行于弦考虑用参数方程来表示():,()XF xABYf x设的参数方程为,AB曲线弧axb,x其中 是参数 于是(,)ABX Y曲线弧上各点处的切线斜率为:()()dYfxdXF x()():()()f bf aABF bF a弦的斜率为,:从而 可得柯西(柯西(Ca
2、uchy)中值定理)中值定理 几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 ,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbfLagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf(,),()0.a b 则在内至少存在一点使得()0,()0)Ff否则与(3)矛
3、盾()0F证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x 例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)
4、(fff 即即例证明:(),(0),(,),f xa b aa b若函数在上连续 在内可导(,),:()()()lnba bf bf afa则至少存在一点使()ln,xx xa b令F(0)a,(),(),f xxa b容易验证F在上满足Cauchy定理条件(,),:a b故至少存在一点使()()().()()()f bf afF bF aF()()()lnlnlnxf bf afbax即 ()()()lnbf bf afa.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或称为称为那末极限那末极限大大都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当 x
5、FxfxFxfxaxxax二二.洛必达法则洛必达法则 1.0:0型及型未定式解法 洛必达法则定义定义例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(1),()();(2),()(),()0;()(3)lim(,);()()()limlim.()()xaxaxaxaf xF xafxF xF xfxA AF xf xfxAF xF x设当时 函数及都趋于零在点的某去心邻域内及都存在 且可为实数 也可为或那末定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的
6、值的方法称为洛必达法则.,.xxaxax 当时 以及时 该法则仍然成立0,0 xa型 洛必达法则(1),()();(2),()(),()0;()(3)lim(,);()()()limlim.()()xxxxf xF xfxF xF xfxA AF xf xfxAF xF x +设当时 函数及都趋于零在的某邻域(c,+)内及都存在 且可为实数 也可为或那末定理定理例如例如 ,:x 当时 有证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯
7、西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有1111()()()()()()f xfxf aF xF xF a()()xxfF()xxa在 与 之间,xxaa当时,)()(limAxFxfax ()lim,()xxaxfAF()()limlim.()()xxxaaxff xAF xF例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111l
8、imxxx 原式原式221limxxx .1)00(-(1)lim()lim();(2)(),()(),()0;()(3)lim(,);()()()limlim.()()xaxaxaxaxaf xF xaUafxF xF xfxA AF xf xfxAF xF x 设在点的某左邻域内及都存在 且可为实数 也可为或那末定理定理,xa型 洛必达法则证明分析:,于是0,ayxa若由柯西定理()1()()1()f yf xF yF x()()()()f xf yF xF y()()fF()yx,0,xa由于 当时00,:xaya故总可以令较快些 以使得()()0,0()()f yF yf xF x(0
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