高等代数（北大版）64课件.ppt

1、我们知道，在我们知道，在n维线性空间维线性空间V中，任意中，任意n个线性个线性无关的向量都可取作线性空间无关的向量都可取作线性空间V的一组基的一组基V中任中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的因此在处理一些问不同基下的坐标一般是不同的因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题为此我们首先要坐标比较简单是一个实际的问题为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的

2、改变，向量的坐标是如何变化的即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.V为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，为为12,n V 中的一组向量，中的一组向量，若，若 V1122nnxxx则记作则记作1212(,)nnxxx 11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 则记作则记作 V为数域为数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，；12,n 12,n 为为V中的两组向量，若中的两组向量，若1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 在形式书写法下有下列运算规律在形式书写法下有下列运算规律 121212,nnn

3、V a aa b bbP 11112222121212(,)(,)(,)nnnnnnnabababababab 若若 12,n 线性无关，则线性无关，则 111122221212(,)(,)nnnnnnabababababab ；为；为V中的两组向量，中的两组向量，12,n 12,n 矩阵矩阵，则，则,n nA BP 1212(,)(,)()nnA BAB ；1212(,)(,)nnAB ；1212(,)(,)nnAA ；1122(,)nnA 若若 12,n 线性无关，则线性无关，则1212(,)(,).nnABAB 12(,)()nAB 设设V为数域为数域P上上n维线性空间，；维线性空间，；

4、12,n 12,n 为为V中的两组基，若中的两组基，若111 12121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 即，即，则称矩阵则称矩阵 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 为由基为由基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵；12,n 12,n 称称 或或 为由基为由基 到基到基12,n 12,n 的的基变换公式基变换公式 1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵证明：

5、若证明：若 为为V的两组基的两组基,1212,;,nn 且由基且由基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为A，1212,nn 到到即即1212(,)(,)nnA 又由基又由基 也有一个过渡矩阵也有一个过渡矩阵,1212,nn 到到设为设为B，即，即1212(,)(,)nnB 比较比较 、两个等式，有两个等式，有1212(,)(,)nnBA 1212(,)(,)nnAB 都是线性无关的都是线性无关的,1212,;,nn .ABBAE即，即，A是可逆矩阵是可逆矩阵,且且A1B.反过来，设为反过来，设为P P上任一可逆矩阵，上任一可逆矩阵，()ijn nAa 任取任取V的一组基的一组基12,n 1212(,)(

6、,)nnA 于是有，于是有，1,1,2,nijiiajn j j令令11212(,)(,)nnA 由由A可逆，有可逆，有1212,nn 与与等等价价.即，即，也可由也可由 线性表出线性表出.12,n 12,n 故故 线性无关，从而也为线性无关，从而也为V的一组基的一组基.12,n 并且并且A就是就是 的过渡矩阵的过渡矩阵.1212,nn 到到2）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,1212,nn 到到基基则由基则由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A-1.1212,nn 到到基基3）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,1212,nn 到到基基由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为B，则，则1212,nn

7、 到到基基由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为AB.1212,nn 到到基基1212(,)(,)nnB 1212(,)(,)nnA 事实上事实上,若若1212(,)(,)nnA B 则有，则有，12(,)nAB ：V为数域为数域P上上n维线性空间维线性空间 12,;n 为为V中的两组基，且中的两组基，且12,n 1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 设设 且且在基在基 与基与基 12,n 12,n V 下的坐标分别为与下的坐标分别为与 ，12(,)nx xx12(,)nx xx即，即，1212(,)nnxxx 与与 1212(,)nnxxx 则则111211

8、1221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa 或或 11112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa 称称或或为向量为向量在基变换在基变换下的下的坐标变换公式坐标变换公式 例例1在在Pn中，求由基中，求由基 12,n 到基到基 12,n 过渡矩阵其中过渡矩阵其中 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n12(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)n解：解：11222nnnn 的过渡矩阵及由基的过渡矩阵及由基 12,n 12,n 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐标下的坐标.12,n 12(,)na aa 11

9、212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而，1212100110(,)(,)111nn 12,n 12,n 到基到基 由基由基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 10001 10001 100001 故，由基故，由基 12,n 到基到基 12,n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为100110111 12(,)na aa 在基下的坐标就是在基下的坐标就是12,n 12(,)na aa设在基下的坐标为，则设在基下的坐标为，则12,n 12(,)nx xx1112221110001 10001 100001nnnnxaaxaaaxaaa 所以在基下的坐标为所以在

10、基下的坐标为12,n 1211(,)nna aaaa 例例2在在P4中，求由基中，求由基 1234,到基到基 1234,的过渡矩阵，其中的过渡矩阵，其中 1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)解：设解：设 12(1,0,0,0),(0,1,0,0),34(0,0,1,0),(0,0,0,1)则有则有 12341234111121 21(,)(,)1 1100111 或或 112341234111121 21(,)(,)1 1100111 ，123412342 02 11 1

11、13(,)(,)0 2111 222 从而有从而有 1234(,)1123411112 02 121 211 113(,)1 1100 21101111 222 1123411112 02 121 211 113(,)1 1100 21101111 222 12341 0 0 11 1 0 1(,)0 1 1 10 0 1 0 由基由基 1234,到基到基 1234,的过渡矩阵为的过渡矩阵为1 0 0 11 1 0 10 1 1 10 0 1 0已知的两组基：已知的两组基：2 2P 111221221 00 10 00 0,;0 00 01 00 1EEEE 111221221 01 11 1

12、1 1,0 00 01 01 1FFFF求由基的过渡矩阵，求由基的过渡矩阵，1112,21221112,2122,EEEEFF FF到到并求矩阵在基下的矩阵并求矩阵在基下的矩阵.11122122,FFFF 3 542A 解：解：1111121112211112212211122122FEFEEFEEEFEEEE 1112,21221112,21221 1 1 10 1 1 1(,)(,)0 0 1 10 0 0 1FF FFEEEE1112,21223542AEEEE 又又设设A在基下的坐标为在基下的坐标为1112,2122,FF FF1234(,),x xxx112341 1 1 130 1 1 150 0 1 140 0 0 12xxxx 则则8122 11 0030 11 050 01140 0012 即即A在基下的坐标为在基下的坐标为1112,2122,FF FF(8,1,2,2).