高数(下)期中复习课件.ppt
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- 期中 复习 课件
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1、基本概念基本概念,基本定理基本定理,基本方法基本方法第第0章章 空间解几与向量代数空间解几与向量代数 向量的概念与运算,+,-,数乘,数量积,向量积;直角坐标系下向量的运算;向量的夹角,平行与垂直;平面,直线;曲面,柱面,投影柱面,旋转面,二次曲面图形;曲线,投影,参数方程.1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.ABa向量AB的大小叫做向量的模.记为|AB|或 .|a一、向量的基本概念一、向量的基本概念1、向量加法、向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角
2、线向量,称为的和,记作 另一条对角线向量,是的差,即ba、ba与.baba、baab(2)三角形法则baab二二、向量的加减法向量的加减法2.向量加法的运算规律向量加法的运算规律.交换律,结合律ba与.ba1.定义定义 实数与向量的为一个向量.aa乘积其中:|aa当 0时,;同向与 aa当 0时,;反向与 aa当=0时,.,它的方向可以是任意的oa2.数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:结合律,分配律a(0)三三、数与向量的乘法数与向量的乘法定理定理1:两个非零向量平行ba与.ba存在唯一实数,使得(方向相同或相反)设表示与非零向量同向的单位向量.则aaaaa|1 四四.空间直角
3、坐标系与空间向量的坐标表示空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系,点O叫做坐标原点.o向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2.引入直角坐标系后
4、引入直角坐标系后,向量的运算向量的运算:两向量平行的充要条件.注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/bzzyyxxbababa1.方向角方向角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向方向余弦余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos 称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式ayzx0向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式cos2+cos2+cos2=1222zyxaaa|a|a0|a|a222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa=(cos,cos,cos)设a0是
5、与a同向的单位向量222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa设有两个向量 a、b,它们的夹角为,即:a b=|a|b|cos定义定义:将数值|a|b|cos 称为a与b的数量积(或 点积),记作 a b.内积五、五、向量的数量积向量的数量积a b=ax bx+ay by+az bz推论推论:两个向量垂直ax bx+ay by+az bz=0坐标表示式坐标表示式 abc=a b(1)|c|=|a|b|sin(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记
6、作:a b.即:c=a b注注:向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形,其面积等于|a|b|sin,所以a b的模,等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.定义定义:设有两个向量 a、b,夹角为,作一个向量c,使得六、两向量的向量积六、两向量的向量积向量积的性质反交换律 a b=b a a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)kzyxzyxbbbaaakji向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式1 1 点法式方程点法式方程2 2 一般方程一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 3 截距式方程截距式方程0)()()(000 zzCyyBxx
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