自编高数课件(修改版)上册第二章第一章极限的概念2.ppt
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- 编高数 课件 修改 上册 第二 第一章 极限 概念
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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 四、四、数列极限与函数极限的性质数列极限与函数极限的性质 第一节极限的概念(续)极限的概念(续)目录 上页 下页 返回 结束 ab1、唯一性、唯一性证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有定理:如果数列定理:如果数列xn收敛,则极限唯一。收敛,则极限唯一。使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设,2abnbx从而2banx(1)数列极限的唯一性)数列极限的唯一性目录 上页 下页 返回 结束 (2)函数极限的唯一
2、性)函数极限的唯一性.22abnabax2banx22abnabbx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式2banx定理:如果定理:如果 存在,则极限唯一。存在,则极限唯一。0lim()xxf x证明略目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明数列),2,1()1(1nxnn是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取,21则存在 N,2121axan但因nx交替取值 1 与1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.nx目录 上页 下页
3、返回 结束 2.有界性有界性证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.aaxn)(,1axn有定理:如果数列定理:如果数列xn收敛,则收敛,则xn有界。有界。(1 1)收敛数列的有界性)收敛数列的有界性目录 上页 下页 返回 结束 说明:1.此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.数列2.无界的数列一定是发散的.(2 2)函数极限的局部有界性)函数极限的局部有界性()Af xA00 xxx当 时,成立,即满足局部有界性0lim()xxf xAAAOAx0 xy)(xfy
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