组合课件(第一课时).ppt

1、组合与组合数公式组合与组合数公式问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动加某天的一项活动,其中其中1 1名同学参加上午的活名同学参加上午的活动，动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不同名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动加某天一项活动,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？236A 甲、乙甲、乙;甲、丙；乙、丙甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个个不同元素中不同元素中每次取出每次取出2个个元素元素,并成一

2、并成一组组问题二问题二从已知的从已知的3 个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素,按按照一定的顺照一定的顺序排成一列序排成一列.问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地一般地,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个）个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的一个元素的一个组合组合.排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？（一）、组合的定义（一）、组合的定义:?组合定义组合定义:一般地一般地,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组

3、，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个素的一个组合组合排列定义排列定义:一般地一般地,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同个不同元素中取出元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关与元素的顺序有关,而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解思考一思考一:aB与与Ba是相同的排列是相同的排列 还还是相同的组合是相同的组合?

4、为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同两个相同的组合呢的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成构造排列分成两步完成,先取后排先取后排;而而构造组合就是其中一个步骤构造组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e,则集合则集合A的含有的含有3个元素的子个元素的子集有多少个集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站个车站

5、,则这条铁路线上共需准备多则这条铁路线上共需准备多少种车票少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果组合是选择的结果,排列排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是有组合分别是:ab,ac,bc 2.已知已知4个元素个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)概念理解概念理解 从从n个

6、不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC233C 246C 如如:从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是的所有组合个数是:如如:已知已知4个元素个元素a、b、c、d,写出每次取出写出每次取出两个元素的所有组合个数是：两个元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解（二）、组合（二）、组合数数 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC1.写出从写出从a,b,c

7、,d 四个元素中任取三个元素的所有四个元素中任取三个元素的所有组合组合abc,abd，acd，bcd.bcddcbacd组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合个组合,对应着对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?PPC333434 34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于对于，我们可以按

8、照以下步骤进行，我们可以按照以下步骤进行（三）、组合数公式（三）、组合数公式 排列与组合是有区别的排列与组合是有区别的,但它们又有联系但它们又有联系 一般地一般地,求从求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数，可以分为以下排列数，可以分为以下2步：步：第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的组合数元素的组合数 mnC第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 mmA根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：因此：!121mmnnnnAACmmmnmn 这里这里m,n

9、是自然数是自然数,且且 m n，这个公式叫做，这个公式叫做 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmmmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：从从 n个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数组合数的两个性质组合数的两个性质:mn mnnCC11 mmmnnnCCC证明证明:1!()!(1)!(1)!mmnnnnCCm nmmnm)!1(!)1(!mnmmnmnn)!1(!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC1 11 mmmnnnCCC11 mmmnnnCCC公式特征：公式特征：下标相同而上标

10、差下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和之和,等于下标比原下标多等于下标比原下标多1而上标与大的相同的而上标与大的相同的一个组合数一个组合数;此性质的作用：此性质的作用：恒等变形恒等变形,简化运算简化运算;等式体现等式体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想.11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元47C37C3100C329999CC例例2计算：计算：69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104!D 190 巩固练习巩固练习例.11CmnmC

11、mnmn:求证,!:）（！证明mnmnCmn)!1()!1(!111mnmnmnmmnmCmn)!1)(!)!1(1mnmnnmm.!)(!Cmnmnmn 例例一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（1）从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中含有使其中含有1个黑球，有多少种取个黑球，有多少种取法？法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有多少种取法？多少种取法？（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少种个球，共有多少种取法？取法？解解：（：（1）取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数

12、27C7 6212!例题讲解例题讲解例例1一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球个球,使其中含有使其中含有1个黑球，有多少个黑球，有多少种取法？种取法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，个球，使其中不含黑球，有多少种取法？有多少种取法？（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少个球，共有多少种取法？种取法？解解：（：（1）取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数27C7 6212!37C取出取出3个球中无黑球的方法数个球中无黑球的方法数7 6 5353!例题讲解例题讲解例例一

13、个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（1）从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中含有使其中含有1个黑球，有多少种取个黑球，有多少种取法？（法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有多少种取法？多少种取法？（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少种个球，共有多少种取法？取法？解解：（：（3）388 7 6563!C 按照黑球分类按照黑球分类,取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数37C27C从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,共有取法共有取法3277CC388 7 6563!C 另法另

14、法,一次取出的方法数一次取出的方法数取出取出3个球中无黑球的方法数个球中无黑球的方法数 条条452910210 C 条条90910210 A1544342414 CCCC360132436 CCC 种种1617002398991003100 C12C298C950629812 CC 种种96041982229812 CCCC 种种96043983100 CC 1课外活动小组共13人,其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生;(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要

15、有女生当选 1将5本不同的书分给4人,每人至少1本，不同的分法种数有()A120种B5种 C240种D180种组合、排列的综合问题 2安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人，则不同的分配方案共有_种(用数字作答)三、混合问题三、混合问题,先先“组组”后后“排排”例例3 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试一一进行测试,至区分出所有次品为止，若所有次至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰

16、有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有：种可能。种可能。576441634ACC练习：某学习小组有练习：某学习小组有5个男生个男生3个女生个女生,从中选从中选3名男生名男生和和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参人参加，则有不同参赛方法加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080CCCA组合中的分组问题6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本;(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)

17、分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本 思路点拨(1)是平均分组问题,与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组”问题，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题,搞清楚类型的归属对解题大有裨益，要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的(2)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数

18、均相等;部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 2有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本;(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本1有有3张参观券张参观券,要在要在5人中确定人中确定3人去参观，不人去参观，不同方法的种数是同方法的种数是 10 26人同时被邀请参加一项活动人同时被邀请参加一项活动,必须有人去，去必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？几人自行决定，共有多少种不同

19、的去法？32555 4102!CC123456666666CCCCCC解：解：有有6类办法类办法,第第1类去类去1人，第人，第2类去类去2人，第人，第3类去类去3人，第人，第4类去类去4人，第人，第5类去类去5人，第人，第6类去类去6人，所以共有不同的去法人，所以共有不同的去法63巩固练习巩固练习 种种123761117 C 例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:简单的组合问题 (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?种种有有1117C种种有有111C 种种1361361111117

20、CC1 1、有6本不同的书,分给甲、乙、丙三个人(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法;(2)如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得 3本有多少种不同的分法；(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种 不同分法2 2、4名男生6名女生，一共9名实习生分配到高一的 四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女 实习生各1名的不同分配方案共有多少种？课后作业：小结小结2.组合数性质组合数性质:mn mnnCC11 mmmnnnCCC1.组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm例例 5个人站成一排个人站成一排共有多少种排法？共有多少种排法

21、？其中甲必须站在中间其中甲必须站在中间,有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？排法？其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？法？其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？同的排法？(7)(7)、甲与乙中间必须排甲与乙中间必须排2名，有几种排法？名，有几种排法？55120A 4424A 242448AA323472AA5245247

22、2AAA或233336AA4113433378AAAA222232AAA例例 5个人站成一排个人站成一排其中甲、乙两人不站排头和排尾其中甲、乙两人不站排头和排尾,有多少种不有多少种不同的排法？同的排法？解：解：甲、乙两人不站排头和排尾甲、乙两人不站排头和排尾,则这两个位置可从则这两个位置可从其余其余3人中选人中选2人来站，有人来站，有 种排法，剩下的人有种排法，剩下的人有 种种排法，共有排法，共有 种排法种排法.23A33A233336AA(特殊位置预置法特殊位置预置法)(特殊元素预置法特殊元素预置法)233336AA(排除法排除法)511323523323236AA A AA A例例 5个人

23、站成一排个人站成一排其中甲不站排头其中甲不站排头,乙不站排尾，有多少种不同乙不站排尾，有多少种不同的排法？的排法？解：解：甲站排头有甲站排头有 种排法种排法,乙站排尾有乙站排尾有 种种排法，但两种情况都包含了排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站甲站排头，乙站排尾排尾”的情况，有的情况，有 种排法，种排法，所以共有所以共有 种排法种排法.44A44A33A543543278AAA用直接法用直接法,如何分类？如何分类？一类：甲站排尾一类：甲站排尾二类：甲站中间二类：甲站中间44A113333AAA所以共有所以共有 种排法种排法.4113433378AAAA(7)(7)、甲与乙中间必须排甲与乙中

24、间必须排2名名,有几种排法？有几种排法？222232AAA例例 5个人站成一排个人站成一排mnnmnCC 11 mnmnmnCCC47C37C3100C329999CC6458882CCC6659109CCC9495969796979899CCCC6554)8888()(CCCC2104106105969CCCC6566699101010()0CCCCC66559999()0CCCC93949596979394959697939696979899969797989996CCCCCCCCCCC9596979396979398989996999996979333100961009618820CCC

25、CCCCCCCC1715CC 1213CC 1213CC 30112131517 CCCC组合、排列的综合问题现有4个不同的球,4个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？思路点拨此题关键是(2),恰有1个空盒相当于一定有2个小球放在同一个盒子中，因此，先从4个不同的小球中取出2个放在一起(作为一个整体)，是组合问题又因为4个盒子中只有1个是空的，所以另外3个盒子中分别放入2个，1个，1个小球，是排列问题 规律方法1.解排列组合的综合问题,首先要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序 2解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列