高考数学应用题的解题策略详解课件.ppt

1、高考数学应用题的解题策略 南京师大附中 吴兆甲 2012.04 2012.04 高考数学应用题的解题策略 一、江苏高考数学应用题统计分析一、江苏高考数学应用题统计分析 二、数学应用题的解题策略二、数学应用题的解题策略 三、形成应用题的解题策略三、形成应用题的解题策略 四、实战演练四、实战演练解题策略的应用解题策略的应用 2011 包装盒面积和体积问题 2010 测量问题 2009 利润问题 2008 距离问题 2007 概率 2006 体积问题 一、江苏高考数学应用题统计分析 2011 包装盒面积和体积问题 几何背景 2010 测量问题 几何背景 2009 利润问题 销售背景 2008 距离问

2、题 几何背景 2007 概率 2006 体积问题 几何背景 一、江苏高考数学应用题统计分析 2011 包装盒面积和体积问题 几何背景 2010 测量问题 几何背景 2009 利润问题 销售背景 2008 距离问题 几何背景 2007 概率 2006 体积问题 几何背景 一、江苏高考数学应用题统计分析 数学应用题的解题程序 实际问题 建立数学模型 得到数学结果 解决实际问题 二、数学应用题的解题策略 一要身临其境 要慢！要“品”！二要抓自变量 找等量关系！重在审题！如何审题？“抓重点：等量关系是关键；破难点：变量思想是主线.”实际问题 建立数学模型 三、形成策略三、形成策略 1、如何寻找和利用等

3、量关系？例 1（2008 江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB20km，CB10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A，B与等距离的一点 O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为 ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将 y表示成 的函数关系式，设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道 总长度最短.P A D C B O（1）等量关系就是函数关系

4、 y=20cos10tan+10 (04)y=x+2 x2-20 x+200(0 x10)1010tan 10 20cos P A D C B O x x2-20 x+200 P A D C B O（1）等量关系就是函数关系 y=20cos10tan+10 (04)y=x+2 x2-20 x+200(0 x10)（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？P A D C B O（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？选 y=20cos10tan+10(04)，为自变量会碰到什么困难？能否解决？选 y=x+2 x2-20 x+200(0 x10)，x 为自变量会碰到什么困难？能否解决？P A D C B

5、 O 因为 y=20cos10tan+10=20cos10sincos+10 问题转化为求 y=20cos10sincos+10 的最小值，这是个常规的函数求最小值问题，可以利用导数求解.小结：是个“好”自变量！（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？1010tan 10 20cos P A D C B O 例例 2.（2012 南京二模南京二模 18）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在内，布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路，如图所示为充分利用上的四边形电气线路，如图所示为充分利用现有材料，边现有材料，边 BC，CD 用一根用

6、一根 5 米长的材料弯折而成，边米长的材料弯折而成，边 BA，AD 用用一根一根 9 米长的材料弯折而成，要求米长的材料弯折而成，要求A和和C 互补，且互补，且 ABBC（1）设）设 ABx 米，米，cosAf(x)，求，求 f(x)的解析式，的解析式，并指出并指出 x 的取值范围；的取值范围；（2）求四边形）求四边形 ABCD面积的最大值面积的最大值(第18题图）C A B D l 自变量是什么？等量关系是什么？题目给出了自变量“ABx”，“A 和C 互补”，等量关系和 x 有什么关系？余弦定理有两种形式，选哪种形式？是 cosAAB2+AD2BD22ABADx2+(9x)2BD2 2x(9

7、x)？还是 BD2AB2+AD22ABADcosAx2+(9x)22 x(9x)cosA 余弦定理！(第18题图）C A B D l 自变量是什么？等量关系是什么？cosA和BD，应该保留哪个？消去哪个？应该保留cosA！消去BDBD！是 cosAAB2+AD2BD22ABADx2+(9x)2BD2 2x(9x)？还是 BD2AB2+AD22ABADcosAx2+(9x)22 x(9x)cosA(第18题图）C A B D l 应该保留cosA！消去BD！即 x2+(9x)22 x(9x)cosAx2+(5x)22 x(5x)cosA 解得 cosA2x，即 f(x)2x其中 x(2，5)自变

8、量是什么？等量关系是什么？(第18题图）C A B D l 若选 cosAcosC，转化为AB2+AD2BD22ABADCB2+CD2BD22CBCD 即x2+(9x)2BD2 9xx2+(5x)2BD2 x5 比例的性质，若ab=cd，则acb+d=acbd.自变量是什么？等量关系是什么？然后怎么办？然后怎么办？你会用吗？(第18题图）C A B D l x2+(9x)2BD2 9xx2+(5x)2BD2 x5 然后怎么办？所以2x2+(9x)2+(5x)22BD2 48(7x)2(7x)4 所以 BD2=x2+12(9x)2+12(5x)28 所以 cosAx2+(9x)2BD2 2x(9

9、x)12(9x)2(5x)2+8 2x(9x)4(7x)+8 2x(9x)2x.比例的性质，若ab=cd，则acb+d=acbd.自变量是什么？等量关系是什么？怎样用好等量关系？怎样用好等量关系？（2）四边形 ABCD的面积 S12(ABAD+CBCD)sinA(x24)(x214x49)记 g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5)由 g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得 x4(x7 和 x12舍)以下略.1、如何寻找和利用等量关系？小结一：如何寻找等量关系？答：1.在问题的题设中寻找；2.在数学中的重要公式（距离、面积、体积）中寻找

10、；3.在图形的位置关系中寻找.三、形成策略 2、如何找自变量？例 3.有一块边长为 4 的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）（1）有人作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V.(a)(b)求什么？选“谁”做自变量？长方体的体积的最大值？小正方形的边长（也可选底面正方形的边长）例 3.有一块边长为 4 的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）（1）有人作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各

11、切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V.(a)(b)解：设小正方形的边长为 x，由题意，得 V(x)(42x)2x4(x2)2x(x(0,2)令 V/(x)=0，得 x23，又 x(0,23)时，V/(x)0；x(23,2)时，V/(x)0，所以最大容积 V12827.求什么？选“谁”做自变量？长方体的体积的最大值？小正方形的边长 (a)(b)（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.已知什么

12、？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？边长为 4 的正方形钢板.一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积.（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容积最大积最大.已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？边长为 4 的正方形钢板.一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最

13、大？长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积.若设容器的底面正方形边长为 a，容器的高为h，则问题变为：已知a2+4ah=16，求V=a2h最大时a或h的值？（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容积最大积最大.显然消去h较易，所以选容器底面正方形的边长为自变量.因为h16a24a，所以V a216a24a14(16a a3)，其中a

14、(0，4).问题变为：求函数f(a)14(16a a3)a(0，4)的最大值 已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？边长为 4 的正方形钢板.一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积.若设容器的底面正方形边长为 a，容器的高为h，则问题变为：已知a2+4ah=16，求V=a2h最大时a或h的值？解：设容器的底面正方形边长为 a，容器的高为h，则由题意知a2+4ah16,故h16a24a，则V=a2h=a216-a24a=14a(16-a2)=14(16a a3)(0a4)，由V/=0得a4 33(负值舍去)，当0a4 3

15、3时，V是a的增函数；当4 33a4时，V是a的减函数.当a=4 33时有最大容积，最大容积为1664 333293.答：当容器的底面边长为4 33，高为2 33时，长方体型无盖容器容积最大.例 4(2011 届南京一模)如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A，B 在直径上，点 C，D 在圆周上若将所截得的矩形铝皮 ABCD卷成一个以 AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积 O A B C D（第17题）已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？例例 4(201

16、1 届南京一模)如图，在半径为如图，在半径为 30cm 的半圆形（的半圆形（O 为圆心）铝皮为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A，B 在直径上，在直径上，点点 C，D 在圆周上若若将所截得的矩形铝皮 ABCD卷成一个以 AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积 A B C D（第17题）已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？半径为 30cm 的半圆形 一种裁剪方法，使圆柱体积最大 矩形 ABCD的面积等于圆柱的侧面积.例 4(2011 届南京一模)如图

17、，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A，B 在直径上，点 C，D 在圆周上若将所截得的矩形铝皮 ABCD卷成一个以 AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积 注意到：矩形 ABCD 的面积是变化的！A B C D 例例 4(2011 届南京一模届南京一模)以变量为主线思考下列问题：1.影响着几何体形状的变的主动点是谁？2.如何把这种“影响”用一个变量来体现？3.可以用选好的变量来算出圆柱体积吗？4.你选择的自变量“好”吗？已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？半径

18、为 30cm 的半圆形 一种裁剪方法，使圆柱体积最大 矩形 ABCD的面积等于圆柱的侧面积.注意到：矩形 ABCD 的面积是变化的！A B C D（第17题）（方法一）设圆柱底面半径为 r，高为 x，体积为 V 由 AB2900 x22r，得 r900 x2，所以 Vr2h1(900 xx3)，其中 0 x30 由 V0，得 x10 3 因为 V 在(0，10 3)上增，在(10 3，30)上减 所以当 x10 3时，V 的最大值为6000 3 答：取 BC 为 10 3cm 时，体积最大，最大值为6000 3 cm3 以变量为主线思考下列问题：1.影响着几何体形状的变的主动点是谁？2.如何把

19、这种“影响”用一个变量来体现？3.可以用选好的变量来算出圆柱体积吗？4.你选择的自变量“好”吗？例例 4(2011 届南京一模届南京一模)A B C D O（第17题）例 4(2011 南京一模)解方二：连结解方二：连结 OC，设，设BOC，圆柱底面半径为圆柱底面半径为 r，高为，高为 h，体积为，体积为 V，则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为 r30cos，高高 h30sin，其中，其中 02 所以所以 Vr2h27000sincos227000(sinsin3)设设 tsin，则，则 V27000(tt3)由由 V27000(13t2)0，得，得 t33，因此，因此 V 在在(0，33)

20、上增，在上增，在(33，1)上减上减所以当所以当 t33时，即时，即 sin33，此时，此时 BC10 3时，时，V 的最大值为的最大值为6000 3 答：略答：略 A B C D O（第17题）小结二：如何找自变量？小结二：如何找自变量？答：1.从等量关系中找自变量；2.从变化的背景中找自变量；3.从问题的结论“求什么”中找自变量.四、实战演练 练习 1.如图所示，要把边长分别为 3,5,7 的ABC 边角地辟为生物园，图中的观光路线 DE 把生物园分成面积相等的两部分，D、E 分别在 AB、AC 上.欲使DE 最长，试确定 D、E 的位置？A B C D E 已知什么？求什么？有哪些等量关

21、系？选“谁”做自变量？练习 1.SADE12SABC，即 ADAE12ABAC152 DE2AD2+AE22ADAEcosAAD2+AE2+ADAE 设设 AD=x，AE=y，其中 x(0，3，y(0，5 问题变为：已知 xy152，求 yDE2x2+y2+xy的最大值.答：当 D 为 AB 中点且 E 与 C 点重合，或 E 为 AC 中点且 D 与 B 点重合时，DE 最长.A B C D E 练习练习 2.如图，实线部分的月牙形公园是由圆如图，实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆上的一段劣弧围成，圆 P 和圆和圆 Q 的的半径都是半径都是 2km

22、，点，点 P 在圆在圆 Q 上，现要在公园内建一上，现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的等腰梯形活动场地上的等腰梯形活动场地 求场地的最求场地的最大面积大面积 D A C B Q P N M 以变量为主线思考下列问题：1.是什么在影响影响着几何体形状的变化？主动点（幕后的黑手）是谁？2.如何把这种“影响影响”用一个变量来体现？3.可以用选好的变量来算出圆柱体积吗？4.你选择的变量是“好”变量吗？练习 2.设梯形的高为 h，则 S梯形ABCD12(BC+AD)h 要 S梯形ABCD最大，只要 BC、AD、h 同时最大，因为 AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，所以 AD 的最大值即为圆

23、的直径，此时 AD 切圆 Q 于 P，而且当 AD 变大时，h 也变大，BC 没变小.D A C B Q P N M 以变量为主线思考下列问题：1.是什么在影响影响着几何体形状的变化？主动点（幕后的黑手）是谁？2.如何把这种“影响影响”用一个变量来体现？3.可以用选好的变量来算出圆柱体积吗？4.你选择的变量是“好”变量吗？D A C B Q P N M 解法 1：要使得场地面积最大，AD 左边 的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆 Q 于 P，则 AD=4，设 BC=x，则弦 BC 的弦心距即为梯形的高 h4(x2)21216x2 S梯形ABCD12(4+x)1216x214(4+

24、x)2(16x2)x(0，4)记 g(x)(x2+8x16)(16x2)，x(0，4)问题转化为求 g(x)的最大值.这是一个数学常规问题!D A C B Q P N M 练习 2.练习 2.解法解法 2：要使得场地面积最大，：要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过左边的部分是一个大小不超过 半圆的弓形，半圆的弓形，AD必须切圆必须切圆 Q 于于 P，再设再设BPA=，则有，则有 S梯形ABCD2SABP+SBPC4(sin+sincos)(02).令令 f()4(sin+sincos)，则，则 f/()0 时，时，3.又又(0，3)时，时，f/()0，(3，2)时，时，f/()0

25、，故故 3时，场地面积取得最大值为时，场地面积取得最大值为 3 3（km2）D A C B Q P N M 练习 2.解法 2：选BPA=为变量，问题转化为 S梯形ABCD2SABP+SBPC4(sin+sincos)令 f()4(sin+sincos)，(02)的最大值.解法解法 1：选：选 BC=x，问题转化为求，问题转化为求 g(x)(x2+8x16)(16x2)，x(0，4)的最大值的最大值.反思：x 和，哪个是“好”自变量？D A C B Q P N M x “抓重点：等量关系是关键；抓重点：等量关系是关键；破难点：变量思想是主线破难点：变量思想是主线.”高考数学应用题的解题策略高考数学应用题的解题策略 策略总结策略总结