《概率论（第四版）》课件3.1 二项分布.pptx

1、n n次独立试验次独立试验2进行n次试验,若任何一次试验各种结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生与否的影响,则称这n次试验相互次试验相互独立独立.当然,相互独立的n次试验中,各次的试验结果相互独立.射手射击试验射手射击试验3设事件A1表示第1次中靶,事件A2表示第2次中靶,事件A3表示第3次中靶,事件A4表示第4次中靶事件B表示在4次射击中恰好有2次中靶显然,4次射击的全部可能结果共有24=16类情况,当然这16类情况中每类情况发生的可能性并不完全是可能性并不完全是等同的等同的考虑某射手射击考虑某射手射击,射击结果分中靶与不中靶两种射击结果分中靶与不中靶两种,若若每次射击相互独立每次射击

2、相互独立,中靶的概率皆为中靶的概率皆为0.7,讨论在讨论在4次次射击中恰好有射击中恰好有2次中靶的概率次中靶的概率射手射击试验射手射击试验4射手射击试验射手射击试验5由于事件事件A1,A2,A3,A4相互独立相互独立,根据1.3乘法公式特殊情况的推广,有概率P(B1)=P(B2)=P(B3)=P(B4)=P(B5)=P(B6)=(0.7)2(0.3)2注意到事件B=B1+B2+B3+B4+B5+B6且事件事件B1,B2,B3,B4,B5,B6两两互斥两两互斥射手射击试验射手射击试验6根据1.2加法公式特殊情况的推广,所以概率P(B)=P(B1+B2+B3+B4+B5+B6)=P(B1)+P(B

3、2)+P(B3)+P(B4)+P(B5)+P(B6)=6(0.7)2(0.3)2=0.264 6产品抽取试验产品抽取试验7考虑一批产品由正品与废品两部分构成考虑一批产品由正品与废品两部分构成,每次从中任每次从中任取取1件产品件产品,放回取放回取n次次,若这批产品的正品率为若这批产品的正品率为p(0p1),讨论在讨论在n次抽取中恰好有次抽取中恰好有i(i=0,1,2,n)次取次取到正品的概率到正品的概率设事件A1表示第1次取到正品,事件A2表示第2次取到正品,事件An表示第n次取到正品,事件B表示在n次抽取中恰好有i次取到正品显然,n次抽取的全部可能结果共有2n类情况,当然这2n类情况中每类情况

4、发生的可能性并不完全是等同可能性并不完全是等同的的产品抽取试验产品抽取试验8产品抽取试验产品抽取试验9产品抽取试验产品抽取试验10由于事件事件A1,A2,An相互独立相互独立,根据1.3乘法公式特殊情况的推广,有概率P(B1)=P(B2)=P(Bm)=piqn-i(q=1-p)注意到事件B=B1+B2+Bm且事件事件B1,B2,Bm两两互斥两两互斥产品抽取试验产品抽取试验11根据1.2加法公式特殊情况的推广,所以概率P(B)=P(B1+B2+Bm)=P(B1)+P(B2)+P(Bm)=mpiqn-in n重贝努里试验重贝努里试验12一般地,在每次试验中,事件A或者发生或者不发生,若每次试验的结

5、果与其他各次试验结果无关,同时在每次试验中,事件A发生的概率皆为p(0p1),则称这样的n次独立重复试验为n重贝努里重贝努里(Bernoulli)试验或独立试验序列概型试验或独立试验序列概型在n重贝努里试验中,事件A发生的次数X是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0,1,2,n,共有n+1个值n n重贝努里试验重贝努里试验13在一次试验中,设事件A发生的概率为p(0p1),从而事件A不发生的概率为q=1-p显然,n次试验的全部可能结果共有2n类情况,当然这2n类情况中每类情况发生的可能性并不完全是等同每类情况发生的可能性并不完全是等同的的n n重贝努里试验重贝努里试验14它所包括的每类情况

6、都是事件A在i次试验中发生且在另外n-i次试验中不发生,根据1.3乘法公式特殊情况的推广,其发生的概率皆为piqn-i由于事件X=i所包括的各类情况两两互斥各类情况两两互斥,根据1.2加法公式特殊情况的推广,所以概率二项分布二项分布15定义定义3.13.1若离散型随机变量X的概率分布用公式表示为则称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布二项分布,记作XB(n,p)容易看出容易看出,当当n=1时时,二项二项分布就化为两点分布分布就化为两点分布.所所以两点分布是二项分布的以两点分布是二项分布的特殊情况特殊情况,二项分布是两二项分布是两点分布的推广点分布的推广.二项分布的数学期望与方差二项分布的

7、数学期望与方差16定理定理3.13.1如果离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即离散型随机变量XB(n,p),则其数学期望与方差数学期望与方差分别为E(X)=npD(X)=npq(q=1-p)二项分布的数学期望与方差二项分布的数学期望与方差17在实际问题中,若n次试验相互独立,且各次试验是重复试验,即事件事件A在每次试验中发生的概率皆为在每次试验中发生的概率皆为p(0p2表示台秤不够用注意到在X2范围内,离散型随机变量X的可能取值只有两个,即X=3与X=4,有概率PX2=PX=3+PX=4例例3 3260.0508例例4 427某厂只有某厂只有6台同型号机床台同型号机床,每台机床开动时

8、所消耗的每台机床开动时所消耗的电功率皆为电功率皆为7.5单位单位,每台机床在每台机床在1小时内均有小时内均有24分钟分钟开动开动,且各台机床开动与否相互独立且各台机床开动与否相互独立,求全部机床消求全部机床消耗电功率超过耗电功率超过30单位的概率单位的概率.例例4 428例例4 429注意到在X4范围内,离散型随机变量X的可能取值只有两个,即X=5与X=6,有概率PX4=PX=5+PX=60.0410例例5 530例例5 531例例5 532事件X=2表示在4次独立重复试验中事件A恰好发生2次,其发生的概率为PX=2例例6 633解:由于离散型随机变量XB(2,p),计算概率PX1=1-PX=

9、0例例6 634例例7 735在进行在进行100重贝努里试验时重贝努里试验时,每次试验中事件每次试验中事件A发生发生的概率皆为的概率皆为0.8,设离散型随机变量设离散型随机变量X表示事件表示事件A发生发生的次数的次数,则它的标准差为则它的标准差为.解:显然,离散型随机变量XB(100,0.8),因此标准差4例例8 836设离散型随机变量设离散型随机变量XB(n,p),若数学期望若数学期望E(X)=1.6,方差方差D(X)=1.28,则参数则参数n,p的值为的值为().(a)n=2,p=0.8(b)n=4,p=0.4(c)n=8,p=0.2(d)n=16,p=0.1例例8 837解:从已知条件得

10、到关系式解此方程组,容易解出未知量例例8 838从而得到未知量p=1-q=1-0.8=0.2即参数n=8,p=0.2(c)例例9 939若离散型随机变量若离散型随机变量XB(10,0.4),则离散型随机变量则离散型随机变量X2的数学期望的数学期望E(X2)=().(a)2.4(b)4(c)16(d)18.4例例9 940解:从已知条件得到数学期望E(X)=np=100.4=4方差D(X)=npq=100.40.6=2.4例例9 941根据2.2定理2.1即计算方差的简便公式D(X)=E(X2)-(E(X)2得到数学期望E(X2)=D(X)+(E(X)2=2.4+42=18.4(d)42最后应该说明的是:对于产品的抽检问题,二项分布的背景是放回抽取放回抽取.但在产品总数很大,且抽取产品数目又很小的条件下,可将不放回抽取近似看作放将不放回抽取近似看作放回抽取回抽取,应用二项分布得到结果43