《概率论（第四版）》课件3.3 指数分布.pptx

1、指数分布指数分布2定义定义3.33.3若连续型随机变量X的概率密度为则称连续型随机变量X服从参数为的指数分布指数分布指数分布指数分布3指数分布的概率密度曲线如图在实际问题中,服从指数分布的连续型随机变量很多,如某些电子元件的寿命,随机服务系统中的服务时间,等等.指数分布指数分布4如果连续型随机变量X服从参数为的指数分布,在ba0的条件下,分别讨论事件aXa及Xb发生的概率由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等于它的概率密度在该区间上的积分它的概率密度在该区间上的积分,并注意到连续型随机变量X的概率密度为指数分布指数分布5事件aXb发生的概率PaXa发生的概率P(Xa)指数分布指数分布7再根

2、据1.2加法公式的特殊情况,事件Xb发生的概率PXa0的条件下的条件下,则概率则概率PaXb=PaXb=Paa=PXa=e-aPXb=PXb=1-e-b指数分布的数学期望与方差指数分布的数学期望与方差9定理定理3.33.3如果连续型随机变量X服从参数为的指数分布,则其数学期望与方差数学期望与方差分别为例例1 110某种型号灯泡的使用寿命某种型号灯泡的使用寿命X小时是一个连续型随机小时是一个连续型随机变量变量,其概率密度为其概率密度为任取任取1只灯泡只灯泡,求这只灯泡使用寿命在求这只灯泡使用寿命在600小时小时1 200小时的概率小时的概率.例例1 111解:由于连续型随机变量X的概率密度为例例

3、1 112事件600X1 200表示任取1只灯泡使用寿命在600小时1 200小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P600X2表示修理任1台待修机械需要时间超过2小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为PX2=e-12=e-20.1353所以修理任1台待修机械需要时间超过2小时的概率为e-20.1353例例3 316(1)任取任取1只电子元件使用寿命超过只电子元件使用寿命超过1 000小时的概率小时的概率(2)任取任取2只电子元件使用寿命皆超过只电子元件使用寿命皆超过1 000小时的概小时的概率率.例例3 317解:(1)事件X1 000表示任取1只电子元件使用寿命超过1

4、000小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为PX1 000=e-10.367 9所以任取1只电子元件使用寿命超过1 000小时的概率为e-10.367 9例例3 318(2)任取2只电子元件中使用寿命超过1 000小时的电子元件只数Y是一个离散型随机变量,它服从参数为n=2,p=e-1的二项分布二项分布,即离散型随机变量例例3 319事件Y=2表示任取2只电子元件使用寿命皆超过1 000小时,其发生的概率为PY=2=e-20.135 3所以任取2只电子元件使用寿命皆超过1 000小时的概率为e-20.135 3例例4 420已知连续型随机变量已知连续型随机变量X服从参数为服从参数为=

5、0.1的指数分布的指数分布,则概率则概率PX20=.解:由于连续型随机变量X服从参数为=0.1的指数分布,根据指数分布概率的计算公式,得到概率PX20=1-e-0.120=1-e-20.864 70.8647例例5 521设连续型随机变量设连续型随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,若已若已知其方差知其方差D(X)=4,则数学期望则数学期望E(X)=().例例5 522解:从已知条件得到关系式注意到0,容易解出于是得到数学期望（b）例例6 623已知连续型随机变量已知连续型随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,求求它取值大于数学期望的概率它取值大于数学期望的概率PX

6、E(X).例例7 724设连续型随机变量设连续型随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,且已且已知它取值大于知它取值大于100的概率的概率PX100=e-2,求求:(1)参数参数值值;(2)概率概率P50X100=e-100=e-100它应等于所给概率值e-2,有关系式e-100=e-2所以得到参数例例7 726P50X150=e-1-e-30.318 1例例7 727(3)由于数学期望根据2.4随机变量数学期望的性质4,所以数学期望E(2X+1)=2E(X)+1=250+1=101例例7 728(4)由于方差根据2.4随机变量方差的性质4,所以方差D(2X+1)=22D(X)=42 500=10 00029