立体几何 专题训练-2023届高三数学二轮复习.docx
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1、2023届高三数学二轮复习立体几何专题训练1(2022四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高三期中(理)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,且AA1=AB=AC=2,ABAC,M、N、P、D分别是CC1、BC、A1B1、B1C1的中点(1)求证:AC/平面PDN;(2)点Q在线段A1B1上,若直线AM与平面QMN所成角的正弦值为3010时,求线段A1Q的长2(2023浙江温州模拟预测)如图,线段AA1是圆柱OO1的母线,ABC是圆柱下底面O的内接正三角形,AA1=AB=3(1)劣弧BC上是否存在点D,使得O1D平面A1AB?若存在,求出劣弧BD的长度;若不存在,请说明理由(2
2、)求平面CBO1和平面BAA1夹角的余弦值3(2022全国高三阶段练习(理)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,AB=AP,PC=BC,D为PB的中点(1)求证:PBAC;(2)若AB=AC,求直线AP与平面PBC所成角的正弦值4(2022北京一七一中高三期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M,N分别为线段PB,PC上的点,MNPB(1)求证:BC平面PAB;(2)求证:当点M不与点P,B重合时,M,N,D,A四个点在同一个平面内;(3)当PA=AB=2,二面角C-AN-D大小为3时,求PN的长5(2023江西景德镇模拟预测(理)如图,正三棱
3、柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是棱AA1,CC1上的点,CM平面BEF,且M是AB的中点.(1)证明:平面BEF平面ABB1A1;(2)若AC=AE,求平面BEF与平面BCE夹角的余弦值.6(2022天津河北高三期中)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,AA1=2AB=2BC=2,E,F分别为AB,CC1的中点. (1)求证:EF/平面AB1C1;(2)求直线BF与平面AB1C1所成角的正弦值;(3)求平面AB1C1与平面B1C1CB夹角的余弦值.7(2008重庆高考真题(理)如图,在ABC中,B=90,AC=152,D、E两点分别在AB、AC上,使ADDB=AEEC=
4、2,DE=3现将ABC沿DE折成直二面角,求:(1)异面直线AD与BC的距离;(2)二面角A-EC-B的大小(用反三角函数表示)8(2022湖南宁乡一中高三期中)如图,平面五边形PABCD中,PAD是边长为2的等边三角形,AD/BC,AB2BC2,ABBC,将PAD沿AD翻折成四棱锥PABCD,E是棱PD上的动点(端点除外),F,M分别是AB,CE的中点,且PC=7(1)证明:ABFM;(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时,求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值9(2022福建莆田第五中学高三期中)已知三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABAC,PA=AC=12AB,N为AB上一点,且A
5、B=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(1)证明:CMSN;(2)求SN与平面CMN所成角的大小.10(2008湖南高考真题(理)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=2(1)证明:平面PBE平面PAB;(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小11(2022福建龙岩高三期中)如图1,E,F,G分别是正方形的三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉,再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起,分别连接AB,CG就得到了如图2所示的几何体(1)若O是四边形EBCF对角线的交点,
6、证明:AO/平面GCF;(2)若二面角A-EF-B的大小为23,求直线AB与平面GCF所成角的正弦值12(2022浙江金华高三阶段练习)如图,在四棱锥S-ABCD中,平而SAD平面ABD,ASD=BAD=BCD=2,SA=SD=2,AB=2BC=2CE=2SF=1(1)求证:EF平面SAB;(2)求点E到平面SAB的距离:(3)求平面SAB与平面SBC的夹角13(2007湖南高考真题(理)如图1,E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD的中点,G是EF上的一点,将GAB,GCD分别沿AB,CD翻折成G1AB,G2CD,并连接G1G2,使得平面G1AB平面ABCD,G1G2AD,且G1G2AD,连
7、接BG2,如图2(1)证明:平面G1AB平面G1ADG2;(2)当AB=12,BC=25,EG=8时,求直线BG2和平面G1ADG2所成的角14(2007湖南高考真题(文)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2,AB=4(1)证明:PQ平面ABCD;(2)求异面直线AQ与PB所成的角;(3)求点P到平面QAD的距离15(2022福建泉州高三期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别为PA,BC的中点(1)证明:EF平面PCD;(2)若ADC=120,且PD=2AD=4,PA=PB=25,求直线AF与平面DEF所成角的正弦值16(2007湖北高考真题(
8、文)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点E,C1B与CB1交于点F(1)求证:A1C平面BDC1;(2)求二面角B-EF-C的夹角余弦值17(2007湖北高考真题(文)如图,在三棱锥V-ABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中点,且AC=BC=a,VDC=02(1)求证:平面VAB平面VCD;(2)试确定角的值,使得直线BC与平面VAB所成的角的为618(2022福建宁德高三期中)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形,E为线段AD的中点,BE=3,PB=2,BPE=60,BC平面PBE(1)证明:PE平面ABCD;(2)当AD为多少时,平面
9、PBE与平面PCD所成的二面角为3019(2022江苏连云港高三期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面ABCD所成角为45,四边形ABCD是梯形,ADAB,BCAD,AD=2,PA=BC=1(1)证明:平面PAC平面PCD;(2)若点T是CD的中点,点M是PT的中点,求点P到平面ABM的距离20(2022重庆南开中学高三阶段练习)刍甍,中国古代数学中的一种几何体中国传统房屋的顶部大多都是刍甍九章算术中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广刍,草也甍,屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图下面的五面体为一个刍甍,其五个
10、顶点分别为A,B,C,D,E,F,四边形ABCD为正方形,AB=2,EF/平面ABCD,EF=1,BF=FC=2,平面BCF平面ABCD,O为BC中点(1)求证:OE平面ADE;(2)求平面ADE和平面BCF所成的锐二面角的大小参考答案1【详解】(1)P、D分别是A1B1、B1C1的中点,PD/A1C1,又三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1/AC,故PD/AC,又PD平面PDN,AC平面PDN,所以AC/平面PDN;(2)以点A为坐标原点,AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则A10,0,2、B2,0,0、M0,2,1、N1,1,0,P1,0,2,设A1Q=A1
11、B1,0,1,点Q2,0,2,所以NQ=2-1,-1,2,NM=-1,1,1,AM=0,2,1,设平面QMN的法向量为n=x,y,z,则nNQ=0nNM=0,可得2-1x-y+2z=0-x+y+z=0,取x=3,则n=3,2+1,2-2,设直线AM与平面QMN所成的角为,则sin=cosn,AM=nAMnAM=2+482-4+145=3010,整理可得82-22+5=0,即4-12-5=0,因为01,解得=14,则A1Q=A1B14=12,即线段A1Q的长为12.2【详解】(1)如图过点O作AB的平行线OD交劣弧BC于点D,连接OO1,O1D,因为OO1AA1,AA1平面AA1B,OO1平面A
12、A1B,则OO1平面AA1B同理可证OD平面AA1B,OO1OD=O,且OO1平面OO1D,OD平面OO1D所以平面AA1B平面OO1D,又因为O1D平面OO1D,所以O1D平面A1AB故存在点D满足题意.因为ABC为底面O的内接正三角形,所以BAC=3,即ABO=BOD=6,又因为AB=3,所以O的半径为32sin3=3,所以劣弧BD的长度为6223=36.(2)如图取BC的中点为M,连接MA,以MB为x轴,MA为y轴,过M作OO1平行线为z轴,建立空间直角坐标系,又因为AA1=AB=3,设AB中点为N.故M0,0,0,B32,0,0,A0,332,0,C-32,0,0,O0,32,0,O1
13、0,32,3,N34,334,0,易知平面AA1B的法向量ON=34,34,0设平面CBO1的法向量为n=x,y,z,又因为MO1=0,32,3,MB=32,0,0故nMO1=0nMB=0即32y+3z=032x=0,令y=23得n=0,23,-1易知平面CBO1和平面BAA1夹角为锐角,所以平面CBO1和平面BAA1夹角的余弦值为nONnON=3223413=39133【详解】(1)证明:因为D为PB的中点,且AB=AP,PC=BC,所以PBAD,PBCD,又ADCD=D,AD,CD平面ACD,所以PB平面ACD,由于AC平面ACD,所以PBAC;(2)解:因为PA底面ABC,所以PAAC,
14、因为AB=AP,PC=BC,AC=AC,所以PACBAC,所以BAAC,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=AC=AP=a,则A(0,0,0),P(0,0,a),B(a,0,0),C(0,a,0),则AP=(0,0,a),PB=(a,0,-a),PC=(0,a,-a),设m=(x,y,z)是平面PBC的一个法向量,则由mPB=ax-az=0mPC=ay-az=0,得x=z,y=z,令z=1,得平面PBC的一个法向量为m=(1,1,1),设直线AP与平面PBC所成角为,则sin=mAP|m|AP|=(1,1,1)(0,0,a)3a=33,所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为3
15、34【详解】(1)因为PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以PABC,因为四边形ABCD为正方形,所以ABBC,因为PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以BC平面PAB,(2)点M不与点P,B重合,由(1)知:BC平面PAB,PB平面PAB,所以BCPB,因为MNPB,MN,BC平面PBC,所以MN /BC,因为BC/AD,MN/AD,故当点M不与点P,B重合时,M,N,D,A四个点在同一个平面;(3)以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为PA=AB=2,由勾股定理可得:PC=AB2+BC2+PA2=23,设PNPC=0,1,当=1时,N,
16、C两点重合,此时二面角C-AN-D不存在,舍去,故PNPC=0,1,所以C2,2,0,A0,0,0,D0,2,0,P0,0,2N2,2,2-2,设平面CAN的法向量为m=x,y,z,则mAC=x,y,z2,2,0=2x+2y=0mAN=x,y,z2,2,2-2=2x+2y+2-2z=0,设x=1,则y=-1,z=0,故m=1,-1,0,设平面AND的法向量为n=a,b,c,则nAD=a,b,c0,2,0=2b=0nAN=a,b,c2,2,2-2=2a+2b+2-2c=0,求得b=0,令a=1,则c=-1,所以n=1,0,-1,因为二面角C-AN-D大小为3,所以cosm,n=mnmn=1,-1
17、,01,0,-11+11+-12=cos3=12,解得:=12,所以PN=12PC=1223=3.5【详解】(1)过M作AA1的平行线交BE,A1B1分别于点H,N,连接FH,如下所示:因为ABC-A1B1C1是正三棱柱,故可得AA1面ABC,MC面ABC,故CMAA1;又三角形ABC为等边三角形,M为AB中点,故CMAB;又AB,AA1面ABB1A1,ABAA1=A,故CM面ABB1A1;因为HM/AA1/CF,则C,M,F,H确定一个平面,即CM面MCFH,又CM/面BEF,面MCFH面BEF=FH,故可得FH/CM,则FH面ABB1A1,又FH面BEF,故面BEF面ABB1A1.(2)根
18、据(1)中所证,可得FH/CM,MH/CF,故四边形MCFH为平行四边形,在ABE中,因为MH/AE,且点M为AB中点,故可得MH=12AE,又CF=MH,则CF=12AE;又MB,MC,MH两两垂直,故以M为坐标原点,连接EC,建立如图所示空间直角坐标系:设AC=2a,则Ba,0,0,C0,3a,0,E-a,0,2a,F(0,3a,a),BE=-2a,0,2a,BF=-a,3a,a,BC=(-a,3a,0),设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),则mBE=0mBF=0,即-2ax+2az=0-ax+3ay+az=0,解得y=0,取x=1,则z=1,故平面BEF的一个法向量m=(1,0,1
19、);设平面BEC的法向量为n=(m,n,t),则nBE=0nBC=0,则-2am+2at=0-am+3an=0,取n=3,则m=3,t=3,故平面BEC的一个法向量n=(3,3,3);设平面BEF,BEC所成二面角的平面角为,则cos=cos=|mn|m|n|=6221=427.故平面BEF与平面BCE夹角的余弦值为427.6【详解】(1)证明:因为,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,AB=BC,所以,BB1平面ABC,ABBC.所以,BA,BC,BB1两两垂直.以B点为原点,分别以BA,BC,BB1所在的方向为x,y,z轴的正方向,如图1建立空间直角坐标系B-xyz.则由已知得
20、,BA=BC=1,BB1=AA1=2.则,B0,0,0,A1,0,0,C0,1,0,B10,0,2,A11,0,2,C10,1,2.因为E,F分别为AB,CC1的中点,则E12,0,0,F0,1,1.所以,EF=-12,1,1,AB1=-1,0,2,B1C1=0,1,0,设n1=x1,y1,z1是平面AB1C1的一个法向量,则n1AB1=0,n1B1C1=0,即-x1+2z1=0y1=0,令z1=1,则n1=2,0,1.EFn1=-122+0+11=0,则EFn1又EF平面AB1C1,所以,EF/平面AB1C1.(2)设直线BF与平面AB1C1所成角为.由(1)知,平面AB1C1的一个法向量为
21、n1=2,0,1,BF=0,1,1.则,cosBF,n1=BFn1BFn1=152=1010则直线BF与平面AB1C1所成角的正弦值sin=cosBF,n1=1010(3)由(1)知,BA,BC,BB1两两垂直.则,BA平面B1C1CB,BA=1,0,0即为平面B1C1CB的一个法向量.cosBA,n1=BAn1BAn1=25=255,所以,平面AB1C1与平面B1C1CB夹角的余弦值为255.7【详解】(1)由题意,平面ADE平面DBCE,平面ADE平面DBCE=DE,ADDE,AD平面ADE,AD平面DBCE,DB平面DBCE,ADDB,又DBBC,DB即为所求距离;AE=23AC=5,D
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