数学史课件第四章-方程求解与代数符号化.ppt

1、2/2/2pqpx 九章算术中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。九章算术把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变形的性质：如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数，那么所得的方程和原方程是同解方程。刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为

2、率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”法。中国古代把解二次方程x2+bx=c的方法称作“带从开方”；把解三次方程x3+bx2+cx=d的方法称作“带从开立方”。北宋数学家刘益（公元1112世纪人）使用“增乘开方法”求解一元高次方程。如，使用“增乘开方法”解 x2+60 x=864.列三行横式 1 60 864补零（前移一位，100 600 864 （2说明商为二位数），首商得2，增乘一次 200 800 100 400 64 200 再增乘一次，100 200 64 去零（后移一位），1 20 64 （4次商得4，增乘一次 4 _64 1 16 0恰好减尽。故得方程

3、根 x=24。开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商加后商”）的几何推导方法 图4.4 面积法开平方由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其边长是三位数。(100 a+10 b+c)2=55225.为此，先估计a=2，如图4.4，于是在AB上截取AE=200,以A为一边做正放形AEFG,从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积：55225 40000=15225。为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b=3。在EB 上截取EH=30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知：矩形FH的面积=矩形FJ的面积=30EF=300200.正方

4、形的 FI的面积=302。因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更细的“曲尺形”的面积为15225（230200+302）=2325。最后估计个位数，用HI230的2倍去试除这个余数，得c5。在HB上截取HK5,再以AK为一边做正方形AKLM，从正方形ABCD减去它，得2325（25230+52）=0。即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的平方根：2352 =55225。古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程4.2.1 4.2.1 丢番图的缩记符号丢番图的缩记符号丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号表示，相当于现在的x。未知量的平方记为，“

5、”是希腊单字“YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE”(cubos,立方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用来表示，他称之为“平方平方”；五次方用K表示，称为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”，以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的，而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中“monads”（MONAE，意为“单位”）一词的缩写。4.2.2花拉子米的“代数学”天元术一元高次方程的筹式布列方法6 6右列，称为外二行相乘）右列，称为外二行相乘）令（令（7 7）（）（8 8）相等，）相等，合并相消，得合并相消，得6 6太太由由2525x x+5+5x x2 25 5x x3+3+x x4 413 =13 =6 61212x x6 6x x2 2 11 11 移项整理得移项整理得5 65 61313x x+11+11x x2 25 5x x3+3+x x4 4 1 =0 1 =0