矩阵分析课件-第四章-矩阵分解.ppt

1、对称矩阵，二次型对称矩阵，二次型第第8节节 Hermite变矩阵、变矩阵、Hermite二次齐式二次齐式HAATAA定理8.1：若A是n阶复矩阵，则，（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ，是实数。nxCHx Ax（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ，是Hermite矩阵。n nSCHS AS定理8.3：若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵U，使得，12(,)HnU AUdiag 定理8.2：若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵Q，使得，12(,)TnQ AQdiag 12,1(,)nnijiji jf x xxa

2、 x xHermite二次齐式，实二次齐式（二次型）()ijjiaa12(,)Tnnxx xxC()ijn nAa12(,)Hnf x xxx AxxPy0P 12(,)Hnf x xxx Ax()()HPyA PyHHy P APyHy ByHBP APHermite二次齐式的标准型：定理8.5,8.6对角矩阵HAA第9节 正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩阵12,1()(,)nHnijiji jf xf x xxa x xx AxHermite二次齐式，实二次齐式（二次型）0 x()0f x 正定的矩阵A正定的()0f x 正定的矩阵A半正定的()0f x负定的矩阵A负定的(

3、)0f x负半定的矩阵A负半定的非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩阵具有相同的正定性与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有 定理9.1:对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的 ()Hf xx Ax()f xHP AP (1)是正定的.(2)对于任何 n 阶可逆矩阵 P 都有 为正定矩阵.(3)A 的 n个特征值都大于零.(4)存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 (5)存在 n 阶可逆矩阵 Q 使得 (6)存在正线上三角矩阵 R 使得 ,且此分解是唯一的.HP APEHAQ QHAR R()f xPPHP AP定理9.3:对于给定的Hermite二次形下

4、列叙述是等价的:(1)是半正定的()Hf xx Ax(2)对于任何 n阶可逆矩阵 都有 为半正定矩阵(3)A的 n个特征值全是非负的(4)存在 n 阶可逆矩阵 使得(5)存在秩为r 的 n 阶矩阵Q 使得000rHIP APHAQ Q第四章第四章 矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解v矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解v正交三角分解正交三角分解v奇异值分解奇异值分解v极分解极分解v谱分解谱分解4.1 矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解定理1.1：设 ，则存在 ，使得m nrAC,m rr nrrBCCCABC证明：m nrAC （1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设 A 的前r列向量是线性无关的

5、。m nrAC行初等变换00rEDm mmPC00rEDPA100rEDAP10rrEPEDCBBC,m rr nrrBCCC定理1.1：设 ，则存在 ，使得m nrAC,m rr nrrBCCCABC证明：m nrAC （2)若 A 的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等变换使其前r个列向量线性无关。m mmPC00rEDPAQn nnQC1100rEDAPQ110rrEPED QCBBC,m rr nrrBCCC例题1.1,1.2矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：定理1.2：若 均为A的满秩分解，那么11ABCBC111,r RrCBBCC(1)存在使得11111111

6、11()()()()HHHHHHHHCCCB BBCC CB BB(2)4.2 矩阵的正交分解矩阵的正交分解（UR、QR分解）分解）定理2.1：设 ，则 A 可以唯一的分解为n nnACAUR11ARU1,n nU UUR是正线上三角阵1R 是正线下三角阵主对角线元素为正的证明：12(,)nA n nnAC12(,)n 正交化正交化单位化单位化12(,)n12(,)nv vv112122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)11111111(,)(,)(,)(,)nnnnnnnn 112121211(,)(,)313231231122(,)(,)(,)(,)1111

7、1111(,)(,)(,)(,)nnnnnnnn 112121211(,)(,)313231231122(,)(,)(,)(,)11111111(,)(,)(,)(,)nnnnnnnn 单位化单位化12(,)n12(,)nv vv111 1c v221 122 2c vc v331 132 233 3c vc vc v1 12 2nnnnnnc vc vc v12(,)nA 1121122212(,)nnnnncccccv vvcUR10iiic,n nUUR正线上三角阵AUR UR11U URR酉矩阵正线上矩阵单位矩阵11U URRE,UU RRAUR即，分解是唯一的。TAUR11TTAR

8、URUAURm rrUURr是 阶正线上三角阵定理2.2：设 ，则 A 可以唯一的分解为m rrACAUR推论2.2：设 ，则 A 可以唯一的分解为r nrUULr是 阶正线下三角阵r nrACALU推论2.3：设 ，则 A 可以分解为1m rrUU2Lr是 阶正线上三角阵m nrAC1122AU R L U1Rr是 阶正线上三角阵2r nrUUABC满秩分解例题2.14.3 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解引理3.1：对任一矩阵A，均有()()()HHrank AArank A Arank A()()()TTrank AArank A Arank A0HA Ax 0HHx A Ax()0HA

9、xAx 0Ax 0Ax 0HA Ax 0Ax 0HA Ax 同解方程()()Hrank A Arank A()()HHrank AArank A证明：引理3.2：对任一矩阵A，均是半正定Hermite矩阵,HHAAA A()0HHHx A AxAxAxm nrAC()(0)HiAAxx x()(0)HiA A yy x1,2,i 12120rrrm12120rrrnHiAA xx(0)(1,2,)iiir定理3.1：对任一矩阵 ，则m nrAC12120rrrm12120rrrn()HiAAxx()HiA A yy证明：HHHiA AA xA xHHiAAA A说明既是的特征值也是的特征值。H

10、iAA同理，也是的特征值。12,Hpix xxAAp设是的对应于（0）的 个线性无关的特征向量；12,HHHHpiA x A xA xA Ap则是的属于 的 个线性无关的特征向量；()()HHiiAAA A和的几何重数相等，从而代数重复数相等,(0)(1,2,)iiir12120rrrm12120rrrn()HiAAxx()HiA A yy定义3.1：对任一矩阵 ，称m nrAC(1,2,)iiiair为矩阵A的正奇异值，简称奇异值。例3.1120000A121000020000HAA5000000005a 定理3.2:若矩阵A是正规矩阵，则A的奇异值是A的非零特征值的模。12(,)HnAUd

11、iagU 12(,)HHnAUdiagU 1122(,)HHnnAAUdiagU 定理3.3：对任一矩阵 ，是A的r个正奇异值，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，满足12rm nrAC000HHAUDVUV12(,),rdiag HHHHU AA UVA AV对角阵，对角阵证明：HAA 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得000HHHU AA U12UUU1m rUU()2mm rUU1122000HHHHUAAUUU1122000HHHHUAAUUU11122122000HHHHHHHHHU AA UU AA UU AA UU AA U11HHVA U令11HHHU AA U 1111()HHHHHHV VA UA U11HHHHHU A A U rE1n rrVU12VVV构造n nVU满足HU AV