用282-解直角三角形应用举例课件1.ppt

1、新人教版九年级数学新人教版九年级数学(下册下册)第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)ABC3、如图，、如图，RtABC中，中，C=90，（1）若）若A

2、=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=3 333tantanm（一）仰角和俯角（一）仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，Zxxk从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.例例1：2003年年10月月15日日“神舟神舟”5号载人航天飞船发射成功当飞号载人航天飞船发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面船完成变轨后

3、，就在离地球表面343km的圆形轨道上运行如图，的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？点的距离是多少？（地球半径约为（地球半径约为6 400km，取取3.142，结果保留整数）结果保留整数）分析分析：从飞船上能最远直接从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点线与地球相切时的切点OQFP如图，如图，O表示地球，点表示地球，点F是飞船的位置，是飞船的位置，FQ是是

4、 O的切线，切点的切线，切点Q是从飞船观测是从飞船观测地球时的最远点地球时的最远点PQ 的长就是地面的长就是地面上上P、Q两点间的距离，为计算两点间的距离，为计算PQ 的的长需先求出长需先求出POQ（即（即a）解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形18a PQ的长为的长为6.200964014.3640018018 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约点约2009.6kmOQFPCOS a=OQOF64006400+3500.948例例2:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的

5、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与，热气球与高楼的水平距离为高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数），这栋高楼有多高（结果取整数）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60 RtRtABCABC中，中，a a=30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDB

6、D；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a=30,=60，AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1mABCD1.建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角50，观察底部，观察底部B的的仰角为仰角为45，求旗杆的高度（精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD4

7、0m5445ABCD40m5045解：在等腰三角形BCD中ACD=90BC=DC=40m在RtACD中ta nA CA D CD Ctan54401.38 4055.2所以AB=ACBC=55.240=15.2答：棋杆的高度为15.2m.AC=DCtanADC2.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从一边同时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那么开挖点，那么开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（精成一直线（精确到确到0.1m）50140520mABCE

8、DBED=ABDD=90BDE 是是RTcosDEBDEBDcos505200.64 520332.8答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角 DE=COSBDEBD总结总结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题；才能恰当地把实际问题转化为数学问题；2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角、认

9、真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；形；3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注、根据题目中的对精确度的要求保留，并注 明单位。明单位。指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30 点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南（二）方位角（二）方位角例例3如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔8

10、0海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在处，这时，海轮所在的的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？解：如图解：如图，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.991=72.505在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin130559.0505.7234sin505.72sinBPCPB当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130海里海里6534

11、PBCA 海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230练习练习 2 BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=

12、30设设DF=x,AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险3060修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度坡的倾斜程度.坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做坡）的比叫做坡面面（或（或）.记作记作i,即即 i=.坡度坡度通常写成通常写成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6.坡面与坡面与 水平面水平面的夹角叫做坡角

13、，记作的夹角叫做坡角，记作a，有，有.显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.lhlh（三）坡度（三）坡度例例4.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡是指坡面的铅直高度面的铅直高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，C

14、ED=90tan1:3DEiCE 18.4(1)一段坡面的坡角为60，则坡度i=_；(2)32 3,(),()i已知一个坡面上，铅垂高度为，坡面长为则坡度 坡角 为 。30练习练习 3 答案答案:米米)2003200(合作与探究合作与探究（3 3）如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线上，三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.ABO3045400米米P （2）如图）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽，水库大坝的横断面是

15、梯形，坝顶宽6m，坝高，坝高23m，斜坡，斜坡AB的坡度的坡度i=1 3，斜坡，斜坡CD的坡度的坡度i=1:2.5，求斜坡，求斜坡AB的坡面角的坡面角，坝底宽，坝底宽AD和斜和斜坡坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）坝底坝底AD的宽为的宽为132.5m，斜坡斜坡AB的长为的长为72.7m1 1数形结合思想数形结合思想.方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形.思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想.3 3转化（化归）思想转化

16、（化归）思想.课堂小结课堂小结 1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题。2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。3、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。4、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。不经历风雨，怎么见彩虹不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便便成功没有人能随随便便便成功!同学们努力吧！同学们努力吧！气象台发布的卫星云图显示，代号为气象台发布的卫星云图显示，代号为W的

17、台风在某海岛（设为的台风在某海岛（设为点点O）的南偏东）的南偏东45方向的方向的B点生成，测得点生成，测得 台台风中心从点风中心从点B以以40km/h的速度向正北方向移动，经的速度向正北方向移动，经5h后到达海后到达海面上的点面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点处因受气旋影响，台风中心从点C开始以开始以30km/h的的速度向北偏西速度向北偏西60方向继续移动以方向继续移动以O为原点建立如图为原点建立如图12所示的所示的直角坐标系直角坐标系（1）台风中心生成点）台风中心生成点B的坐标为的坐标为 ，台风中心转折点，台风中心转折点C的的坐标为坐标为 ；（结果保留根号）；（结果保留根号）（2）已知距

18、台风中心）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为果某城市（设为A点）位于点点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？100 6kmOBx/kmy/km北东AOBC图12解：（1）(100 3 100 3)B，(100 3 200 100 3)C，（2）过点）过点C作作 于点于点D，如图，如图2，则，则 CDOA100 3CD在在 中中 RtACD30ACD1003CD 3cos302CDCA2 0 0C A2

19、00206305611台风从生成到最初侵袭该城要经过台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时小时60 x/kmy/kmAOBC图图2D如图，海岛如图，海岛A四周四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在在B处见岛处见岛A在北偏西在北偏西60，航行，航行18海里到海里到C，见岛，见岛A在北偏西在北偏西45，货，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCPP14560 （1）如图，一艘渔船正以）如图，一艘渔船正以40海里海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在小时的速度由西向东赶鱼群，在A处处看某小岛看某小岛C在船的北偏东

20、在船的北偏东60，半个小时后，渔船行止，半个小时后，渔船行止B处，此时看见小岛处，此时看见小岛C在船的北偏东在船的北偏东30已知以小岛已知以小岛C为中心，周围为中心，周围15海里以内为我军导弹部队海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能的可能?隐藏 对象解：设解：设BD=x 海里海里由题意得由题意得AB=20，AD=20+x在在RtACD和和RtBCD中，中，CD=ADtan30=BDtan60 x=10所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区所以这艘渔船继续向东追赶鱼群

21、，不会进入危险区32033(x)x 106010 317 32CDtan.15 （2）正午）正午8点整，一渔轮在小岛点整，一渔轮在小岛O的北偏东的北偏东30方向，距离等于方向，距离等于20海里海里的的A处，正以每小时处，正以每小时10海里的速度向南偏东海里的速度向南偏东60方向航行那么渔轮到达小岛方向航行那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到的正东方向是什么时间？（精确到1分）分）10时时44分分3060AOBC 【例例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角其中燕尾角B是是45，外口宽，外口宽AD是是180m

22、m，燕尾槽的深度是，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽求它的里口宽BC（精确到（精确到1mm）解：等腰梯形中，解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，B=45AEBCAEtanBBE22 70180320BCBEEFFCBEAD707045AEBEtanBtan又又BE=EC答：它的里口宽答：它的里口宽BC长为长为320mm （2）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是是5.5m，测得斜坡的倾斜角是，测得斜坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树的坡面距离是，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到多少（精确到0.1m）

23、上述问题可以归结为：上述问题可以归结为：在在RtABC中，中，C=90，AC=5.5，A=24，求，求AB 5.56.0()cos0.9135ACABA米米解：在解：在RtABC中，中，ACcos AAB答：斜坡上相邻两树的坡面距离是答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米米AC1000米米570米米B 6我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为脚和山顶的水平距离为1000米，山高为米，山高为580米，如果这辆坦克能够爬米，如果这辆坦克能够爬30的斜的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？坡，试问：它能不能通过这座小山？A 30这辆坦克不能通过这座小山这辆坦克不能通过这座小山tan 30=330.577 tan30tanA=BCAC=5801000解：解：BCAC，BC=570米米，AC=1000米米=0.58