弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件.ppt

1、要 点:将微分方程转变成差分方程。基本思想:将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分方程的问题变成求代数方程的问题。7-1 7-1 差分公式的推导 7-2 7-2 稳定温度场的差分解7-3 7-3 不稳定温度场的差分解7-4 7-4 应力函数的差分解7-5 7-5 应力函数的差分解的实例7-6 7-6 温度应力问题的应力函数差分解7-7 7-7 位移差分解7-8 7-8 位移差分解实例7-9 7-9 多连体问题的位移差分解7-10 7-10 温度应力问题的位移差分解7-0 7-0 弹性力学的数值计算方法简介工程问题（力学、物理等）建立一组基本方程

2、控制微分方程定值条件常微分方程偏微分方程位移边界条件力的边界条件初始条件求解精确解近似解（数值解）（均质、边界条件简单）（1）有限差分法（2）等效积分法（包括变分法）（3）有限单元法（4）边界单元法（1）有限差分法（FDM）要点：差分微分；代替差分方程代替微分方程。（代数方程）yx0 13hhhffxf2310优点：yx0 13hhhffxf2310收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。代表性软件：FLAC缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。（2）等效积分法控制微分方程边值条件建立等效的积分方程假设未知函数整个区域内近似求解（a）加权余量法（加权残值法）（配点法、子域法、最小二乘法、

3、力矩法、Galerkin法、等）（b）变分法 当原问题存在某个泛函时，则原问题等价于求该泛函的驻值。如：Ritz 法等。特点：在整个区域内，假设未知函数。适用于边界几何形状简单的情形。)(xfxxy（3）有限单元法（FEM）加权余量法、变分法的推广。基本思想：整个区域分成若干个单元区域离散假设未知函数在单元上由变分原理等求出单元结点上值（近似解）主要有限元软件：SAP，ADINANASTRAN、ANSYS、ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等 早期的软件1.中心差分公式7-1 7-1 差分公式的推导设函数：),(yxff 为弹性体内的某个函数（应力分量、位移分量、应力函数 、温度等）。

4、yx 在弹性体上用相隔等间距 h 且平行于坐标轴的两组平行线组成网格，称为差分网格。网格线的交点称为节点（结点）。013h 则函数 f=f(x，y)在平行于 x 轴的网格线上，如节点：3-0-1 3-0-1 上，它只随 x 而变化。考察结点 0 0 处，函数 f=f(x，y)的变化，可展开成 Taylor 级数：3003320022000)(!31)(!21)(xxxfxxxfxxxfff40044)(!41xxxf（a a）h若略去三次幂以上各项，式（a）变为：)(000 xxxfff20022)(!21xxxf（b b）节点3 3及1 1的 x 坐标：hxx03hxx01将其代入式（b b

5、），有：02220032xfhxfhff（c c）02220012xfhxfhff（d d）联立求解，得：hffxf231020310222hfffxf（7-17-1）（7-27-2）yx013hh24yx013hhhffxf231020310222hfffxf（7-17-1）（7-27-2）同理，在网格线4-0-24-0-2上取)(000yyyfff20022)(!21xyyf（e e）类似于，x方向的讨论，有hffyf2420（7-37-3）20420222hfffyf（7-47-4）式（7-17-1）（7-47-4）称为基本差分公式。5678混合二阶导数的差分公式：002yfxyxfhy

6、fyf231hhffhff2228765)()(4175862ffffh)()(417586202ffffhyxf（7-57-5）进一步可导出四阶偏导数的差分公式：yx01324hh进一步可导出四阶偏导数的差分公式：91011126yx01324578h)()(4611193104044fffffhxf)(2414321040224fffffhyxf)(8865ffff)()(46112104204044fffffhyf（7-67-6）以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。说明：2.端点差分公式向前差分公式yx01324567891011

7、12h把导数：0 xf用函数值：f0 f1 f9表示；把导数：0yf用函数值：f0 f2 f10表示。由：)(000 xxxfff20022)(!21xxxf（b b）得到：20220092212hxfhxfff202200121hxfhxfffhfffxf243910029100222hfffxfhfffxf243910029100222hfffxfyx0132456789101112h（7-7）)(000yyyfff20022)(!21yyyf（e e）同理，对 y 方向，有：202200102212hyfhyfff202200221hyfhyfff由此解得：hfffyf243102002

8、10200222hfffyf（7-9）式（7-7）、（7-9）称为前差公式。向后差分公式yx0132456789101112h把导数：0 xf用函数值：f0 f3 f11表示；0yf用函数值：f0 f4 f12表示。由：把导数：)(000 xxxfff20022)(!21xxxf（b b）得到：202200112212hxfhxfff202200321hxfhxfff由此解得：hfffxf24311300211300222hfffxf（7-87-8）yx0132456789101112h同理，对 y 方向，有：)(000yyyfff20022)(!21yyyf（e e）202200122212

9、hyfhyfff202200421hyfhyfff可解得：hfffyf24312400212400222hfffyf（7-10）hfffxf24311300211300222hfffxf（7-87-8）式(7-8)、(7-10)称为后差分公式 与中心差分公式类似，由式（7-7）（7-10）可推出高阶导数的差分公式。（1）中心差分（导数）公式与 端点差分（导数）公式比较，前者的精度较高。所以尽可能应用中心差分公式。说明：（2）在前面差分公式的推导中，应用了近似式：)(000 xxxfff20022)(!21xxxf（b b）略去了三次幂以上的各项，其实质：在（x x0）的区间上，将f（x，y）沿

10、 x 方向用抛物线函数代替。所以，式（7-7）（7-10）称为抛物线差分公式。（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：)(000 xxxfff略去了二次幂以上的各项，则：（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：)(000 xxxfff略去了二次幂以上的各项，则：yx0132456789101112hhffxf300hffxf010或 线性差分公式 前差公式 后差公式线性差分公式的精度较低，很少采用。（4）若在差分公式的推导中，应用高阶近似关系，如：3003320022000)(!31)(!21)(xxxfxxxfxxxfff40044)(!41xxxf由此得到的差分公式精度较高。但

11、由于其涉及节点较多，实际应用不方便，所以也很少采用。7-2 7-2 稳定温度场的差分解1.热传导方程一般情形下，热传导方程：,0t,0zT0tTtTatT2对无热源、平面、稳定的温度场，有其热传导方程变成二维的调和方程：022222yTxTT（a）2.热传导方程的差分方程24yx013hh将温度场的域内划分网格，取任一节点，如：节点 0，应有：0022022yTxT（b）24yx013hh由差分公式（7-2）、（7-4），得：022xT20312hTTT022yT20422hTTT2.热传导方程的差分方程将温度场的域内划分网格,取任一节点，如：节点 0，应有：0022022yTxT(b)（c）

12、（d）将式（c）、（d），代入式（b）得：0443210TTTTT（7-11）每一个节点均可建立上述方程。3.边界条件的引入（1）第一类边界条件),(yxTTs由于边界点的 T 值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。3.边界条件的引入（1）第一类边界条件),(yxTTs由于边界点的 T 值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。（2）第二类边界条件0 02 24 43 30 xq1 1边界外边界内xysnsqnT0snT 绝热条件对于与 x 轴垂直的边界，有sxsqxT故对于 边界点 0，有:00 xqxT 在边界点0右侧设虚节点1，0312xqhTT0312xqh

13、TT 由一阶差分公式（7-1），有:0 02 24 43 30 xq1 1边界外边界内xy 在边界点0右侧设虚节点1，0312xqhTT0312xqhTT 由一阶差分公式（7-1），有:将其代入差分方程（7-11）：0443210TTTTT 即该边界为绝热边界，有：04320224xqhTTTT（7-12）边界外边界内xy0 01 14 42 23 3 0yq 对于与 y 轴垂直的边界节点0，04310224yqhTTTT（7-12）若：00 xq 整理得：0244320TTTT（7-13）（7-11）有：0422yqhTT（3）第三类边界条件)(essTTnT 式中，Te 为周围介质的温度，

14、0 02 24 43 3eT1 1边界外边界内xy)(00eTTxT 对于与 x 轴垂直的边界节点0，有：)(2031eTThTT 由一阶差分公式（7-1），有:)(2031eTThTT将上式代入差分方程（7-11），并整理得边界节点0点的差分方程：eThTTTTh22244320（7-14）为放热系数。0443210TTTTT(7-11)（4）第四类边界条件 已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换的情况。对于两物体完全接触情形，物体表面的温度 Ts 和接触物体表面温度 Te 相同，即esTT 此时与第一类边界条件 相同。边界外边界内xy0 01 14 42 23 3eT 对于与

15、y 轴垂直的边界节点，有：eThTTTTh22244310（7-14）)(2042eTThTT)(2042eTThTT将上式代入差分方程（7-11），并整理得边界节点0点的差分方程：0443210TTTTT(7-11)例：图示矩形薄板，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知节点温度值标于图中各节点上（单位：）。求：板内的节点温度。6m8mabcdefgi101214161840322435302520解：划分网格：43,编排节点号：a i列节点差分方程：节点 a：0 01 12 23 34 40443210TTTTT035324bcaTTT节点 b：024164adbTTT节点 c：0304ad

16、ecTTTT节点 d：0144cbfdTTTT节点 e：0254cfgeTTTT节点 f：0124edifTTTT内节点边界节点：节点 g：绝热边界：0244320TTTT内节点：0 02 23 34 402024eigTTT节点 i：02104gfiTTT6m8mabcdefgi1012141618403224353025200 01 12 23 34 40 02 23 34 402104gfiTTT例：图示矩形薄板，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知节点温度值标于图中各节点上（单位：）。求：板内的节点温度Ta、Ti。解：划分网格：43,编排节点号：a i列节点差分方程：节点 a：0353

17、24bcaTTT节点 b：024164adbTTT节点 c：0304adecTTTT节点 d：0144cbfdTTTT节点 e：0254cfgeTTTT节点 f：0124edifTTTT内节点边界节点：节点 g：02024eigTTT节点 i：联立求解方程组，得：,51.28aT,03.22bT,99.24cT,61.19dT,84.21eT,41.17fT,97.19gT20.16iT4.不规则边界条件的处理0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA（1）第一类边界：),(yxTTs将温度 T 在节点0邻近处沿 x方向展开为Taylor级数，略去(x-x0)的三次方以上项，有2

18、0022000)(21)(xxxTxxxTTThxx03hxxA0hxx011002220032 xThxThTT02222002xThxThTTA由此可解得：0320)1()1()1(11TTThxTA0320221)1(1)1(12TTThxTA0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA10由此可解得:0320)1()1()1(11TTThxTA0320221)1(1)1(12TTThxTA042202221TTThyT由：0022022yTxT得：ATTTTT)1(212)11(24320（7-15）100443210TTTTT（7-11）0 04 43 31 1边界外边界

19、内xyhhhh B102 20 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA10ATTTTT)1(212)11(24320（7-15）100443210TTTTT（7-11）类似地，对于 y 方向网格线上的不规则边界点B，有：BTTTTT)1(212)11(24310（7-15）101,10 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhABh 对于图中不规则边界节点A、B，有：4301111)11(TTTBATT)1(1)1(1（7-16）（2）第二类边界：snsqnT0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA10Axq将第一类边界情形中的 TA 用Axq表示。在 A

20、 点邻域内沿 x 方向展 Taylor 级数，并略去二阶以上各项：222)(21)(AAAAAxxxTxxxTTT202200)(21)(AAAAAxxxTxxxTTTAxq（2）第二类边界：0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA1将第一类边界情形中的 TA 用Axq表示。在 A 点邻域内沿 x方向展 Taylor 级数，并略去二阶以上各项：222)(21)(AAAAAxxxTxxxTTT202200)(21)(AAAAAxxxTxxxTTTsnsqnT232233)(21)(AAAAAxxxTxxxTTThxxA0hxxA)1(3AAAxThxThTT222202AAAxT

21、hxThTT222232)1()1(从式中消去：并求出 TAAxT220 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA1AxqAAAxThxThTT222202AAAxThxThTT222232)1()1(从式中消去:并求出 TA，有AxT22AAxThTTT)1()1(2113202（d）由：AxAqxT得：AxAqxT1代入上式，有：AxAqhTTT)1()1(2113202ATTTTT)1(212)11(24320（7-15）0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA1AxqAxAqhTTT)1()1(2113202代入式（7-15）右端的 TA：并整理、简化得：A

22、xqhTTTT)(212212)21)1(4432010（7-17）A0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhh1,1Bh 对于图示不规则节点0的差分方程，由类似的推导，有：Axq Byq430211211211211TTTByAxqqh)(211)(21110 ,10（7-18）（3）第三类边界：)(essTTnT0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA10eT)(eAATTxT将其代入式（d）：AAxThTTT)1()1(2113202（d）0 02 24 43 31 1边界外边界内xyhhhhA10eT（3）第三类边界:)(essTTnT)(eAATTxT将其代

23、入式（d）：AAxThTTT)1()1(2113202(d)得到：eAATThTTT)1()1(2113202（e）由式（e）求出 TA ：eAThTThT)1()1()1(21(13202将上式代入式（7-15）右端 TA ，eAATThTTT)1()1(2113202(e)由式（e）求出 TA :eAThTThT)1()1()1(21(13202ATTTTT)1(212)11(24320（7-15）整理即得节点0的差分方程。eThkTTkTTk21)1(2)1)(11(24320式中 ：)1(21(1hk7-4 7-4 应力函数的差分解yx0132456789101112h1.应力函数的差

24、分方程应力分量的差分表示平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：,22yx,22xyyxxy2任一点 0 处应力分量的差分格式：0220yx04222)(1h0220 xy03122)(1h020yxxy)()(4186752h（7-24）对常体力情况，将体力转换为面力分析。应力函数的差分方程yx0132456789101112h平面问题（不计体力时），应力相容方程为：0244224444yyxx在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：02044022404404yyxx由四阶导数差分公式，得：044x)()(4611193104h0224yx)(241432104h)(8865)()(461

25、12104204044hy将其代入相容方程，有)(82043210)(287650)(1211109（7-25）yx0132456789101112h 对于弹性体边界内的每一节点，都可建立上述方程。1314但对紧靠边界内一行节点，建立其差分方程时，还包括边界上各点处的 值和边界外一行的结点处的 值。弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。如：节点13、14等。应力函数差分方程2.边界节点 值的确定BA 边界节点的 值由边界条件确定。由边界条件方程：XmlsxysxYmlsysxyXyxmylss222Yxmyxlss222（b）Xyxmylss222Yxmyxlss222（b）AxyO dxdyd

26、sNXYBxByByx如图可见：dsdyxNlcos),cos(dsdxyNmsin),cos(代入式（b），有：Xyxdsdxydsdyss222Yxdsdxyxdsdyss222上式进一步可写成：XydsdsYxdsds（c）对上式从 A 到 B 积分：BABAdsXyBABAdsYx或写成本章前面内容回顾1.有限差分法（FDM）基本思想要点：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（代数方程）hffxf23102.中心差分公式yx01324hhhffxf231020310222hfffxf（7-17-1）（7-27-2）hffyf2420（7-37-3）20420222hfffyf（7-47

27、-4）基本差分公式5678yx01324hh混合二阶导数的差分公式：)()(417586202ffffhyxf（7-57-5）四阶导数的差分公式：)()(4611193104044fffffhxf)(2414321040224fffffhyxf)(8865ffff)()(46112104204044fffffhyf（7-67-6）91011123.端点差分公式向前差分公式hfffxf243910029100222hfffxfyx0132456789101112h（7-7）向后差分公式hfffxf24311300211300222hfffxf（7-87-8）4.稳定温度场的差分公式022222y

28、TxTT（a）24yx013hh0022022yTxT热传导方程热传导的差分方程0443210TTTTT（7-11）各类边界条件的引入（1）第一类边界条件),(yxTTs由于边界点的 T 值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。（2）第二类边界条件snsqnT0 02 24 43 30 xq1 1边界外边界内xy04320224xqhTTTT（7-12）（3）第三类边界条件)(essTTnT0 02 24 43 3eT1 1边界外边界内xyeThTTTTh22244320（7-14）（4）第四类边界条件同第一类边界条件5.应力函数的差分方程yx0132456789101112h1

29、314BAhh（7-24）0220yx04222)(1h0220 xy03122)(1h020yxxy)()(4186752h 应力分量差分公式)(82043210)(287650)(1211109（7-25）应力函数差分方程2.边界节点 值的确定yx0132456789101112h1314BA 边界节点的 值由边界条件确定。由边界条件方程：XmlsxysxYmlsysxyXyxmylss222Yxmyxlss222（b）AxyO dxdydsNXYBxByByxXyxmylss222Yxmyxlss222（b）AxyO dxdydsNXYBxByByx如图可见：dsdyxNlcos),co

30、s(dsdxyNmsin),cos(代入式（b），有：Xyxdsdxydsdyss222Yxdsdxyxdsdyss222上式进一步可写成：XydsdsYxdsds（c）对上式从 A 到 B 积分：BABAdsXyBABAdsYx或写成AxyO dxdydsNXYBxByByxBAABdsXyyBAABdsYxx（d）计算应力函数 的全微分，有：dyydxxd两边积分，有：BABABAdyydxxd分步积分：BABAdxxxxx22BABAdyyyyy22dxx22dxxxdxdxdsxdsddsxdsd同理，有：dsydsddyy22dxx22AxyO dxdydsNXYBxByByxdsx

31、dsddsydsddyy22dxx22由式（c），有：XydsdsYxdsds（c）dsXdsYdyy22dxx22代回前式，有：BABABAdxxxxxd22BABAdyyyyy22BABABAdsYxxxdBABAdsXyyyABBAxxxxdBAdsYxAByyyyBAdsXyAABBBAxxxxBAdsYxAABByyyyBAdsXyAABBBAxxxxBAdsYxAABByyyyBAdsXy再利用：,BAABdsXyyBAABdsYxxAABAABBAxxdsYxxBAdsYxAABAAByydsXyyBAdsXyAABAABAByyyxxxBABBABdsXyydsYxx（d）（e

32、）BAABdsXyyBAABdsYxx（d）AABAABAByyyxxxBABBABdsXyydsYxx（e）AxyO dxdydsNXYBxByByx由式（d）、（e）可见：当AAAyx,已知时，即可由面力分量 X、Y 求得：BBByx,AxyO dxdydsNXYBxByByx 由第三章理论可知，在应力函数 上加上线性函数，不影响应力的值。因而，可在应力函数 上加上线性函数：cybxa适当选取 a、b、c 的数值，总可使得：,0A,0Ax0Ay于是式（d）、（e）可变为：BABdsXyBABdsYxBABBABBdsXyydsYxx（7-26）（7-27）（7-28）确定边界结点 及其导数

33、值的基本公式。AxyO dxdydsNXYBxByByx说明：（1）式（7-26）（7-28）适用于单连体的情况。对于多连体，则只能选取某一个连续边界S上一点 A 为基准点，并取：,0AAAyx而应力函数在其它边界上不再有任意性。如：在另一连续边界S1上任选取一点 A1，一般有：0,0,0111AAAyx而需有位移单值条件确定。（2）BABdsXyBABdsYx（7-26）（7-27）物理意义：边界上 A、B 两点间 x 方向面力之和。物理意义：边界上 A、B 两点间 y 方向面力之和。因而，差分解应用于多连体问题不方便。AxyO dxdydsNXYBxByByxBABBABBdsXyydsY

34、xx（7-28）物理意义：边界上 A、B 两点间 面力对B点的矩。力矩的正负号由坐标系确定，图中以顺时针为正。3.虚节点 值的确定yx0132456789101112h1314BAhh 可用应力函数 在边界上的导数和边界内一行各结点的 值表示。如：,2913hxAhyB21014由此可求得：yx0132456789101112h1314BAhh由此可求得：Axh2913Byh21014（7-29）4.不规则边界内节点、虚节点的 值hhh10956B h边界外基本思路：将紧靠边界的节点1不作为独立的内节点，即并不将其 1 值作为独立的未知量，而把它用 0 来表示。具体方法：在 B 点附近，将应力

35、函数 沿 x 方向展为Taylor级数，并略去（xxB）的三次以上幂，有222)(21)(BBBBBxxxxxxhhh10956B h边界外222)(21)(BBBBBxxxxxx有：hxxB)1(9hxxB1hxxB)1(0hxxB)1(9hxxB1hxxB)1(0代入上式，有：BBBxhxh22229)1(21)1(BBBxhxh2222121BBBxhxh22220)1(21)1(（f）（g）（h）从中可求得：hhh10956B h边界外02229)1()1(1)1(2)1(4BBxh02221)1(1)1(21BBxh（i）（j）显然，当 =0 时，有：B1Bxh209其中，第二式与前

36、面虚节点 值的计算公式相同。5.差分法的求解步骤（1）在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：,0AAAyx然后，由公式：BABdsXyBABdsYxBABBABBdsXyydsYxx（7-26）（7-27）（7-28）计算边界上各结点处的应力函数 值及其导数值；（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的 值用边界内相应节点的 值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的 值用边界内相应节点的值表示；yx0132456789101112h1314BAhhAxh2913Byh21014（7-29）C16D17注意：对虚节

37、点16：hxC2161515Cxh21516对虚节点17：hyD21712Dyh212170220yx04222)(1h0220 xy03122)(1h020yxxy)()(4186752h（7-24）（4）由应力分量的差分表达式（7-24），求出各节点的应力等。（3）对边界内的每一个结点建立差分方程（7-25）：)(820432100)(1211109（7-25）)(28765并联立解出各结点的 值；应力函数差分法小结：)(82043210)(287650)(1211109（7-25）（1）应力函数差分方程 每一个内结点均可建立一方程。yx0132456789101112h1314BAhhB

38、ABdsXyBABdsYxBABBABBdsXyydsYxx（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点 及其导数值的基本公式（3）确定虚结点 值的基本公式（3）确定虚结点 值的基本公式Axh2913Byh21014（7-29）（4）结点应力分量的差分公式0220yx04222)(1h0220 xy03122)(1h020yxxy)()(4186752h（7-24）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（5）结点应力函数 及其导数值的物理意义BABdsXyBABdsYx（7-26）（7-27）物理意义：边界上 A、B 两点间 x 方向面力之和。物理意义

39、：边界上 A、B 两点间 y 方向面力之和。BABBABBdsXyydsYxx（7-28）物理意义：边界上 A、B 两点间 面力对B点的矩。AxyO dxdydsNXYBxByByx（6）不规则边界内节点、虚节点 值hhh10956B h边界外02229)1()1(1)1(2)1(4BBxh02221)1(1)1(21BBxh10yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM7-5 7-5 应力函数的差分解的实例1.问题 设一正方形的混凝土深梁（边长 6h），上边界受有均布压力 q，并下角点处的两反力维持平衡。

40、试由应力函数的差分解法，求各节点的应力分量。2.求解 由于对称性，如图建立坐标系，并取其一半分析。求解过程：（1）适当划分差分网格、编节点号；（2）选取基点A，并计算边界节点的 及其导数值；计算公式：BABdsXyBABdsYxBABBABBdsXyydsYxxyxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM4.5qh24.0qh22.5qh200000000003qh0MLKJE、F、G、H、IDB、CA结点xy（3）计算边界外一行虚节点的 值；Ayh2131913,116,217,318,1420,1521

41、hxI2223Ixh2322236qhBABdsXyBABdsYxBABBABBdsXyydsYxxyxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM同理，得：,62623qh,62924qh,621225qh215266qh（4）对边界内节点建立差分方程；公式：6543210(2)(8200)()121110987（7-25）对节点1：013245678910111252421(2)(820LM0)()163735L式中：ML,为已知；116代入上式，整理得：02048216212754321qh对节点15：B

42、EC11121415(2)(8200)()9262113FD（d）yxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM01324567891011120622882215141312119qh（e）类似于式（d）、（e）可得到15 个方程，其中含15个未知量，可求解得到（以 qh2 单位）：,36.41,89.32,47.23,98.34,59.35,35.26,29.37,03.38,10.29,23.210,13.211,63.112,92.013,94.01488.015（5）计算边界外一行虚节点的 值（以

43、qh2 单位）；上下虚节点：,36.4116,89.3217,47.2318,92.01319,94.0142088.01521左侧虚节点：,53.362322qh,65.32623qh,90.362924qh,37.42512.526（6）计算应力值（中截面）；yxq3qh3qh1921 201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112MMxy22Mh2)(116120220yx04222)(1h50.4236.436.422hqhq28.0同理，可求得：,24.01qx,31.04qx,37.07qx,

44、25.010qx,39.013qxqAx75.0应力分布如图。与材料力学结果比较：,75.0qMxqAx75.0两者相差较大。求解步骤:（1）在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：,0AAAyx然后，由公式：BABdsXyBABdsYxBABBABBdsXyydsYxx（7-26）（7-27）（7-28）yx0132456789101112h1314BAhh计算边界上各结点处的应力函数 值及其导数值；（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的 值用边界内相应节点的值表示；yx0132456789101112h1314BAhhAxh2913Byh21014（7-29）（3）对边界内的每

45、一个结点建立差分方程（7-25）：)(820432100)(1211109（7-25）)(28765并联立解出各结点的 值；0220yx04222)(1h0220 xy03122)(1h020yxxy)()(4186752h（7-24）（4）由应力分量的差分表达式（7-24），求出各节点的应力等。yx0132456789101112h1314BAhh课堂练习题：用差分法计算图示基础梁的最大拉应力，并与材料力学公式给出的结果比较。xyq4qhhhhhh2h2h解：（1）划分差分网格、编节点号；12ADCBGFE56437（2）选取基点A，并计算边界节点的 及其导数值；BABdsXyBABdsYx

46、BABBABBdsXyydsYxx0 2qh2 2qh2 2qh2000002qh0GFEDCBA结点xy22qh232qh（3）计算边界外一行虚节点的 值；xyq4qhhhhhh2h2h12ADCBGFE34567Gyh2131Fyh2242Ayh2151Byh2262Dxh227224qh（4）对边界内结点建立差分方程；结点1：6543210(2)(8200)()121110987（7-25）BFGA(2)(8202210)()35DDFB其中：,0FA,232qhG,212qhB,22qhD153xyq4qhhhhhh2h2h12ADCBGFE34567221181622qh（a）结点2

47、：6543210(2)(8200)()121110987（7-25）AGFDB(2)(820120)()4762EC其中：,212qhB,22qhD,0FA,232qhG,22qhEC,264,64.021qh代入得：22111248qh（b）联立求解式（a）、（b）：22245.0qh2274qh（5）计算边界外一行虚节点的 值；xyq4qhhhhhh2h2h12ADCBGFE34567153264.0qh2642245.0qh2274qh224245.0qhqh 2245.4qh（6）计算各点的应力值；0220yx04222)(1hMGxy22Gh2)(13122222232)64.064

48、.0(1qhqhqhhq72.11221yx122)(1AGh22264.02)023(1qhqhhq22.0 xyq4qhhhhhh2h2h12ADCBGFE345670220yx04222)(1hAAxy22Ah2)(151202)(1112h0264.02122qhhq28.1xyq4qAGqGx72.1qAx28.1材料力学结果：qAx25.2qGx25.2q22.001x本章前面内容回顾1.有限差分法（FDM）基本思想要点：差分微分：代替差分方程代替微分方程。hffxf2310（1）中心差分公式hffxf2310（7-17-1）20310222hfffxf（7-27-2）hffyf2

49、420（7-37-3）20420222hfffyf（7-47-4）2.基本差分公式5678yx01324hh9101112一、差分法的基本理论混合二阶导数的差分公式：)()(417586202ffffhyxf（7-57-5）四阶导数的差分公式：)()(4611193104044fffffhxf)(2414321040224fffffhyxf)(8865ffff)()(46112104204044fffffhyf（7-67-6）5678yx01324hh9101112（2）端点差分公式 向前差分公式yx0132456789101112hhfffxf243910029100222hfffxf（7-

50、7）向后差分公式hfffxf24311300211300222hfffxf（7-87-8）注：用于边界条件情形。二、无源、稳定温度场的差分法022222yTxTT（a）24yx013hh0022022yTxT1.1.稳定温度场的热传导方程2.2.稳定温度场的差分方程0443210TTTTT（7-11）（1）第一类边界条件),(yxTTs由于边界点的 T 值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。3.3.温度场边界条件的引入（2）第二类边界条件0 02 24 43 30 xq1 1边界外边界内xyAxqhTTTT)(212212)21)1(4432010（7-17）（3）第三类边界条