吕林根解析几何(第四版)(完整课件)3.ppt
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- 吕林根 解析几何 第四 完整 课件
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1、第一章第一章 向量与坐标向量与坐标 1.1 1.1 向量的概念向量的概念 1.2 1.2 向量的加法向量的加法 1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量 1.4 1.4 向量的线性向量的线性 关系与分解关系与分解 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.10 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积实例实例启示启示:两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果
2、是一个数量.Fs1M2M 一物体在常力一物体在常力 作用下沿直线从点作用下沿直线从点 移动移动到点到点 ,以表示位移以表示位移 ,则力所作的功为则力所作的功为 (其中其中 为为 与与 的夹角的夹角)|cosWFsF1M2MsFs 定义定义1.7.11.7.1 两向量两向量 和和 的模和它们夹角的模和它们夹角的余弦的乘积叫做的余弦的乘积叫做 和和 的数量积的数量积,记为记为 或或 ,即即 注注1 1 由定理由定理1.6.1,1.6.1,=射影射影 ,=,=射影射影 ,则则 射影射影 射影射影 .ababa b ab|cos(,).a ba ba b|cos(,)ba b ab|cos(,)aa
3、b ba|a ba|abbba 注注2 2 由注由注1 1有有,=,=射影射影 .注注3 3 定理定理1.7.11.7.1 证明证明:若若 ,则则 .如果如果 或或 ,则则 .如果如果a e ea22|.a aaa 0.aba b()cos(,)00.aba ba b ()0a b|cos(,)0a ba b|00a ba|0cos(,)0(,).2a ba ba bab 0b ab数量积的运算律数量积的运算律 定理定理1.7.21.7.2 数量积满足下面的运算规律数量积满足下面的运算规律 (1)(1)交换律交换律 (2)(2)结合律结合律 (3)(3)分配律分配律 (4)(4);a bb a
4、()()(),ababa b();abca cb c 20a aa(0)a 证明证明:若若 中有中有 ,则则(1)(4)(1)(4)显然成立显然成立.若若 中没有中没有 ,则则(1)(1)和和(4)(4)显然成立显然成立.(2)(2)若若 ,则等式成立则等式成立.若若 ,则则 射影射影 (射影射影 )(射影射影 ).).又又 所以所以,a b 0,a b 000()|abb()|babba|bba()a b()()()(),abbab aa b ()()().ababa b (3)(3)射影射影 (射影射影 射影射影 )射影射影 射影射影 推论推论 这说明向量的数量积遵循多项式乘法这说明向量的
5、数量积遵循多项式乘法.()|abcc()cab|ccacb|caccb|c.a cb c()()().abca cb c 例例1 1 证明证明:平行四边形对角线的平方和等平行四边形对角线的平方和等于各边平方和于各边平方和.证明证明:如图如图,中中,设设 ,则有则有 ,所以所以所以所以 ,即即OACBOACB,OAa OBb OCm BAn,mab nab 2222,maa bb 2222.naa bb 222222mnab2222|2|2|mnab 例例2 2 证明证明:如果一条直线与一个平面内的如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直两条相交直线都垂直,那么它和平面内的任那么它和平面内的
6、任何直线都垂直何直线都垂直,即垂直平面即垂直平面.证明证明:设直线设直线 与面与面 内的两相交直线内的两相交直线 垂直垂直,为面为面 内的任一直线内的任一直线,如图如图.下证下证 .在在 上分上分别取非零向量别取非零向量 ,则则n,a bcabcnnc,n a b c,n a b c 由于由于 相交相交,即即 不共线不共线,由由 共面共面,知存在知存在 ,使使则则所以所以 ,即即 .abcn,nanb0,n a 0.n b,a b,a b,a b c ,cab()()()0.n cnabn an b ncnc 例例3 3 证明证明:三角形的三高交于一点三角形的三高交于一点.证明证明:中中,高高
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