第二章控制系统状态空间表达式的解课件.ppt

1、第第2章章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.1 2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.2 2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵2.3 2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解2.4 2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解2.5 2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解2.6 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化本章要求本章要求要求理解及掌握内容：要求理解及掌握内容：正确理解连续时间状态空间表达式的离散化。线性正确理解连续时间状态空间表达式的

2、离散化。线性定常系统状态方程的求解方法定常系统状态方程的求解方法要求了解内容：要求了解内容：线性离散系统及时变系统状态方程的求解方法。线性离散系统及时变系统状态方程的求解方法。重点：重点：状态转移矩阵和状态方程的求解。状态转移矩阵和状态方程的求解。本章通过求解系统方程的解来研究系统性能。本章通过求解系统方程的解来研究系统性能。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易地得到系统的输出，进而研究系统的解，就很容易地得到系统的输出，进而研究系统的性能。性能。：线

3、性定常系统在没有控制作用，即线性定常系统在没有控制作用，即u u0 0时，时，由初始状态引起的运动称自由运动。由初始状态引起的运动称自由运动。),(BA 0u)0(|)(,0 xtxAxxt x线性定常系统在控制线性定常系统在控制u u作用下的运动，称作用下的运动，称为强迫运动。为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt ),(BA ux2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）：Axx 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：)0(|)(0 xtxt 0,)0()(txetxAt满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：00)(,)()(0tttx

4、etxttA )(|)(00txtxtt 2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法先考察标量齐次微分方程的幂级数解法axx kktbtbtbtbbx332210假设其解为一幂级数假设其解为一幂级数（3）1232132kktkbtbtbb将（将（3）式代入（）式代入（2）式）式)(2210kktbtbtbba)()(ttAxx这时系统的这时系统的输入为零输入为零2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）等式两边等式两边t 的同次幂

5、的系数相等，因此有的同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bakabkbbaabbabbkkk而而)0(0 xb kkattaktaat!1!211e22因为因为则解为则解为)0(e)0()!1!211()(22xxtaktaattxatkk（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为）的解为kkttttbbbbbx332210（5）将（将（5）式代入（）式代入（1）式）式2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）1232132kktkttbbbb)(2210

6、kktttAbbbb等式两边等式两边t 同次幂的系数相等，因此有同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bAAbbbAAbbAbbkkkkk而而)0(0 xb kkttkttAAAA!1!211e22记作记作则线性定常系统齐次状态方程（则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为）的解为)0()!1!211()(22xAAAxkktkttt（6）则则)0(e)(xxAtt（7）2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）如果如果00t则则)(e)(0)(0ttttxxA（8）将（将（8）式代入（）式代入（1）式验证）式验证)()(e)()(0)(0ttt

7、dtdtttAxxAxxA)()(e)(00)(000tttttttxxxA和和)(0ettA矩阵指数函数矩阵指数函数 又称为又称为状态转移矩阵状态转移矩阵，记作，记作)(0tt )(tx)(0tx由于由于系统没有输入向量，系统没有输入向量，是由初始状态是由初始状态 激励的。激励的。因此，这因此，这时的运动称为时的运动称为自由运动自由运动。的形态由的形态由 决定，即是由决定，即是由矩阵矩阵A 唯一决定的唯一决定的。)(tx)(0ettA2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）一、状态转移矩阵一、状态转移矩阵线性定常系统的齐次状态方程：线性定常系统的齐次状态方

8、程：Axx 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：)0(|)(0 xtxt )0()(xetxAt 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：)()(0)(0txetxttA )(|)(00txtxtt ：线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵 )()(0)(0ttetettAAt 令：令：则有：则有：)()()()0()()(00txtttxxttx 2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：)()(00ttAtt 1 1）状态转移矩阵初始条件：）状态转移矩阵初始条件：Itt )(00 2

9、2）状态转移矩阵满足状态方程本身：）状态转移矩阵满足状态方程本身：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。数函数本身。状态转移矩阵的物理意义：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。状态转移矩阵。)0(x)(1tx)0(1 t)(2tx)(12tt t1x2x01t2t2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵2.2 矩阵指数函数矩阵

10、指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵自由运动也即零输入响应的属性：自由运动也即零输入响应的属性：1 1、几何表征、几何表征 为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹；的一条轨迹；2 2、运动属性、运动属性 状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由运动。）运动。）2.

11、2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵3 3、形态、形态 自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵包含了自由运动形态的全部信息。包含了自由运动形态的全部信息。4 4、趋向平衡状态、趋向平衡状态x=0 x=0属性属性 自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指数

12、函数最终趋向于数函数最终趋向于0 0；（渐近稳定）（渐近稳定）1）AAAAAttteeedtd即即AA)()()(ttt 2）IA0e即即I)0(二、状态转移矩阵的基本性质二、状态转移矩阵的基本性质2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵不发生时间推移下的不变性不发生时间推移下的不变性微分性和交换性微分性和交换性3）可逆性）可逆性ttAA ee1即即)()()(11ttt )()()(020112tttttt 4）传递性）传递性)()()(020112eeettttttAAA即即5）当且仅当）当且仅当 时，有时，有BAAB ttt)(eeeBABA2.2 矩阵指数函数矩阵指数函

13、数状态转移矩阵状态转移矩阵又称组合性又称组合性分解性分解性6）倍时性）倍时性ktk t三、几个特殊的矩阵指数函数三、几个特殊的矩阵指数函数（1）设）设 ，即，即A为对角阵且具有互异元素时，为对角阵且具有互异元素时，有有1ndiagA 1200nttteete2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵（2）若）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即能通过非奇异变换为对角阵时，即ATT-1 1200nttteetTe-1T2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 21221!2!0nttttnttttttteteeenteteetntee则有则有（3）设）设A为为 约当阵

14、，即约当阵，即()n n1010A2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵则有则有（4）设）设A为为 约当阵，即约当阵，即 2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵cossin()sincosAttttetett 四、状态转移矩阵的计算四、状态转移矩阵的计算 直接求解法：根据定义直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换法拉氏反变换法 待定系数法：待定系数法：凯莱哈密顿定理凯莱哈密顿定理2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。求出的解不是解

15、析形式，适合于计算机求解。kkAkkkAAAttttAtIekk!0!2!22 对所有有限的对所有有限的t t值来说，这个无穷级数都是收敛的。值来说，这个无穷级数都是收敛的。2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵思路：思路：根据状态转移矩阵性质：根据状态转移矩阵性质：对对A A进行非奇异线性变换，得到：进行非奇异线性变换，得到：TT1AA联立上两式，得到：联立上两式，得到：1TTtAAtee有二种标准形式：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵对角线矩阵、约当矩阵A1TTTT1tAAtee2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵11T00TTT1tttAAtne

16、eee其中：其中：T T为使为使A A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1 1）当）当A A的特征值的特征值 为两两相异时：为两两相异时：n ,21 1 1）先求得）先求得A A阵的特征值阵的特征值 。2 2）求对应于）求对应于 的特征向量的特征向量 ，并得到，并得到T T阵及阵及T T的逆阵。的逆阵。3 3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。i i ipTp0p)(0)det(iiiiAIAIA即：2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵（2 2）当）当A A具有具有n n重特征根重特征根 ：i 其中：其

17、中：T T为使为使A A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。化为约当标准型的非奇异变换矩阵。111T000)!1(1TTTtttntttAAtiiiiieteetnteeee的的矩矩阵阵指指数数函函数数约约当当矩矩阵阵A：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵换阵T T。说明的是说明的是：对于所有重特征值：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵一起构成约当矩阵,根据状态转移矩阵的性质，求得根据状态转移矩阵的性质，求得 。i tAe2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移

18、矩阵状态转移矩阵：将将 化为化为A A的有限项多项式来求解的有限项多项式来求解：Ate0|)(0111 aaaAIfnnn 0)(0111 IaAaAaAAfnnn设设n nn n维矩阵维矩阵A A的特征方程为：的特征方程为：则矩阵则矩阵A A满足其自身的特征方程，即：满足其自身的特征方程，即：2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵10nnjjmjAA：A A所有高于所有高于(n-1)(n-1)次的幂都可以由次的幂都可以由A A的的0 0(n-1)(n-1)次幂线性表出。次幂线性表出。并令并令 即可得到如下的即可得到如下的：0!)(mmjmjmtt 即：即：将此式代入将此式代

19、入 的定义中：的定义中：Ate 0100010!mmjmnjjmmjnjmjmmmAtmtAAmtAmte 其中：其中：为为t t的标量函数，可按的标量函数，可按A A的特征值确定。的特征值确定。111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan 2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵Ate 根据根据C-HC-H定理，可将定理，可将 化为化为A A的有限项表达式，即封闭的有限项表达式，即封闭形式：形式：其中：其中：为为t t的标量函数，可按的标量函数，可按A A的特的特征值确定。征值确定。111010)()()()(n

20、nnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan Ate2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵1 1）A A的特征值的特征值 两两相异时，两两相异时，n ,21tttnnnnnnneeetatata2111211222111211110111)()()(注意求逆注意求逆：利用了：利用了A A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。可化为对角阵的矩阵指数函数求法。PAtaAtaItaPPePennAttA)()()(111011 iiiiAAPPAPPAPPPAAAPPAP 个个个个)()(11111：tniniietatata 1110)()()(推导时

21、可以看到：推导时可以看到：2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 tttnntnnnnnnnnnneteetetntatatata1111!112)!2(11)!1(111121121!11131!2)2)(1(11210121000)1(1001000)()()()(注意求逆注意求逆2 2）A A的特征值为的特征值为 (n(n重根）重根）1)3()()()(1111110tnnetatata：此时只有一个方程：此时只有一个方程：缺少缺少n-1n-1个独立方程，故需要对上式求导个独立方程，故需要对上式求导n-1n-1次，得到其余次，得到其余n-1n-1个方程个方程.：不管特征

22、值互异、还是具有重根，只需要记住式：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)(3)。对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程；对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程；对于特征值对于特征值m m重根，则求重根，则求m-1m-1次导数，补充缺少的次导数，补充缺少的m-1m-1个方程，个方程，联立方程可以求出系数。联立方程可以求出系数。2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵)(11AsILeAt关键是必须首先求出（关键是必须首先求出（sIsI-A-A）的逆，再进行拉氏反）的逆，再进行拉氏反变换。变换。2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵例：求以

23、下矩阵例：求以下矩阵A A的状态转移矩阵的状态转移矩阵 3210AtAie 解解：1 1）直接算法（略）直接算法（略）2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵ttttttttssssssssssssssssssAteeeeeeeeLLe222222112212211121121)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(312222 2 2）用拉氏变换法求解：）用拉氏变换法求解：)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3)23(213112321ssssssssssssssssAsI 11)(AsILeAt2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移

24、矩阵3 3）用标准型法求解：）用标准型法求解：得：得：，具有互异特征根，用对角线标，具有互异特征根，用对角线标准型法。且准型法。且A A为友矩阵形式。为友矩阵形式。2,121 先求特征值：先求特征值：0)2)(1(23321|2 AI2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵11121112T211111T121ttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeee222222222221112211120021111T00T21tttAAteeee2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 ttAteetataAtaItae21121101011)()()

25、()(4 4）用待定系数法求解）用待定系数法求解.tttttttteeeeeeeetata2222110211122111)()(在第在第3 3种方法中已经求得特征根，所以得：种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：求得矩阵指数函数如下：2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAtaItae2222221022223210)(1001)2()()(：由由 和和 得到：得到：从而求出系数从而求出系数tetata1110)()(tetata2210)()(tteetata21)()(111021 )(tai2.2

26、矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵例例 用凯莱用凯莱-哈密顿定理计算哈密顿定理计算1006293解解096293det)(2092 AA由凯由凯-哈定理：哈定理：AA991009AA92AAA22399,62939629399100所以所以2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵求系统状态转移矩阵。求系统状态转移矩阵。例例 线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为xx452100010-解解用凯莱用凯莱-哈定理计算哈定理计算)(t 0)2()1(254det)(223AIA 的特征值为的特征值为121 232.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状

27、态转移矩阵tttttttttatata2112332111210eee421111210eee11210)()()(311于是于是ttttttttttttttt2222eeee2e2e3ee2eee111223102tttttttttttttttttttttttttttttttttttttatatat2222222222210e4e3ee8e8e3e4e4e2e2e2ee4e5e3e2e2e2eeee2e2e3ee2)()()(e)(AAIA 状态转移矩阵状态转移矩阵2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵补充：补充：矩阵矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算可以经过线性

28、变换成为模态形阵，计算)(t 如果矩阵如果矩阵A的特征值为共轭复数的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵经过线性变换，可转换为模态矩阵Mj2,11PAPMt-tt-t0000eeeeM其中其中ttte00ee00ttttttt-cossinsincos00!21001001e2200系统状态转移矩阵为系统状态转移矩阵为PPMAtttee)(1 2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 ttdButtxtttx0)()()()()(00 若线性定常系统的非奇次状态方程若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：的解存在，则解形式如下：)(,0txBuAxx初初

29、始始状状态态为为 tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)(：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。方程的解仅由初始状态引起的响应组成。2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解1）先把状态方程）先把状态方程 写成写成BuAxx BuAxx 3）对上式在）对上式在 区间内进行积分，得区间内进行积分，得:tttttAttAttAAtAtttAttAdButtxttdBuetxetxdBuetxetxedBuexe0000000)()()()()()()()()()()()(00

30、)(0)(0 tt,02）两边左乘）两边左乘 ，利用，利用 的性质的性质Ate BuexeAxxeAtAtdtdAt AteAeAeedtdAtAtAt )(2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解系统的运动系统的运动 包括两个部分。包括两个部分。第一部分第一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。由运动。第二部分第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通

31、过选择适当的输入向量即通过选择适当的输入向量 ，使，使 的形态满足期望的的形态满足期望的要求。要求。)(tx)(tx)(tu2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解例例 线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为uxxxx103210212101)0(x)(1)(ttu解解在以前例子中已求得在以前例子中已求得tttttttttt2222e2ee2e2eeee2e)(A tttt22eee21e21d)(110e2ee2e2eeee20)(2)()(2)()(2)()(2)(tttttttttttttd)()()0()()(0Buxx 01e2ee2e2eeee2222

32、2tttttttt2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解系统的输出方程为系统的输出方程为)()()(tttDuCxy则则)(d)(e)(e)(00)(0)(ttttttttDuBuCxCyAA或或)(d)(e)0(e)(0)(tttttDuBuCxCyAA可见，系统的输出可见，系统的输出 由三部分组成。由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。)(ty2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程

33、的解2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解。xy 输出方程为01(0)x(0)x 且已知时非齐次方程的解，CostSintu(t)试求当u2x-xxxx 设系统的状态方程为 1例 1112122101C 10B 2-1-10A 解解:2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解Cost21-Sint21tee23y(t)dCos(Sin)e-(tt)e(1)d)Bu(-(t(t)x(0)CCX(2)yt)e(1tetet)e(1(t)(t)(1)t-t-t0)-(t-t-t0t-t-t-t-C求 1 1、脉冲响应、脉冲响应时即当0 xx(0)Ku(t),t

34、(BKexetxAtAt0)(2 2、阶跃响应、阶跃响应时即当0 xx(0)Ku(t),t(1I)BK(eAxex(t)At10At 3 3、斜坡响应、斜坡响应时即当0 xx(0)Ktu(t),t(1tBKAI)(eAxex(t)1At20At2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解线性时变系统方程为线性时变系统方程为)()()(tttxAx2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解其解为其解为)(),()()(exp)(0000txtttxdAtxtt注意：注意：只有当只有当 上式才能成立。上式才能成立。tttttAdAdAtA00)()()()(齐次状态方程齐次状态方程)

35、()()(tttxAx初始状态为初始状态为)(0tx),(0tt 其中，其中，是状态转移矩阵，且满足以下方程是状态转移矩阵，且满足以下方程:),()(A),(dtd00ttttt满足初始条件满足初始条件I),(00tt 假设线性时变齐次系统的解具有以下形式，然后加以证明假设线性时变齐次系统的解具有以下形式，然后加以证明)(),()(00ttttxx 2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解（1）证明证明（1）式两边对）式两边对 t 求导求导)()()(),()()(),(dtd)(),(dtd)(dtd000000tttttttttttttxAxAxxx 并且并且 时时0tt I),(00tt

36、)()(),()(00000tttttxxx 即即2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解I),(00tt 1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即即),(0tt),()(),(dtd00ttttt A2）可逆性可逆性),(),(001tttt 2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解),(0tt3）传递性传递性),(),(),(020112tttttt 4）)(),(),(ttA uBxAx)()(tt)()(00ttttxxtttttttd)()(),()(),()(000uBxx 其解为其解为tttttttd)()(),()(),()(0000uBxx

37、或或2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解（证明见书（证明见书73页）页）因此，因此，用级数近似法计算用级数近似法计算计算系统状态转移矩阵计算系统状态转移矩阵xxAxtt010)(例例 线性时变系统齐次状态方程为线性时变系统齐次状态方程为)0,(t 0122100110000ddd)()()(dd)()(d)(),(100000000AAAAAAIttttttttttt 2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解)()(exp)(00txdAtxtt一般情况下：一般情况下：解解将将 代入计算公式代入计算公式t010A其中：其中：20000002100010)(ttddttA8060)()(43

38、0101000ttddtAA8211061806021001001)0,(423432ttttttttt 2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解)()(d)()(),()()(),()()(000tttttttttttuDuBCxCy )()(d)()(),()(),()()(0000ttttttttttuDuBxCy 或或2.4 线性时变方程的解线性时变方程的解系统的系统的齐次状态方程齐次状态方程为：为：)(Gx)1(xkk其中，其中，x(k)为为n维状态向量维状态向量采用采用迭代法迭代法可以求出系统齐次状态方程的解可以求出系统齐次状态方程的解)0(Gx)1(x0k)0(xG)1(Gx)2

39、(x12k)0(xG)2(Gx)3(x23k)0(x)()0(xG)1(Gx)(x1kkkkkk其中其中kkG)(系统的输出系统的输出)0(xCG)(ykk 2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解)(kx若系统初始状态为若系统初始状态为 ，通过，通过 将其转移到状态将其转移到状态 ，故，故 称为称为状态转移矩阵状态转移矩阵。)0(xkkG)()(k)(k 1）的基本性质的基本性质)(G)1(kk(1)满足自身的矩阵差分方程及初始条件满足自身的矩阵差分方程及初始条件I)0()()()(1122kkkk (2)传递性传递性)()(1kk (3)可逆性可逆性2.5 离散时间系统状态

40、方程的解离散时间系统状态方程的解2）状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算 有有4种状态转移矩阵的计算方法：种状态转移矩阵的计算方法：按定义计算；按定义计算；用用z z反变换计算；反变换计算；应用凯应用凯-哈定理计算；哈定理计算；通过线性变换计算。通过线性变换计算。2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解仅讨论用以下仅讨论用以下2 2种方法来求解线性定常离散系统：种方法来求解线性定常离散系统：1 1、递推法、递推法(迭代法迭代法)：适合于线性定常和时变系统；适合于线性定常和时变系统；2 2、Z Z变换法：变换法：仅适合于线性定常系统。仅适合于线性定常系统。2.5 离散时间系统状态

41、方程的解离散时间系统状态方程的解给定给定 时的初始状态时的初始状态x(0)x(0)，及任意时刻，及任意时刻 u(ku(k)。状态方程：状态方程：)()()1(kTHukTGxTkx0k由由迭代法迭代法得得：)2()1()0()0()2()2()3()1()0()0()1()1()2()0()0()1(232HuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxx)Hu(Gx(0)Gx(k)1k0j1jkkj2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解1 1）解的表达式的状态轨迹线是状态空间中）解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散轨迹线一条离散轨迹线。它。它与连续系统状

42、态的解很相似。与连续系统状态的解很相似。解的解的第一部分第一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引起的自由运动分量。起的自由运动分量。解的解的第二部分第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用值与控制作用u u的大小、性质及系统的结构有关。的大小、性质及系统的结构有关。2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解2 2）在输入引起的响应中，第）在输入引起的响应中，第k k个时刻的状态个时刻的状态只取决于所有此刻只取决于所有此刻前的输入前的输入采样值，与第采样值，与第k k个时刻的

43、输入采样值无关。个时刻的输入采样值无关。2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解3 3）与连续时间系统对照，在离散时间系统中，）与连续时间系统对照，在离散时间系统中，状态转移矩阵定义为状态转移矩阵定义为 ，有：，有：IkGkGkk )0()()1()(kG 1010)1()()0()()()1()0()()(kjkijkHujxkiHuikxkkx 利用状态转移矩阵，解可写成：利用状态转移矩阵，解可写成：2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解)()()1(kHukGxkx 离散系统的状态方程离散系统的状态方程：对上式两边进行对上式两边进行Z Z变换变换：对上式

44、两边进行对上式两边进行Z Z反变换反变换)()()0()()(1111zHUGzIZxzGzIZkx )()0()()()()0()()()()0()()()()()0()(111zHUzxGzIzHUGzIzxGzIzXzHUzxzXGzIzHUzGXzxzzX 将上式和迭代法的结果比较将上式和迭代法的结果比较)()0()(iHuGxGkx1k0j1jkk迭代法：2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解zGzIZGk1)(变换等于的)4()3(221112210 zGGzGZGzGzzGGzIzGGZkkkkk左乘方程两边得：左乘方程两边得：zGzIzzGzzIGzIGZIG

45、ZGzIkk111111)()4(3 所以：所以：式得：式得：）（zGzIZGk11)(即：即：)()()()(1110111zHUGzIZiHUGzGzIZGkiikk 得：得：2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。)()()1(kHukGxkx 11)0(x 11116.010HG式中：式中：给定初始状态为：给定初始状态为：已知定常离散时间系统的状态方程为已知定常离散时间系统的状态方程为由于输入为单位阶跃函数，所以由于输入为单位阶跃函数，所以：1)(,2,1,0 kuk时时：1 1）迭代法

46、）迭代法2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 386.184.084.1116.084.201)()()(21kxkxkx 386.116.01184.084.2116.010)2()2()3(84.084.21184.10116.010)1()1()2(84.101111116.010)0()0()1(HuGxxHuGxxHuGxx2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解由于输入为单位阶跃函数，所以有：由于输入为单位阶跃函数，所以有：2 2）Z Z变换法变换法x(kx(k)的的Z Z变换为：变换为：)()0()()(1zHUzxGzIzX 1)(zzzU将

47、将G G、H H、U(z)U(z)、x(0)x(0)代入代入x(kx(k)的的Z Z变换式有变换式有:)1/()1/(116.01)(1zzzzzzzzzX2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 11878.096.172.064.3118258.09222.0617)(zzzzzzzzzzzzzX整理得：整理得：1878.096.172.064.318258.09222.0617)()(1kkkkzXZkx上式上式Z Z反变换有：反变换有：2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 计算机所需要的输入和输出信号是数字式的，时计算机所需要的输入和输出信号是数字式

48、的，时间上是离散的；间上是离散的；当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系统特性来描述。统特性来描述。2.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化)(*tr)(tu)(ty连连续续系系统统零零阶阶保保持持器器)(trT0t)(tu)(ty)(tr0t)(*tr0t0t表表示示采采样样值值为为取取样样函函数数。称称为为单单位位移移位位脉脉冲冲，作作其其中中：kTtkTtkTtkTrkTttrtrkk )()()()()()(00*零阶保持器：零阶保持器：将离散信号将离散信号r r*(t)(t)转为阶梯信号转为阶梯信号u(t)u(

49、t)采样器：采样器：将连续信号将连续信号r(t)r(t)调制成离散信号调制成离散信号r r*(t)(t)。2.5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解2.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化 1 1）离散方式是普通的周期性采样。）离散方式是普通的周期性采样。采样是等间隔进行的，采样周期为采样是等间隔进行的，采样周期为T T；采样脉冲宽度远小于；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽略不计；在采样间隔内函数值为零值。采样周期，因而忽略不计；在采样间隔内函数值为零值。2 2）采样周期）采样周期T T的选择满足香农采样定理。的选择满足香农采样定理。离散函数可以完满

50、地复原为连续函数的条件为离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为 或或 ，其中，其中 为采样频率，为采样频率，为连续函数频谱为连续函数频谱的上限频率。的上限频率。3 3）保持器为零阶保持器。）保持器为零阶保持器。cs 2 cT /Ts/2 c2.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化 DuCxyBuAxx：)()()()()()()()1(kTDukTCxkTykTuTHkTxTGTkx其中：其中：BdteBdttTHeTTGTAtTAT 00)()()()(线性定常系统：线性定常系统：)1()()()()()(000 ttdButtxtttx ：直接从定常系统非齐次