2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题5 第3讲　数列的综合问题.DOC

1、 第 - 1 - 页 共 4 页 - 1 - 专题复习检测专题复习检测 A 卷 1等比数列an中，若 a11，a102，则 log2a1log2a2log2a10( ) A2 B4 C5 D10 【答案】C 【解析】an为等比数列，a1a10a2a9a3a8a4a7a5a62.log2a1log2a2 log2a10log2(a1a2a10)log2255.故选 C 2(2018 年四川成都模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a19，S9 9 S5 5 4，则 Sn取最大值时的 n 的值为( ) A2 B3 C4 D5 【答案】D 【解析】设等差数列an的公差为 d.Sn n a1n

2、1 2 d， Sn n 是首项为 a1，公差为d 2的等 差数列 a19， S9 9 S5 54， 44 d 2， 解得 d2.Sn9n n1n 2 2n210n (n5)225.当 n5 时，Sn取得最大值 3已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的 x，yR，都有 f(xy)xf(y)yf(x) 成立数列an满足 anf(2n)(nN*)，且 a12，则数列an的通项公式 an( ) A(n1)2n B(n1)3n Cn 2n Dn 3n 【答案】C 【解析】由题意知 a1f(2)2，an1f(2n 1)2f(2n)2nf(2)2a n2 n1，则an1 2n 1an 2n

3、1， 所以 an 2n 是首项为 1，公差为 1 的等差数列所以an 2nn，则 ann 2 n. 4已知数列an的前 n 项和 Sn3n(n)6，若数列an单调递减，则 的取值范围是 ( ) A(，2) B(，3) C(，4) D(，5) 【答案】A 【解析】Sn3n(n)6，Sn13n 1(n1)6，n1.两式相减，得 a n3 n1(2 2n1)(n1，nN*)为单调递减数列，anan1，且 a1a2.3n 1(22n1)3n(22n 3)且 2，化为 n2(n1)且 2，2， 的取值范围是(，2)故选 A 第 - 2 - 页 共 4 页 - 2 - 5某房地产开发公司用 800 万元购

4、得一块土地，该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼 房，已知第一层每平方米的建筑费用为 600 元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加 40 元若把楼房建成 n 层后，每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用 之和)，则 n 的值为( ) A19 B20 C21 D22 【答案】B 【解析】易知每层的建筑费用构成等差数列，设为an，则 n 层的建筑总费用为 Sn 600103(60040)10360040(n1)103(2n258n)104，所以每平方米的平 均综合费用为80010 42n258n104 1 000n 10 2n800 n 58 10 22n800 n

5、58 1 380 元，当且仅当 2n800 n ，即 n20 时等号成立 6在等比数列an中，anR，a3，a11是方程 3x225x270 的两根，则 a7_. 【答案】3 【解析】由题意，得 a3a1125 3 ， a3a119， a30，a110，且 a27a3a119，a73. 7(2018 年江西南昌模拟)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列若 a1a6a11 3 3，b1b6b117，则 tan b3b9 1a4a8的值是_ 【答案】 3 【解析】 由 a1a6a113 3， 得 a36( 3)3.由 b1b6b117， 得 3b67.a6 3， b67 3 . tan b3

6、b9 1a4a8tan 2b6 1a26tan 27 3 1 32 tan 7 3 tan 2 3 tan 3 3. 8(2019 年湖南长沙模拟)设数列an的前 n 项和是 Sn，若点 An n，Sn n 在函数 f(x)x c 的图象上运动，其中 c 是与 x 无关的常数，且 a13. (1)求数列an的通项公式； (2)记 bnaan，求数列bn的前 n 项和 Tn的最小值 【解析】(1)由题意得Sn n nc，即 Snn2cn. 因为 a13，所以 c4，故 Snn24n. 所以 anSnSn12n5(n2) 又 a13 满足上式，所以 an2n5. 第 - 3 - 页 共 4 页 -

7、 3 - (2)由(1)知 bnaan2an52(2n5)54n5， 所以 Tnnb1bn 2 2n23n. 所以 Tn的最小值是 T11. B 卷 9(2019 年安徽合肥模拟)如图所示是毕达哥拉斯树(Pythagoras Tree)的生长程序：正方形 上连接着等腰直角三角形， 等腰直角三角形边上再连接正方形， ， 如此继续， 若共得到 1 023 个正方形，设初始正方形的边长为 2 2 ，则最小正方形的边长为( ) A 1 32 B 1 64 C 2 32 D 2 64 【答案】A 【解析】设 1242n 11 023，即12 n 12 1 023，解得 n10.正方形边长构成数 列 2

8、2 ， 2 2 2， 2 2 3，其中第 10 项为 2 2 101 32.故选 A 10(2019 年浙江湖州模拟)设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为 ai，ai1的矩形 的面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件是( ) Aan是等比数列 Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等比数列 Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列 Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同 【答案】D 【解析】Aiaiai1，若An为等比数列，则An 1 An an 1an2 anan1 an 2 an 为常数，即A2 A1 a3 a

9、1， A3 A2 a4 a2，a1，a3，a5，a2n1，和 a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反 之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为 q，则An 1 An an 2 an q，从而An为 等比数列 11设数列an满足 a2a410，点 Pn(n，an)对任意的 nN*，都有向量 PnPn1(1,2)， 则数列an的前 n 项和 Sn_. 【答案】n2 【解析】由题意，可知 Pn1(n1，an1)，所以 PnPn1(1，an1an)(1,2)所以 an1 第 - 4 - 页 共 4 页 - 4 - an2.所以数列an是以 2 为公差的等差数列又 a2a410，所以

10、a11，an2n1，Sn 13(2n1)n2. 12(2019 年天津模拟)设函数 fn(x)x(3n1)x2(其中 nN*)，区间 Inx|fn(x)0 (1)定义区间(，)的长度为 ，求区间 In的长度； (2)把区间 In的长度记作数列an，令 bnan an1， 求数列bn的前 n 项和 Tn； 是否存在正整数 m， n(1mn)， 使得 T1， Tm， Tn成等比数列？若存在， 求出所有的 m， n 的值；若不存在，请说明理由 【解析】(1)由 fn(x)0，得 x(3n1)x20， 解得 0x 1 3n1，即 In 0， 1 3n1 . 所以区间的长度为 1 3n10 1 3n1.

11、 (2)由(1)知 an 1 3n1. bnan an11 3 1 3n1 1 3n2 ， Tnb1b2bn 1 3 1 2 1 5 1 5 1 8 1 3n1 1 3n2 n 23n2. 由知 T1 1 10，Tm m 23m2，Tn n 23n2. 假设存在正整数 m， n(1mn)， 使得 T1， Tm， Tn成等比数列， 则 T2mT1Tn， 化简得 m2 3m22 n 53n2. (3m26m2)n5m2.(*) 当 m2 时，(*)式可化为 2n20，n10. 当 m3 时，3m26m23(m1)2570. 又5m20，(*)式可化为 n 5m2 3m26m20，此时 n 无正整数解 综上，存在正整数 m2，n10 满足条件