数的开方解读课件.ppt

1、数的开方数的开方练习：练习：填空：填空：1 1、()2 2=9=9；2 2、()2 2=0.25=0.25；3 3、()()；4 4、()2 2=4=4；5 5、()2 2=0.0081=0.0081最容易出现的错误是丢掉负数解最容易出现的错误是丢掉负数解 25162 平方根平方根(square root)如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a a，那么这个数就叫做那么这个数就叫做a a的的平方根平方根.用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根二、平方根的性质：二、平方根的性质：1 1、一个正数有两个平方根，它们、一个正数有两个平方根，它们互为相反数互为相反数2 2、0 0有一个

2、平方根，它是有一个平方根，它是0 0本身本身3 3、负数没有平方根、负数没有平方根 三、开平方：三、开平方：求一个数求一个数a a的平方根的运算，的平方根的运算，叫做开平方的运算叫做开平方的运算 +3+3与与-3-3的平方是的平方是9 9，9 9的平方根是的平方根是+3+3和和-3-3，可，可见平方运算与开平方运算互为逆运算见平方运算与开平方运算互为逆运算根据这种关系，我们可以通过平方运算来求根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根一个数的平方根 平方根的表示方法平方根的表示方法:2a被开方数被开方数根指数根指数根号根号2a表示正数表示正数a a的正的平方根的正的平方根2a 表示正

3、数表示正数a a的负的平方根的负的平方根2a 记作记作2读作读作“二次根号二次根号”；2a读作读作“二次根号二次根号a”a”；提问：提问：777、各表示什么意义？各表示什么意义？、可以省略可以省略例例1.1.填空题填空题(1)(1)a a是一个正数，是一个正数，表示表示a a的的_，-表示表示a a的的_，表示表示a a的的_aaa(2)(2)若若7 7是是x x的一个平方根，则的一个平方根，则x x的另一的另一个平方根是个平方根是_x=_.x=_.五、算术平方根定义：五、算术平方根定义：正数正数a a有两个平方根，其中有两个平方根，其中正数正数a a的正的平方根，也叫做的正的平方根，也叫做a

4、 a的算术平方根，记作：的算术平方根，记作：说明：说明：1 1、因为正数均有一正一负两个平方根，、因为正数均有一正一负两个平方根，所以正数均有算术平方根所以正数均有算术平方根 2 2、0 0的平方根也叫做的平方根也叫做0 0的算术平方根。的算术平方根。2a做一做：做一做：例例2 2、说出下列式子的含义：、说出下列式子的含义：立方根立方根 概念概念:如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a a，这个数就叫做这个数就叫做a a的立方根的立方根(也称数也称数a a的三次方根的三次方根).).即若即若x x3 3=a=a，则则x x叫做叫做a a的立方根，的立方根，或称或称x x叫做叫做a a的三次

5、方根的三次方根 2.2.表示方法：表示方法：3a被开方数被开方数根指数根指数根号根号3读作读作“三次根号三次根号”；3a读作读作“三次根号三次根号a”a”；不能省略不能省略开立方概念：开立方概念：求一个数的立方根的运算，求一个数的立方根的运算，叫做开立方叫做开立方.开立方运算开立方运算 立方运算立方运算 互为逆运算互为逆运算立方根的性质：立方根的性质：(1)(1)正数有一个正的立方根；正数有一个正的立方根；(2)(2)负数有一个负的立方根；负数有一个负的立方根；(3)0 (3)0的立方根是的立方根是0 0例例3 3、填空练习：、填空练习：(1)1(1)1的平方根是的平方根是_；立方根为；立方根

6、为_；算术平方根为算术平方根为_ (2)(2)平方根是它本身的数是平方根是它本身的数是_ (3)(3)立方根是其本身的数是立方根是其本身的数是_ (4)(4)算术平方根是其本身的数是算术平方根是其本身的数是_ (5)(5)的立方根为的立方根为 .64(6)(6)的平方根为的平方根为 .32)8(7)(7)的立方根为的立方根为 .3512(8)(8)一个自然数的算术平方根是一个自然数的算术平方根是a a，那么与这那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是个自然数相邻的下一个自然数的平方根是_；立方根是；立方根是_ 例例4 4、(1)(1)的平方根是的平方根是 。(2)(2)一个自然数的一个平方

7、根是一个自然数的一个平方根是m m，那那么紧跟它后面的一个自然数的平方根么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（是（）(A)A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)81m1m1m 1m213 3D例例5 5、填空：、填空：(1)0.000036(1)0.000036的平方根是的平方根是_，算，算术平方根是术平方根是_(2)(-41)(2)(-41)2 2的平方根是的平方根是_(3)(3)当当a a为为_时，时，4 4a a2 2的算术平方的算术平方根是根是2 2a.a.（4 4）的平方根是的平方根是_，算术平方，算术平方根是根是_._.2)6(练习、判断题：练习、判断题：1 11212是是1441

8、44的平方根的平方根()()2 2-12-12是是144144的平方根的平方根()()3 3144144的平方根是的平方根是-12-12()()4 4-1-1的平方根是的平方根是-1-1()()5 5-1-1是是1 1的平方根的平方根()()6 6(-1)(-1)2 2的平方根是的平方根是-1-1()()(是是12)12)(-1(-1无平方根无平方根)(是是1)1)例例6 6、19961996年某市全年完成国内生产年某市全年完成国内生产总值总值264264亿元，比亿元，比19951995年增长年增长23%23%，问：（问：（1 1）19951995年该市全年完成国内年该市全年完成国内生产总值是

9、多少亿元（精确到生产总值是多少亿元（精确到1 1亿亿元）？元）？（2 2）预计该市）预计该市19981998年国内生产年国内生产总值可达到总值可达到386.5224386.5224亿元，那么亿元，那么19961996年到年到19981998年平均年增长率是多年平均年增长率是多少？（黄冈市中考试题）少？（黄冈市中考试题）解：（解：（1 1）设）设19951995年某市全年完成国内生产总值年某市全年完成国内生产总值 亿元，亿元，根据题意有：根据题意有：（2 2）设）设19961996年到年到19981998年平均年增长率为年平均年增长率为 ，根据题意有：根据题意有：用计算器求得：用计算器求得：或（

10、不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：（答：（1 1）19951995年生产总值为年生产总值为215215亿元；亿元；（2 2）19961996年到年到19981998年平均年增长率是年平均年增长率是21%21%想一想：想一想：什么叫有理数？有理数如何分类？什么叫有理数？有理数如何分类？观察下列数特点：观察下列数特点：41421356.12 73205080.13 64575131.27 2599120.123 14159265.3 无理数无理数 的由来的由来 公元前公元前500500年，古希腊毕达哥拉斯年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)Pythagoras)学派的弟子希勃索斯学派的

11、弟子希勃索斯(HippasusHippasus)发现了一个惊人的事实，一个正发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是若正方形边长是1 1，则对角线的长不是一个，则对角线的长不是一个有理数有理数)这一不可公度性与毕氏学派这一不可公度性与毕氏学派“万物万物皆为数皆为数”(”(指有理数指有理数)的哲理大相径庭。这一的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟

12、此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。身亡的惩处。不可通约的本质是什么？长期以来不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。的数。1515世纪意大利著名画家达世纪意大利著名画家达.芬奇芬奇称之为称之为“无理的数无理的数”，1717世纪德国天文世纪德国天文学家开普勒称之为学家开普勒称之为“不可名状不可名状”的数。的数。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是氏学派抹杀真理才是“无理无理”。人们为。人们为了纪念希勃索斯这位

13、为真理而献身的可了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为敬学者，就把不可通约的量取名为“无无理数理数”这便是这便是“无理数无理数”的由来的由来 无理数定义：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数断以下说法是否正确？断以下说法是否正确？(1)(1)无限小数都是无理数；无限小数都是无理数；(2)(2)无理数都是无限小数；无理数都是无限小数；(3)(3)带根号的数都是无理数。带根号的数都是无理数。数的发展历史数的发展历史 数系的扩张过程数系的扩张过程以自然数为基础，德以自然数为基础，德国数学家克罗内克国数学家克罗内克（KroneckerKronecker

14、，1823-1823-18911891）说说“上帝创造上帝创造了整数，其它一切都了整数，其它一切都是人造的是人造的”。零与。零与自然数的产生源于人自然数的产生源于人类在生存活动中的原类在生存活动中的原始冲动。始冲动。类似于类似于 2+3=5 2+3=5 的事实产生了加法的概的事实产生了加法的概念，然而念，然而2 2加上几会等于加上几会等于1 1呢？由此需要定义呢？由此需要定义负数：一个数的负数：一个数的“负数负数”即它与该数之和等即它与该数之和等于于0 0；进而定义减法。产生零、负自然数，；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；合称整数；加法的重复进行产生了乘法，加法的重复进行产生了乘法，

15、2 23=6 3=6 就是三个就是三个2 2相加。然而相加。然而2 2乘以几会等于乘以几会等于1 1呢？呢？由此需要定义倒数：一个数的由此需要定义倒数：一个数的“倒数倒数”即即它与该数之积等于它与该数之积等于1 1，进而定义除法，产生，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。既约分数，合称有理数。无理数是一个能恰好地描述数无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例学特征的案例 从数学发展史看，从数学发展史看，人类对无理数的发蒙人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉始于古希腊毕达哥拉斯（斯（PythagorasPythagoras，公公元前元前582-497582-497）学派，）学派，但二千四百年后

16、才产但二千四百年后才产生包括无理数在内的生包括无理数在内的实数严格定义。实数严格定义。乘法的重复进行产生了乘方，乘法的重复进行产生了乘方，2 23 3 就是三个就是三个2 2相乘，然而哪个数相乘，然而哪个数的平方会等于的平方会等于2 2呢？毕达哥拉斯呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为学派提出了这个问题，边长为1 1的正方形的对角线的长度不是的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用既约分数，后来用22表示对角表示对角线的长度，无理数的概念初步线的长度，无理数的概念初步形成。形成。由于有理数可表示成有限小数或无由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用限循环小数，人们想到用“无限

17、不循环无限不循环小数小数”来定义无理数，这也是直至来定义无理数，这也是直至1919世世纪中叶以前的实际做法。它看起来很通纪中叶以前的实际做法。它看起来很通俗，不明白无理数奥妙的人大体也是这俗，不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的。样理解无理数的。但这样做遇到的困难更大：关键的但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环问题是你无法判断一个数是无限不循环的，也不能将两个无限不循环的数进行的，也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除。加减乘除。启示：启示：每个有理数作为有长每个有理数作为有长度的线段，对应着数轴上度的线段，对应着数轴上的坐标。边长为的坐标。边长为1 1的正

18、方的正方形的对角线线段也应对应形的对角线线段也应对应数轴上的一个点，这意味数轴上的一个点，这意味着如果只有有理数，数轴着如果只有有理数，数轴上存有上存有“空隙空隙”尽管尽管有理数非常稠密。应当填有理数非常稠密。应当填补这些补这些“空隙空隙”使数轴成使数轴成为完美的，欧几里德几为完美的，欧几里德几何原本中曾记载过这一何原本中曾记载过这一思想的雏形。思想的雏形。戴德金戴德金历史上的两种无理数定义历史上的两种无理数定义戴德金戴德金的说法，一个实的说法，一个实数是有理数的一个集合数是有理数的一个集合 康托康托的说法，一个实数是的说法，一个实数是有理数的一个（柯西）序有理数的一个（柯西）序列列 1874

19、1874年康托还证明了无理数比年康托还证明了无理数比有理数多得多，这也意味着，无形有理数多得多，这也意味着，无形的、不是根式的无理数竟比直观的、的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多！数轴上代表根式的无理数多得多！数轴上代表有理数的点虽然是稠密的有理数的点虽然是稠密的任何任何两个有理数点之间恒有无数多有理两个有理数点之间恒有无数多有理数点，但是除有理数点外的数点，但是除有理数点外的“空隙空隙”更多。更多。“空隙空隙”一旦填满，稠密概一旦填满，稠密概念发展成了连续的概念，数轴上点念发展成了连续的概念，数轴上点与实数完全对应，无理数问题画上与实数完全对应，无理数问题画上了永远的句号。了

20、永远的句号。数学家所知道的无理数确实少的可怜：数学家所知道的无理数确实少的可怜：知道得最多的只是各式知道得最多的只是各式各样的根式，这是古希腊人各样的根式，这是古希腊人即已知道的；其次是即已知道的；其次是与与e e两个非代数数。那些比代数两个非代数数。那些比代数数多得多的无理数在哪儿？数多得多的无理数在哪儿？19001900年数学家希尔伯特年数学家希尔伯特（HilbertHilbert，1862-19431862-1943）提提出著名的出著名的2323个数学问题即包个数学问题即包括了这一内容。然而，若稍括了这一内容。然而，若稍微追问一句微追问一句“(“(+e e)是无理是无理数还是有理数数还是

21、有理数”？则至今都？则至今都没有严密的答案。没有严密的答案。总之：总之：数学家心安理得的是建立了数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系，在坚实的无懈可击的实数体系，在坚实的基础上，任何闲言碎语都是不足基础上，任何闲言碎语都是不足道的。无理数所体现的完美无缺、道的。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用，可谓占尽尽人皆知的世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学的魅力天上人间风光，正是数学的魅力之所在。之所在。实数的定义：实数的定义：有理数和无理数统称为实有理数和无理数统称为实数数三、实数的分类：三、实数的分类：（1 1）按定义

22、分类：）按定义分类：无无限限不不循循环环小小数数负负无无理理数数正正无无理理数数无无理理数数环环小小数数有有限限循循环环小小数数或或无无限限循循负负有有理理数数正正有有理理数数有有理理数数实实数数0（2 2）按大小分类）按大小分类 ：负负实实数数正正实实数数实实数数0例例7 7、把下列各数写入相应的集合中：、把下列各数写入相应的集合中：四、实数轴四、实数轴 我们知道数轴上的点表示的并不都是有我们知道数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数如果我们把所有的有理理数，也有无理数如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚

23、学习的无理数，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴了，所以我们把这个数轴又称为实数轴 实数与数轴上的点是一一对应的这其实数与数轴上的点是一一对应的这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示的每一个点都可以用一个实数来表示 我们把实数表示在数轴上，最直观地表我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点明了实数的大小

24、，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题显然同有这就引出了实数比较大小的问题显然同有理数之间的比较大小是类似的理数之间的比较大小是类似的 例例8 8、比较大小：比较大小：说明：说明：实数的比较，需要遵循的原则实数的比较，需要遵循的原则是必须化成同类数才可作比较，对是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只于一些无理数，若要化成小数，

25、只能取其近似值，所以需要熟记一些能取其近似值，所以需要熟记一些无理数的近似值。无理数的近似值。例例9 9、填空：、填空：(1)3-=_ 则则x=_；y=_ 小结：小结：同学们，无理数的引进，把我们所同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了从现在的问题也就会更广、更深了从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要起，在考虑某些数学问题时，一定要在实数的范围内对于不同数的范围，在实数的范围内对于不同数

26、的范围，可能结果是不相同的可能结果是不相同的 1 1）在）在 3.14 3.14，sin30sin30,各数中，无理数有各数中，无理数有（）A A、2 2个个 B B、3 3个个 C C、4 4个个 D D、5 5个个 2 2）下列命题中正确的个数有）下列命题中正确的个数有（）无理数就是带根号的数无理数就是带根号的数 aa+a aa+a 21212 2的平方根是的平方根是2121 在实数范围内，非负数一定是正数在实数范围内，非负数一定是正数 两个无理数不一定仍是无理数两个无理数不一定仍是无理数 A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个 A AA A03 3）当）当ab0ab0时，时，4 4）若）若 与与 互为相反数，互为相反数，则则 -2