《数学史》几何学的变革(上)解析课件.ppt
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- 数学史 几何学 变革 解析 课件
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1、 几何学的变革几何学的变革第九章第九章 几何,就是研究几何,就是研究空间空间结结构及性质的一门构及性质的一门学科学科。它是。它是数学中最基本的研究内容之数学中最基本的研究内容之一,与分析、一,与分析、代数代数等等具有等等具有同样重要的地位,并且关系同样重要的地位,并且关系极为密切。极为密切。几何学发展几何学发展 几何学发展历史悠长,内容丰富。它和代数、分析、几何学发展历史悠长,内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都有几何化趋向,即用几何观点及思想方法分支发展都有
2、几何化趋向,即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。去探讨各数学理论。9.1 9.1 欧几里得平行公设欧几里得平行公设 直到直到18世纪末,几何领域仍然是欧几里得一统世纪末,几何领域仍然是欧几里得一统天下解析几何改变了几何研究的方法,但没有从天下解析几何改变了几何研究的方法,但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容实质上改变欧氏几何本身的内容 解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣,但欧几里得几何作为数学人们对综合几何的兴趣,但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位严格性的典范始终保持着神圣的地位 然而,这个近乎科学然而,
3、这个近乎科学“圣经圣经”的欧几里得的欧几里得几何并非无懈可击几何并非无懈可击事实上,公元前事实上,公元前3世纪到世纪到18世纪末,数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完世纪末,数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确,但有一件事却始终让他们耿耿于怀,美与正确,但有一件事却始终让他们耿耿于怀,这就是欧几里得第五公设,也称平行公设这就是欧几里得第五公设,也称平行公设 在欧氏几何的所有公设中,唯独这条公设在欧氏几何的所有公设中,唯独这条公设显得比较特殊它的叙述不像其他公设那样简显得比较特殊它的叙述不像其他公设那样简洁、明了,当时就有人怀疑它不像是一个公设洁、明了,当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个
4、定理,并产生了从其他公设和定而更像是一个定理,并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法理推出这条公设的想法 下面回顾一下下面回顾一下“欧氏几何公设:欧氏几何公设:(1)假定从任意一点到任意一点可作一直线;)假定从任意一点到任意一点可作一直线;(2)一条有限直线可不断延长;)一条有限直线可不断延长;(3)以任意中心和半径可以画圆;)以任意中心和半径可以画圆;(4)凡直角部彼此相等;)凡直角部彼此相等;(5)若一直线落在两直线上所构成的同旁内角)若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。们
5、将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。第五公设第五公设第五公设:第五公设:若一直线落在两直线上,所构成的同旁若一直线落在两直线上,所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。在同旁内角和小于两直角的一侧相交。因此,从古希腊时代开始,数学家们就一直没有放因此,从古希腊时代开始,数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力他们或者寻求以一个比较容弃消除对第五公设疑问的努力他们或者寻求以一个比较容易接受、更加自然的等价公设来代替它,或者试图把它当作易接受、更加自然的等价公设来代替它,或者试图把它当作一条定理
6、由其他公设、公理推导出来在众多的替代公设中,一条定理由其他公设、公理推导出来在众多的替代公设中,今天最常用的是:今天最常用的是:“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行直线平行”般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔普莱菲尔(J.Playfair,17481819),所以有时也叫,所以有时也叫普莱菲尔公设普莱菲尔公设 历史上第一个尝试历史上第一个尝试证明第五公设证明第五公设的是古希腊的是古希腊天文学家托勒玫天文学家托勒玫(Ptolemy,约公元,约公元150)作出的,作出的,后来普罗克鲁
7、斯指出托勒玫的后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明证明”无意中假无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线,这就是上面提到的这就是上面提到的普莱菲尔公设普莱菲尔公设 文艺复兴时期对文艺复兴时期对希腊学术希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设在家重新关注起第五公设在17世纪研究过第五公设的世纪研究过第五公设的数学家有数学家有沃利斯沃利斯等但每一种等但每一种“证明证明”要么隐含了另要么隐含了另一个与第五公设等价的假定,要么存在着其他形式的一个与第五公设等价的假定,要么存在着其他形式的推理错误而且,这类工作中的大多数对数学思
8、想的推理错误而且,这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义进展没有多大现实意义 因此,在因此,在18世纪中叶,世纪中叶,达朗贝尔达朗贝尔曾把平行公设的曾把平行公设的证明问题称为证明问题称为“几何原理中的家丑几何原理中的家丑”但就在这一时但就在这一时期前后,对第五公设的研究开始出现有意义的进期前后,对第五公设的研究开始出现有意义的进展在这方面的代表人物是意大利数学家展在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里萨凯里、德、德国数学家国数学家克吕格尔克吕格尔和瑞士数学家和瑞士数学家兰伯特兰伯特 萨凯里萨凯里(意大利)最先使用归谬法来证明平(意大利)最先使用归谬法来证明平行公设他在一本名叫行公设
9、他在一本名叫欧几里得无懈可击欧几里得无懈可击(1733)的书中,从著名的的书中,从著名的“萨凯里四边形萨凯里四边形”出发出发来证明平行公设来证明平行公设 萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形,其中萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形,其中 =,且为直角,且为直角。萨凯里需要证明。萨凯里需要证明C=D且为直角。且为直角。,BDAC AB萨凯里指出:不用平行公设容易证明萨凯里指出:不用平行公设容易证明C=D,并且顶角,并且顶角具有三种可能性并分别将它们命名为具有三种可能性并分别将它们命名为 1直角假设:C和D是直角;2钝角假设:C和D是钝角;3锐角假设:C和D是锐角 可以证明,直角假设与第五公设等价萨
10、凯里的计划是证明可以证明,直角假设与第五公设等价萨凯里的计划是证明后两个假设可以导致矛盾,根据归谬法就只剩下第一个假设后两个假设可以导致矛盾,根据归谬法就只剩下第一个假设成立,这样就证明了第五公设成立,这样就证明了第五公设 萨凯里在假定直线为无限长的情况下,首先由萨凯里在假定直线为无限长的情况下,首先由钝角假设推出了矛盾,然后考虑锐角假设,在这一钝角假设推出了矛盾,然后考虑锐角假设,在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果,如过程中他获得了一系列新奇有趣的结果,如三角形三角形三内角之和小于两个直角;过给定直线外一给定点,三内角之和小于两个直角;过给定直线外一给定点,有无穷多条直线不与该给定直线
11、相交,等等有无穷多条直线不与该给定直线相交,等等 虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾,但萨虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾,但萨凯里认为它们太不合情理,便以为自己导出了矛盾凯里认为它们太不合情理,便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的而判定锐角假设是不真实的 萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考考1763年,年,克吕格尔(德国)克吕格尔(德国)在其博士论文在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾,中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾,只是得到了似乎与经验不符的结论只是得到了似乎与经验不符的结论 克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他克
12、吕格尔是第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家他的见解启公理加以证明表示怀疑的数学家他的见解启迪迪兰伯特(瑞士)兰伯特(瑞士)对这一问题进行了更加深入对这一问题进行了更加深入的探讨的探讨 1766年,年,兰伯特兰伯特写出了写出了平行线理论平行线理论一书,一书,在这本书中,他也像萨凯里那样考虑了一个四边形,在这本书中,他也像萨凯里那样考虑了一个四边形,不过他是从一个三直角四边形出发,按照第四个角是不过他是从一个三直角四边形出发,按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设由于钝角假设直角、钝角还是锐角作出了三个假设由于钝角假设导致矛盾,所以他很快就放弃了它导致矛盾,所以他很快就
13、放弃了它 与与萨凯里萨凯里不同的是,不同的是,兰伯特兰伯特并不认为锐角假设导并不认为锐角假设导出的结论是矛盾,而且他认识到一组假设如果不引起出的结论是矛盾,而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话,就提供了一种可能的几何矛盾的话,就提供了一种可能的几何因此,兰伯特因此,兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路何学的道路 萨凯里、克吕格尔和兰伯特等,都可以看成萨凯里、克吕格尔和兰伯特等,都可以看成是非欧几何的先行者是非欧几何的先行者 然而,当他们走到了非欧几何的门槛前,却然而,当他们走到了非欧几何的门槛前,却由于各自不同的原因或则
14、却步后退由于各自不同的原因或则却步后退(如萨凯里在如萨凯里在证明了一系列非欧几何的定理后却宣布证明了一系列非欧几何的定理后却宣布“欧几里欧几里得无懈可击得无懈可击”),或则徘徊不前,或则徘徊不前(兰伯特(瑞士)兰伯特(瑞士)在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定,在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定,平行线理论平行线理论一书是他死后由朋友发表的一书是他死后由朋友发表的)突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚,突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚,需要更高大的巨人,这样的时机在需要更高大的巨人,这样的时机在19世纪初逐渐成熟,世纪初逐渐成熟,并且也像解析几何、微积分的创立一样,这样的人物并且
15、也像解析几何、微积分的创立一样,这样的人物出现了不止一位出现了不止一位 对非欧几何来说,他们是对非欧几何来说,他们是高斯、波约高斯、波约(J.Bolyai,18021860)和罗巴切夫斯基和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)下见:希尔伯特的评价。下见:希尔伯特的评价。希尔伯特说:希尔伯特说:“1919世纪最富有世纪最富有启发性和最值得注意的成就是启发性和最值得注意的成就是 非欧几里得几何的发现。非欧几里得几何的发现。”9.2 9.2 非欧几何的诞生非欧几何的诞生 前面讲过,在非欧几何正式建立之前,它的前面讲过,在非欧几何正式建立之前,它的技术性内容已经被大量地推
16、导出来但最先认识技术性内容已经被大量地推导出来但最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯斯 高斯高斯 高斯(高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)()(1777年年1855年),生于年),生于不伦瑞克不伦瑞克,卒于,卒于哥廷根哥廷根,德国德国著著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯的成就遍及数学的各个领域,在高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论数论、非欧非欧几何几何、微分几何微分几何
17、、超几何级数、超几何级数、复变函数论复变函数论以及以及椭圆椭圆函数函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、用,并且在对天文学、大地测量学大地测量学和和磁学磁学的研究中也的研究中也偏重于用数学方法进行研究。偏重于用数学方法进行研究。非欧几何的诞生非欧几何的诞生“非欧几何非欧几何”的名称来源的名称来源于高斯。他从于高斯。他从17991799年开始年开始意识到平行公设不能由其意识到平行公设不能由其他公理推出,并从他公理推出,并从18131813年年起发展了这种平行公设在起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。其中不成立的新几何。非
18、欧几何的诞生非欧几何的诞生 为了验证为了验证“非欧几何非欧几何”应应用的可能性,他实际测量用的可能性,他实际测量了由三座山峰构成的三角了由三座山峰构成的三角形,此三角形的三边分别形,此三角形的三边分别为:为:6969,8585与与109109公里。公里。他发现其内角和比他发现其内角和比1801800 0大大了近了近1515。从高斯的遗稿中可以了解到,他从从高斯的遗稿中可以了解到,他从1799年开始意年开始意识到识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来,并,并从从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何何
19、他起先称之为他起先称之为“反欧几里得几何反欧几里得几何”,最后改称为,最后改称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”,所以,所以“非欧几何非欧几何”这个名称正这个名称正是来自高斯是来自高斯 但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外,高斯生前并没有发表过任何关于思想有所透露外,高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著这主要是因为他感到自己的发现非欧几何的论著这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触,担心世俗的攻与当时流行的康德空间哲学相抵触,担心世俗的攻击击 他曾在给贝塞尔他曾在给贝塞尔(P.W.Bessel)的一封信中说
20、:的一封信中说:如果他公布自己的这些发现,如果他公布自己的这些发现,“黄蜂就会围着耳朵黄蜂就会围着耳朵飞飞”,并会,并会“引起波哀提亚人引起波哀提亚人(特指有世俗偏见的愚特指有世俗偏见的愚人人)的叫嚣的叫嚣”当声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时,一位尚当声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时,一位尚名不见经传的匈牙利青年名不见经传的匈牙利青年波约波约却急切地希望通过高斯的评价而却急切地希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世,波约的父亲将自己关于非欧几何的研究公诸于世,波约的父亲F.波约是高波约是高斯的朋友,也是一位数学家斯的朋友,也是一位数学家 1832年年2月月14日,
21、日,F.波约将他儿子的波约将他儿子的一篇题为一篇题为绝对空间的科学绝对空间的科学的的26页文页文章寄给高斯,这篇文章也作为章寄给高斯,这篇文章也作为F波约刚波约刚刚完成的一本数学著作的附录而发表,刚完成的一本数学著作的附录而发表,其中论述的所谓其中论述的所谓“绝对几何绝对几何”就是非欧就是非欧几何几何F波约请高斯对他儿子的论文发波约请高斯对他儿子的论文发表意见。表意见。波约匈牙利数学家匈牙利数学家-波约波约 “称赞他称赞他(即即J.J.波约波约)就等于称赞我自己整篇文就等于称赞我自己整篇文章的内容,您儿子所采取的思路和获得的结果,与我章的内容,您儿子所采取的思路和获得的结果,与我在在3030至
22、至3535年前的思考不谋而合年前的思考不谋而合”J.波约对高斯的答复深感失望,认为高斯想剽窃自己的成波约对高斯的答复深感失望,认为高斯想剽窃自己的成果果 1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版后,更使出版后,更使J.波约灰心丧气,从此便不再发表数学论文,而波约灰心丧气,从此便不再发表数学论文,而他的父亲倒很开通,安慰他说:他的父亲倒很开通,安慰他说:“春天的紫罗兰在各处盛开春天的紫罗兰在各处盛开”然而高斯回信说:然而高斯回信说:在非欧几何的三位发明人中,只有罗在非欧几何的三位发明人中,只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的巴
23、切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果,并且也是最坚定地宣传和捍卫研究成果,并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位。自己的新思想的一位。他先是于他先是于1826年在喀山大学发表了年在喀山大学发表了简要论述平行线定理的一个严格证明简要论述平行线定理的一个严格证明的演讲,报告了自己关于非欧几何的发现,的演讲,报告了自己关于非欧几何的发现,而后又而后又在在1829年发表了题为年发表了题为论几何原理论几何原理的论文,这是历史上第一篇公开发表的非的论文,这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献欧几何文献。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基179
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