《数学史》近代数学的兴起解析课件.ppt

1、第五章第五章 穿越黑暗穿越黑暗 近代数学的兴起近代数学的兴起 教学目标：了解三、四次方程求解方法，理解对数产教学目标：了解三、四次方程求解方法，理解对数产生背景及思想和映射产生的背景及符合代数的意义，生背景及思想和映射产生的背景及符合代数的意义，掌握解析几何产生的原因，熟练掌握射影几何产生的掌握解析几何产生的原因，熟练掌握射影几何产生的问题及其意义。问题及其意义。教学重点：三、四次方程解法，对数的产生和射影几教学重点：三、四次方程解法，对数的产生和射影几何的产生何的产生 教学难点：对数产生的思想方法教学难点：对数产生的思想方法 近代数学的兴起近代数学的兴起 5.1.1黑暗时代黑暗时代(5-11

2、世纪世纪)从公元从公元5世纪中叶，西罗马帝国灭亡开始到世纪中叶，西罗马帝国灭亡开始到11世世纪这个时期，称为欧洲的黑暗时代。纪这个时期，称为欧洲的黑暗时代。这一时期这一时期,旧的社会秩序已破坏，封建主和基督旧的社会秩序已破坏，封建主和基督教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教的统治，使教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教的统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文

3、明在整个中世纪处于凝滞状态。学校教育名存实亡，希腊学个中世纪处于凝滞状态。学校教育名存实亡，希腊学问几乎绝迹，连许多从古代世界流传下来的艺术和技问几乎绝迹，连许多从古代世界流传下来的艺术和技艺也被忘记了。艺也被忘记了。由于罗马人偏重于实用，而没有发展抽象数学，仅仅由于罗马人偏重于实用，而没有发展抽象数学，仅仅满足于数学在商业和民用工程上的应用。随着罗马帝满足于数学在商业和民用工程上的应用。随着罗马帝国的衰亡以及由此导致的东西方贸易的中断、国家工国的衰亡以及由此导致的东西方贸易的中断、国家工程计划的撤销程计划的撤销,就连在这方面应用的兴趣也减少了就连在这方面应用的兴趣也减少了.毫不毫不夸大地说夸

4、大地说,在整个在整个500年的黑暗时代中年的黑暗时代中,整个欧洲除制定整个欧洲除制定教历外教历外,在数学上没有什么成就在数学上没有什么成就.在黑暗时代在黑暗时代,在数学史上起到重要作用的人在数学史上起到重要作用的人,可以勉强地可以勉强地提到的是：提到的是：博埃齐博埃齐(A.M.S.Boethius,约约480-524,罗马罗马)他根据希腊材料用拉丁文编写的著作他根据希腊材料用拉丁文编写的著作几何学几何学和和算术算术，在好几百年中一直作为教会学校的标准，在好几百年中一直作为教会学校的标准课本。课本。几何学几何学除了对欧几里得除了对欧几里得原本原本第一卷的第一卷的命题和第三、第四卷的少数几个命题的

5、陈述，以及一命题和第三、第四卷的少数几个命题的陈述，以及一些简单的测量术外，就再没有什么东西些简单的测量术外，就再没有什么东西。比德比德(V.Bede,674-735,英国英国)，中世纪最大的教会学者，中世纪最大的教会学者之一。他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要之一。他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要的是关于历法和指算的论著。的是关于历法和指算的论著。热尔拜尔热尔拜尔(Gerbert,约约950-1003,法国法国)，第一个在西班，第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒。有证据表明，他可能牙穆斯林学校学习的基督教徒。有证据表明，他可能把没有包含零的印度把没有包含零的印度-阿拉伯数字

6、带入基督教的欧洲。阿拉伯数字带入基督教的欧洲。据说，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟，也许还有据说，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟，也许还有手风琴。他在教会中的地位逐步提升，并最后于公元手风琴。他在教会中的地位逐步提升，并最后于公元999年被选为教皇。他被认为是一位知识渊博的学者，年被选为教皇。他被认为是一位知识渊博的学者，并且写了关于占星学、算术和几何学等著作。并且写了关于占星学、算术和几何学等著作。直到直到12世纪世纪,由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激作的刺激,欧洲数学才开始出现复苏的迹象欧洲数学才开始出现复苏的迹象.1100年左右，欧洲人通过贸易

7、和旅游，同地中海地年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界。阿拉伯世界。从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典学术。古典学术的发现激起了他们的极大及东方古典学术。古典学术的发现激起了他们的极大兴趣，对这些学术著作的搜求、翻译和研究最终导致兴趣，对这些学术著作的搜求、翻译和研究最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨了文艺复兴时期欧洲数学的高涨.

8、阿德拉特，翻译了欧几里得的阿德拉特，翻译了欧几里得的原本原本和花拉子米的和花拉子米的天文表天文表。阿德拉特是基督教徒，他为获得阿拉伯学问而冒生命阿德拉特是基督教徒，他为获得阿拉伯学问而冒生命危险的故事是很感人的。据说他为了得到被保守得很危险的故事是很感人的。据说他为了得到被保守得很严密的知识，不惜假装成伊斯兰教的学生。严密的知识，不惜假装成伊斯兰教的学生。普拉托普拉托(Plato,约约1120)，意大利人。他翻译了巴塔尼的，意大利人。他翻译了巴塔尼的天文论著天文论著和狄奥多修斯的和狄奥多修斯的球面几何球面几何以及其他以及其他著作著作。古代学术传播西欧的古代学术传播西欧的路线路线 这个时期最辛苦

9、的翻译者是伟大的翻译家杰拉德这个时期最辛苦的翻译者是伟大的翻译家杰拉德(Gherardo,约约1114-1187)，他把，他把90多部阿拉伯文著作多部阿拉伯文著作译成拉丁文，其中包括托勒玫的译成拉丁文，其中包括托勒玫的大汇编大汇编、欧几里、欧几里得的得的原本原本、阿波罗尼奥斯的、阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论圆锥曲线论和阿和阿基米德的基米德的圆的度量圆的度量等。等。可以说，可以说，12世纪是欧洲数学的翻译时代世纪是欧洲数学的翻译时代.大学：波隆尼亚大学（大学：波隆尼亚大学（1088）、巴黎大学（）、巴黎大学（1160）、）、牛津大学（牛津大学（1167）摇篮摇篮 文艺复兴运动文艺复兴运动资产阶级文化

10、的兴起资产阶级文化的兴起 斐波那契（斐波那契（1170-1250），著作），著作算经算经（算盘算盘书书）内容：前七章为内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；及分数的计算问题；811章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数，章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数，还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题；还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题；12、13章为求一次方程的整数解问题；章为求一次方程的整数解问题；14章是求平方根、立方根的法则；章是求平方根、立方根的法则；15章是几何度量及代数问题。章是几何度量及代数问题。斐波那契，是欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。斐波那契，是欧

11、洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。由于父亲经商的缘故，还在斐波那契的孩童时代就由于父亲经商的缘故，还在斐波那契的孩童时代就已经唤起了这个孩子对算术的兴趣。后来，他们旅行已经唤起了这个孩子对算术的兴趣。后来，他们旅行到埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到东方和到埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到东方和阿拉伯的数学实践。斐波那契完全确信印度阿拉伯的数学实践。斐波那契完全确信印度阿拉伯阿拉伯计算方法在使用上的优越性。计算方法在使用上的优越性。1202年，在他回到家里年，在他回到家里不久，便发表了他的著名著作不久，便发表了他的著名著作算经算经。某人在一处有围墙的地方养了一对兔子某人在一处有围

12、墙的地方养了一对兔子,假定每对假定每对兔子每月生一对小兔兔子每月生一对小兔,而小兔出生后两个月就能生而小兔出生后两个月就能生育育.问从这对兔子开始问从这对兔子开始,一年内能繁殖出多少对兔子一年内能繁殖出多少对兔子?裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，U n=Un-1+Un-2 (n3)6180339887.0)15(211nnUUn黄金分割 向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。乎总等于裴波那契序列中

13、两个相邻的数。菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似的情形。的情形。一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字。一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字。电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列。电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列。植物主茎的侧面的叶子植物主茎的侧面的叶子（或芽体、枝叉）。在（或芽体、枝叉）。在主茎底部附近选定一片主茎底部附近选定一片叶子，然后沿主茎向上叶子，然后沿主茎向上计数叶子，一直数到恰计数叶子，一直数到恰好在选定叶子正上方的好在选定叶子正上方的一片为止，这个数通常一片为止，这个数通常是斐波那契数列中的一是斐波

14、那契数列中的一项；绕主茎旋转计数叶项；绕主茎旋转计数叶片数，并且数到刚才位片数，并且数到刚才位于上端的那片叶子为止，于上端的那片叶子为止，所得到的数通常是刚才所得到的数通常是刚才那项前面的邻项。那项前面的邻项。向日葵的花盘。从盘中心向向日葵的花盘。从盘中心向外辐射出来的螺旋线：顺时外辐射出来的螺旋线：顺时针方向伸展的螺线数目，与针方向伸展的螺线数目，与逆时针方向伸展的螺线数目逆时针方向伸展的螺线数目是斐波那契数列的两个邻项。是斐波那契数列的两个邻项。事实上，任何菊科植物（如事实上，任何菊科植物（如皱菊或翠菊）的花盘都有此皱菊或翠菊）的花盘都有此特征。特征。至于至于14世纪世纪,可以说相对而言，

15、这是数学上的不毛之地。可以说相对而言，这是数学上的不毛之地。这是黑死病流行的世纪，扫荡了欧洲三分之一以上的这是黑死病流行的世纪，扫荡了欧洲三分之一以上的人口；并且使北欧在政治上和经济上发生动乱的人口；并且使北欧在政治上和经济上发生动乱的“百百年战争年战争”就始于这个世纪。就始于这个世纪。欧洲数学复苏的过程十分曲折，从欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到世纪到15世纪中世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒枚的一些学说奉为绝对正确的

16、教条，企图多德、托勒枚的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数学真正的复苏，要到学真正的复苏，要到15-16世纪。世纪。从从12世纪到世纪到15世纪中叶世纪中叶三次及以上的方程的根式解问题：三次及以上的方程的根式解问题：巴巧利认为巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式解，就象解化无根式解，就象解化圆为方一样。圆为方一样。费罗（费罗（1465-1526）发现了形如）发现了形如x3+mx=n（m,n0）的解法。的解法。尼古拉尼古拉丰丹纳（绰号塔塔里亚）（丰丹纳（绰号塔塔里亚）（1499-1557），），1

17、535年宣布发现了三次方程的代数解法。年宣布发现了三次方程的代数解法。三、四次方程根式求解的成功三、四次方程根式求解的成功 费罗费罗（1515年）年）,波伦亚大学的数学教授波伦亚大学的数学教授。x3+mx=n (m,n0)塔塔利亚塔塔利亚（Tartaglia，即意大利语的，即意大利语的“口吃者口吃者”。）。）x3+mx2=n (m,n0)由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀,愈后语言遇到障碍愈后语言遇到障碍 5.2.1 代数学代数学 大约在大约在1515年年,波伦亚大学的数学教授费罗波伦亚大学的数学教授费罗(S.Ferro,1465-1526

18、,意大利意大利)用代数方法解了三次方用代数方法解了三次方程程 。按当时的风气，学者们是不公开自己的研究成果的，按当时的风气，学者们是不公开自己的研究成果的，因为这样可以提高他在资助人眼里的地位。所以，费因为这样可以提高他在资助人眼里的地位。所以，费罗没有发表自己的解法，但是，他将自己的解法秘密罗没有发表自己的解法，但是，他将自己的解法秘密地透漏给了他的学生费奥地透漏给了他的学生费奥(A.M.Fior)。费奥把这一结果。费奥把这一结果看成是他日后成名得利的凭据，以及在解题挑战赛中看成是他日后成名得利的凭据，以及在解题挑战赛中向其他数学家们挑战的资本向其他数学家们挑战的资本。)0,(3nmnmxx

19、 与此同时与此同时,布雷西亚的尼古拉布雷西亚的尼古拉丰坦那丰坦那(Niccolo Fontana,约约1500-1557,意大利意大利)也在研究三次方程的也在研究三次方程的解法。由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一解法。由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀，愈后语言遇到障碍，人们都称他为塔塔利亚马刀，愈后语言遇到障碍，人们都称他为塔塔利亚(Tartaglia)，即意大利语的，即意大利语的“口吃者口吃者”，并以此闻名，并以此闻名于世。于世。1535年，塔塔利亚宣布：他发现了三次方程的代数解年，塔塔利亚宣布：他发现了三次方程的代数解法。费奥认为此项声明纯系欺骗法。费奥认为此项声明纯系欺

20、骗,就向塔塔利亚提出挑就向塔塔利亚提出挑战，要求来一次解三次方程的公开比赛，参赛者要解战，要求来一次解三次方程的公开比赛，参赛者要解出对方提出出对方提出30个三次方程。比赛在米兰大教堂公开举个三次方程。比赛在米兰大教堂公开举行。行。关于这一发现的故事 结果是结果是,塔塔利亚很快就解出了形如塔塔利亚很快就解出了形如 和和 两种类型的所有三次方程。然而，费奥似乎是一位平两种类型的所有三次方程。然而，费奥似乎是一位平庸的数学家，他只能求解第一种类型的三次方程，而庸的数学家，他只能求解第一种类型的三次方程，而这还是他的老师告诉他的。费奥自取其辱，塔塔利亚这还是他的老师告诉他的。费奥自取其辱，塔塔利亚大

21、胜而归大胜而归。)0,()0,(233nmnmxxnmnmxx 塔塔利亚胜利的消息传到了一位不怎么道德的意大利塔塔利亚胜利的消息传到了一位不怎么道德的意大利一个教书匠卡尔丹一个教书匠卡尔丹G.Cardano,1501-1576)G.Cardano,1501-1576)的耳朵里，的耳朵里，他以把塔塔利亚推荐给一位投资者的推荐信为诱饵，他以把塔塔利亚推荐给一位投资者的推荐信为诱饵，说服塔塔利亚把三次方程的解法告诉了他。说服塔塔利亚把三次方程的解法告诉了他。15391539年年,他他们在米兰会面时，塔塔利亚逼迫卡尔丹起誓决不泄漏们在米兰会面时，塔塔利亚逼迫卡尔丹起誓决不泄漏这一秘密。这一秘密。然而，

22、卡尔丹不久就违背诺言，于然而，卡尔丹不久就违背诺言，于15451545年年在德国的纽伦堡发表了一部关于代数学的拉丁文巨著在德国的纽伦堡发表了一部关于代数学的拉丁文巨著大法大法，其中就有三次方程的塔塔利亚解法，其中就有三次方程的塔塔利亚解法 。1540年年,意大利数学家达科伊意大利数学家达科伊(T.Da Coi)向卡尔丹提出向卡尔丹提出了一个导致四次方程的问题，卡尔丹未能解出，最终了一个导致四次方程的问题，卡尔丹未能解出，最终还是被其还是被其才华出众的弟子费拉里才华出众的弟子费拉里解决。卡尔丹很高兴解决。卡尔丹很高兴地将这个解法收入他的著作地将这个解法收入他的著作大法大法。解法的实质是。解法的实

23、质是将四次方程化为三次方程求解将四次方程化为三次方程求解。现在看来，说卡尔丹完全是剽窃，显然有失公正，因现在看来，说卡尔丹完全是剽窃，显然有失公正，因为他在书中已注明这个解法是塔氏告诉他的。而且塔为他在书中已注明这个解法是塔氏告诉他的。而且塔氏从没有给出证明，卡尔丹不仅将塔氏方法推广到了氏从没有给出证明，卡尔丹不仅将塔氏方法推广到了一般形式的三次方程，而且还补充了几何证明。一般形式的三次方程，而且还补充了几何证明。大法（Ars Magna）qpxx3p,q 0 332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqbqpxx3p,q 0 332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqb

24、卡尔丹公式：卡尔丹公式：大法大法所载三次方程所载三次方程 的解法，实的解法，实质上是考虑恒等式质上是考虑恒等式 若选取若选取a和和b，使，使 由上式不难解出由上式不难解出a和和b：于是得到就是所求的于是得到就是所求的 x.)0,(3qpqpxx,)(3)(333babaabba,333qbapab332332,322,322pqqbpqqa2.四次方程求解四次方程求解x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通过配方、因式分解后，降基本思想是通过配方、因式分解后，降为三次方程。为三次方程。塔塔利亚被这一背信弃义的行为激怒。为了寻求报复塔塔利亚被这一背信弃义的行为激怒。为了寻求报复,他在一本书

25、中讲了自己的故事。塔塔利亚的强烈抗议他在一本书中讲了自己的故事。塔塔利亚的强烈抗议遭到卡尔丹的最有能力的学生费拉里遭到卡尔丹的最有能力的学生费拉里(L.Ferrari,1522-1565,意大利意大利)的反击。的反击。在长时间的交锋中，费拉里始终站在老师一边。他说在长时间的交锋中，费拉里始终站在老师一边。他说卡尔丹曾通过第三者卡尔丹曾通过第三者(费罗的养子费罗的养子)从费罗那里得知此从费罗那里得知此法，法，反而控告塔塔利亚剽窃费罗的成果反而控告塔塔利亚剽窃费罗的成果。1548年年,塔塔塔利亚从威尼斯一个很低的算术教师的职位突然升到塔利亚从威尼斯一个很低的算术教师的职位突然升到了布雷希亚的讲师的

26、职位。他向费拉里提出挑战，认了布雷希亚的讲师的职位。他向费拉里提出挑战，认为这样能给他带来更大的荣誉并且能够复仇。但是他为这样能给他带来更大的荣誉并且能够复仇。但是他太低估了对手的实力，两人在比赛结束之前不欢而散。太低估了对手的实力，两人在比赛结束之前不欢而散。这对塔塔利亚产生了不利影响，布雷西亚的权威们后这对塔塔利亚产生了不利影响，布雷西亚的权威们后来拒绝付给他薪水，他只好回到威尼斯教他的课。至来拒绝付给他薪水，他只好回到威尼斯教他的课。至此，一场闹剧终于收场。此，一场闹剧终于收场。让人同情的塔塔利亚让人同情的塔塔利亚“反客为主法反客为主法”卡尔丹是数学史上具有异常性格的人物之一。他出身卡尔

27、丹是数学史上具有异常性格的人物之一。他出身贫寒，并一直在寻找可靠的支持者，后来功成名就并贫寒，并一直在寻找可靠的支持者，后来功成名就并积累了一点财产。他的职业生活是多变的：当医生，积累了一点财产。他的职业生活是多变的：当医生，搞业余研究，当教授，写数学书。他一度远到苏格兰搞业余研究，当教授，写数学书。他一度远到苏格兰旅行，回到意大利后，相继主持帕维亚和波伦亚大学旅行，回到意大利后，相继主持帕维亚和波伦亚大学的重要讲座。因为他发表了基督命运的星占，以邪说的重要讲座。因为他发表了基督命运的星占，以邪说罪被监禁了一个时期。他辞去波伦亚的讲座罪被监禁了一个时期。他辞去波伦亚的讲座,迁到罗马迁到罗马,成

28、为杰出的占星学家，并以教皇宫廷的占星学家接受成为杰出的占星学家，并以教皇宫廷的占星学家接受年薪。年薪。传说他于传说他于15761576年自杀于罗马，为的是使他对自己的死年自杀于罗马，为的是使他对自己的死期的预卜得以实现。关于他的坏脾气有许多传说，例期的预卜得以实现。关于他的坏脾气有许多传说，例如，一次大怒，他割掉了小儿子的耳朵。当然，有些如，一次大怒，他割掉了小儿子的耳朵。当然，有些传说，可能是他的仇人有意夸大，结果被过分地恶意传说，可能是他的仇人有意夸大，结果被过分地恶意中伤。中伤。问题：中国古代的数学家中，问题：中国古代的数学家中，有类似性格的吗有类似性格的吗?卡尔丹是那个时代最有才华、多

29、才多艺的人物之一。卡尔丹是那个时代最有才华、多才多艺的人物之一。他是数学家、物理学家、天文学家、赌徒和异教徒。他是数学家、物理学家、天文学家、赌徒和异教徒。他写了许多关于算术、天文学、物理学和其他学科的他写了许多关于算术、天文学、物理学和其他学科的著作。他的最大著作是著作。他的最大著作是大法大法-一部专讲代数的巨一部专讲代数的巨著。其中采用了方程的负根，并讲到虚数的计算。卡著。其中采用了方程的负根，并讲到虚数的计算。卡尔丹作为一个积习很深的赌徒，写了一本赌徒手册，尔丹作为一个积习很深的赌徒，写了一本赌徒手册，其中讨论到一些有趣的概率问题，这使他成为早期的其中讨论到一些有趣的概率问题，这使他成为

30、早期的概率论的研究者。概率论的研究者。关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡尔都作过关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求研究，并取得成果，由此引发探求五次方程根式解五次方程根式解的的尝试，经拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔尝试，经拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦首先证明了一般的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基础上创造了群论，将代数研究推向纵深。在此基础上创造了群论，将代数研究推向纵深。韦达韦达(F.Vieta):分析引论分析引论(1591)近代数学的开始最重大的事莫过于符号代数的引进。近代数学的开始最

31、重大的事莫过于符号代数的引进。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母。韦达韦达1540年出生于法国的丰特内年出生于法国的丰特内.他是一位律师和议他是一位律师和议员员,但把绝大部分闲暇时间都献给了他热爱着的数学。但把绝大部分闲暇时间都献给了他热爱着的数学。关于韦达，有很多轶闻趣事。关于韦达，有很多轶闻趣事。弗朗索瓦弗朗索瓦韦达（韦达（1540年年1603年年12月月13日日），），法国法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父代数学之父”。他是第一个引进系统的。他是第一个引进系统的代数代数符号符

32、号，并对方程论做了改进的数学家。由于韦达做出了许多并对方程论做了改进的数学家。由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。韦达韦达1540年生于法国的普瓦图。年生于法国的普瓦图。1603年年12月月13日卒于日卒于巴黎巴黎。年轻时学习法律并当过律师。后从事政治活动，。年轻时学习法律并当过律师。后从事政治活动，当过议会的议员。当过议会的议员。在对在对西班牙西班牙的战争中，曾为政府破译敌军的密码。韦的战争中，曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母字母

33、来表示来表示已知数已知数、未知数未知数及其及其乘幂乘幂，带来了，带来了代数学代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述叙述一元二次方程一元二次方程根与系数关系根与系数关系的结论称为的结论称为“韦达定韦达定理理”）。）。如果方程如果方程 的根的根是，那么是，那么00111axaxaxannnnn,21nnnaa121nnnnaa213121nnnaa03211.问题：该定理如何证问题：该定理如何证明呢？明呢？三角学三角学 14501450年以前的

34、三角主要是球面三角，直到年以前的三角主要是球面三角，直到14501450年平面年平面三角学才在测量的基础上发展起来。三角学才在测量的基础上发展起来。原因是由于受航海，历法推算和天文观测的需要。原因是由于受航海，历法推算和天文观测的需要。雷格蒙塔努斯雷格蒙塔努斯14641464年，年，论各种三角形论各种三角形使三角学最终脱离天文学，而成为一使三角学最终脱离天文学，而成为一门独立的数学学科，并将平面三角和球面三角分离开来。门独立的数学学科，并将平面三角和球面三角分离开来。这部著作主要从纳西尔这部著作主要从纳西尔丁的著作中得到启发，全书共丁的著作中得到启发，全书共5 5卷，前卷，前2 2卷是平面三角

35、，后卷是平面三角，后3 3卷是讲球面三角。书中采用印度人的正弦，卷是讲球面三角。书中采用印度人的正弦，用到余弦，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。用到余弦，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。球面三角的正弦定理球面三角的正弦定理球面三角的余弦定理球面三角的余弦定理CcBbAasinsinsinsinsinsinAcbcbacossinsincoscoscos 哥白尼的学生雷提库斯哥白尼的学生雷提库斯(G.J.Rhaeticus,1514-1576)将将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并采用了六个函数采用了六个函数(正弦

36、、余弦、正切、余切、正割、余正弦、余弦、正切、余切、正割、余割割)，他是将三角函数定义为直角三角形的边与边之比，他是将三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一人。他还雇人花了十二年功夫编制了两个著名的第一人。他还雇人花了十二年功夫编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。由于雷提库斯的强求，的、至今尚有用的三角函数表。由于雷提库斯的强求，哥白尼临死之前戏剧性地发表了他的关于宇宙理论的哥白尼临死之前戏剧性地发表了他的关于宇宙理论的巨著巨著。关于三角的著作有关于三角的著作有标准数学标准数学和和斜截面斜截面，将三角学进一步地发展，系统化三角学。他把解将三角学进一步地发展，系统化三角学。他把解平面直

37、角三角形和斜三角形的公式汇集在一起。平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起。他自已得到的正切公式为他自已得到的正切公式为2tan2tanBABAbaba 布努雷契布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446，意大利，意大利)第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。画的艺术家。数学透视法的天才阿尔贝蒂数学透视法的天才阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404-1472)的的论绘画论绘画(1511)一书一书,则是早期数学透视法的代表则是早期数学透视法的代表作。作。透视画的天才阿尔贝蒂提出一个很重要的问题：透视画的天才阿尔贝

38、蒂提出一个很重要的问题：如果眼睛和景物之间插立一张直立的玻璃屏板，设想光如果眼睛和景物之间插立一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛出发射在景物上，那么这些光线形成投影锥，投影线从眼睛出发射在景物上，那么这些光线形成投影锥，投影锥经过屏板上的点便形成截景，截景给眼睛的印象和物景本锥经过屏板上的点便形成截景，截景给眼睛的印象和物景本身一样。如果在眼睛与物景之间再插另一张屏板，那么两个身一样。如果在眼睛与物景之间再插另一张屏板，那么两个截景都传达原来的形象，但它们具有何数学关系？截景都传达原来的形象，但它们具有何数学关系？（见后面示意图）（见后面示意图）眼物景截景德沙格德沙格（1591-1661），原

39、是法国陆军军官），原是法国陆军军官,后来成为建筑师和后来成为建筑师和工程师工程师,靠自学成名。德沙格发表了靠自学成名。德沙格发表了本关于圆维曲线的很有本关于圆维曲线的很有独创性的小册子独创性的小册子试论锥面截一平面所得结果的初稿试论锥面截一平面所得结果的初稿，从，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理。透射、极轴、极点以及透视的基本原理。1、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格定理）2、交比在投影下的不变性：、交比在投影下的不变性：(见见P13

40、4的定义）的定义）3、对合、调合点组关系不变性：、对合、调合点组关系不变性：对任一直线上的定点O，称直线上的两对点A，B和A，B是对合的，如果成立：OAOB=OA OB 任一不过顶点的直线遭到圆锥曲线以及完全四边形任一不过顶点的直线遭到圆锥曲线以及完全四边形相交的点具有对合关系相交的点具有对合关系ACBD GEHFA，B；C，D；E，F；G，H是四组点对合 3、对合、调合点组投射关系不变性、对合、调合点组投射关系不变性 调合点组：有一点调合点组：有一点E，若使，若使OAOB=OE2 则称则称E为二重点，另还有一个二重点为二重点，另还有一个二重点F，O是是EF的中点，的中点，称点称点A，B；E，

41、F是调合点组。是调合点组。4、极带、极带极带极带生於生於克莱蒙费朗克莱蒙费朗，早逝於巴黎。父亲是数学家、，早逝於巴黎。父亲是数学家、“梅森学会梅森学会”成员，对成员，对他的他的早期教育早期教育影响很大。他自幼聪颖，求知欲极强，影响很大。他自幼聪颖，求知欲极强，12岁始学几何，即岁始学几何，即通读欧几里得（通读欧几里得（Euclid）的）的几何原本几何原本（Elements）并掌握了它。）并掌握了它。16岁时发现著名的帕斯卡六边形定理：内接於一个二次曲缐的六边形的三双对边内接於一个二次曲缐的六边形的三双对边的交点共线。的交点共线。据说他後来由此推出400多条推论。17岁时写成圆锥曲缐论，是研究德

42、札尔格（Girard Desargues）射影几何工作心得的论文，包括上述定理。将将“二次曲线二次曲线”换成圆，你会换成圆，你会证明吗？证明吗？帕斯卡（符号Pa）是国际单位制(SI)的压力或压强单位。在不致混淆的情况下，可简称帕。它等于一牛顿每平方米。以法国数学家、物理学家兼哲学家布莱士帕斯卡命名。与此同时，笛卡儿的代数几何取得了巨大的成功。笛与此同时，笛卡儿的代数几何取得了巨大的成功。笛卡儿认为如果把德沙格的研究用代数语言来表示，那卡儿认为如果把德沙格的研究用代数语言来表示，那么他的研究会更容易理解。后来，笛卡儿承认，他的么他的研究会更容易理解。后来，笛卡儿承认，他的代数几何与德沙格的研究可

43、能只是风格上有所不同，代数几何与德沙格的研究可能只是风格上有所不同，但在内容上并没有什么区别。但在内容上并没有什么区别。但是，数学家们正忙于研究数学的其他方向，德沙格但是，数学家们正忙于研究数学的其他方向，德沙格的工作逐渐被遗忘。他的射影几何和画法几何都是到的工作逐渐被遗忘。他的射影几何和画法几何都是到了了19世纪初才重新被建立在健全的数学基础之上的世纪初才重新被建立在健全的数学基础之上的。笛卡尔的贡献，见笛卡尔的贡献，见5.3.16世纪前半叶世纪前半叶,欧洲把实用的算术计算放在数学的首位。欧洲把实用的算术计算放在数学的首位。工程技术上的应用、实践上的需要，地理探险与海洋工程技术上的应用、实践

44、上的需要，地理探险与海洋贸易需要更为准确的天文知识，以精确观测为基础的贸易需要更为准确的天文知识，以精确观测为基础的新天文学，也需要精密的天文数表新天文学，也需要精密的天文数表,特别是三角函数表；特别是三角函数表；日益发展起来的银行业务和商务活动也需要更好的计日益发展起来的银行业务和商务活动也需要更好的计算技术算技术,所有这些都对计算技术的改进提出了前所未有所有这些都对计算技术的改进提出了前所未有的要求。的要求。对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年年1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并

45、于1614年在爱丁堡年在爱丁堡出版了出版了奇妙的对数定律说明书奇妙的对数定律说明书，公布了他的发明。恩格斯把，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学世纪数学的三大成就。的三大成就。1)已知已知a,b,求求N乘方运算乘方运算 2)已知已知b,N,求求a开方运算开方运算 3)已知已知a,N,求求b对数运算对数运算“對數對數”(logarithm)一詞源自於一詞源自於希臘希臘，表，表示思想的文字或記號，也可作示思想的文字或記號，也可作“計算計算”或或“比率比率”。由於。由於16世紀的天文星象的觀測、世紀的天文星

46、象的觀測、航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減的運算工具，即為的運算工具，即為對數對數。过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，元，一年后利息是一年后利息是1元，即连本带利还元，即连本带利还2元，年利率元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是，利息是1.5元，一年后还元，一年后还1.52=2.25元。半年结元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，

47、如果一年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，次，4次，次，365次，次，岂不发财了？，岂不发财了？真的是这样吗？大家觉得呢？真的是这样吗？大家觉得呢？他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，根本不知道，的值是随的值是随n的增大而增大，但增加的数的增大而增大，但增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把和不可能突破一个上限。数学家欧拉把 极限记作极限记作e，e=2.71828，即自然对数的底。，即自然对数的底。它的产生主要是由

48、于天文、航海方面所遇到的繁杂数它的产生主要是由于天文、航海方面所遇到的繁杂数值计算值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法自然希望将乘除法归结为简单的加减法,这种设这种设想受到人们熟知的三角公式想受到人们熟知的三角公式(积化和差积化和差):的启示的启示,或许还受到德国或许还受到德国数学家斯蒂弗尔数学家斯蒂弗尔(M.stifle,约约1487-1567)在他的在他的综合综合算术算术(1554)中所发现的几何级数中所发现的几何级数 与其指数所构成的算术级数与其指数所构成的算术级数 0,1,2,3,之间对应关系及运算性质的启示之间对应关系及运算性质的启示(把幂函数的乘法化成把幂函数的乘法化成了其指

49、数的加了其指数的加法法)。)cos()cos(sinsin21BABABA,132rrr 纳皮尔纳皮尔（1550-1617），利用两种不同的运动之间），利用两种不同的运动之间的关系，建立了的关系，建立了“对数对数”关系。称为纳皮尔对数。关系。称为纳皮尔对数。布里格斯布里格斯（1561-1631），建立了以），建立了以10为底的常用为底的常用对数，制出第一张常用对数表。对数，制出第一张常用对数表。冈特冈特（1581-1626），算出三角函数的常用对数表。），算出三角函数的常用对数表。比尔吉比尔吉（1552-1632），也独立发明了对数。），也独立发明了对数。穆尼阁穆尼阁（1611-1656），把

50、对数传入中国），把对数传入中国纳皮尔布里格斯 纳皮尔是苏格兰贵族数学家。纳皮尔纳皮尔是苏格兰贵族数学家。纳皮尔15501550年生于苏格年生于苏格兰首府爱丁堡，他从小喜欢数学和科学，并以其天才兰首府爱丁堡，他从小喜欢数学和科学，并以其天才的四个成果被载入数学史。的四个成果被载入数学史。拉普拉斯认为拉普拉斯认为:对数的发现对数的发现“以其节省劳力而延长了天以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。文学家的寿命。”一个点一个点P沿直线沿直线AB(长度为长度为 单位单位)的运动的运动,其速度在每其速度在每一点一点P处正比于剩余距离处正比于剩余距离PB=y;再假定另一个点再假定另一个点Q沿无沿无穷直线穷直线