材料力学精品课件：New Chapter 10.ppt

1、能量法,10,材 料 力 学,第十章 能量法,10.1 概述,10.2 杆件变形能的计算,10.7 虚功原理,10.3 单位载荷法 莫尔积分,10.4 计算莫尔积分的图乘法,10.5 卡氏定理,10.6 互等定理,10.1 概 述,一. 问题的提出,任意结构,任意截面,任意方向的位移,任意载荷,基本方法平衡、几何、物理,能量法,二. 能量法的依据,略其他能量损失, 由能量守恒,而且也可导出适用于非线弹性和塑性问题,的计算方法. 本教材以线弹性材料为主.,10.2 杆件变形能计算,一. 杆件基本变形的变形能,线弹性,基本变形能量计算,广义表达式,注意：当内力或刚度发生变化时要用,积分或分段计算U

2、,二. U的特点,3. U的大小与加载的次序无关,仅取决于载荷或位移的最终值,U不能用叠加法计算,2. U0 恒为正,4.,三.变形能的普遍表达式克拉贝依隆原理,线弹性范围内,.,内力对微段可看作外力,四. 组合变形杆件变形能的计算,在组合变形杆件中取微段 dx,有 FN(x) Mx(x) M(x),设材料在线弹性范围内,dU=dW,在小变形下,FN(x)与d, d,Mx(x)与d(l ), d,M(x)与d(l ), d,正交,而,必须强调,只适用于线弹性结构,对非线性材料,U=W=曲线下的面积,未作特殊说明,均假定材料在,线弹性范围内,例1 已知d, F, E, G,求 fc=?,解:,例

3、2 BD为无缝钢管,外径90cm,壁厚2.5mm, lBC=3m , E=30GPa 。BC是两条钢索，面积为,求：,解：,1. 求外力,2. 求内力 FNBC 、 FNBD,解得: FBC=1.41F FBD=1.93F,FNBC=1.41F FNBD=1.93F,4. 求 W,5. 由 W =U,解得,3. 求 UBC 和 UBD,A1=2171.82mm2,任意结构,任意截面,任意方向的位移,任意载荷,U=W,（功能原理）,10.3 单位载荷法 莫尔积分,以平面刚架为例，求任意截面任意方向的位移（A点沿a-a 方向）,设刚架在F、Me作用下任意截面x的弯矩为M(x)，变形能,变形能,欲求

4、，在A沿a-a加一单位力1，,U的大小与加载的次序无关,故采用不同的加载次序计算变形能,一.先加单位力1，,在此变形基础上再加F、Me，,此时变形能为,变形能增加了,同时，单位力1在上作功1，结构的总变形能为,二. 设结构在F，Me及单位力1共同作用，,结构任意截面x 的弯矩为 ,结构的总变形能为,两种方法计算的变形能相等，即,先加单位力1,为线位移或角位移；,M(x)为载荷引起的弯矩；,称为单位载荷法也称莫尔积分,求某处线位移，就在该处加单位力1 ；,求相对线位移，就加一对单位力1；,求相对角位移，就加一对单位力偶1；,整理得,对拉压杆，单位载荷法可写成：,对受扭杆件，莫尔积分可写成：,对组

5、合变形杆件，莫尔积分可写成：,注意,3.GIP仅对圆轴而言,对非圆IP对应It；,4.对小曲率的曲杆,直杆公式仍可用；,5.莫尔积分只适用于线性结构。,例3. 已知q，EI为常数,C为中点,解：,1.求fC,求:fC A,2.求A,10.4 计算莫尔积分的图形互乘法,一. 积分计算的简化,在数学中:,若函数F(x). f(x)中只要有一个是线性函数, 可把积分运算化成代数运算。,而在莫尔积分中,若刚度为常数(在一段 内),则只需计算积分 或,而 为单位力产生的内力,其方 程(图形)总是线性的,故莫尔积分式总可简化 为代数运算。,二.图形互乘法(维力沙金法),以最复杂的弯矩图为例:,若需要分段,

6、 则:,对等直杆轴的拉压：,对桁架（多杆）：,对圆轴扭转:,对圆截面杆的组合变形:,注意,三.几点说明,同侧互乘为正,异侧互乘为负 。,3.位移是载荷的线性函数,可采取叠加法计算。,4.若 均为线性,可互换,即:,特殊图形的面积和形心位置:,矩形,二次抛物线,二次抛物线,在C点加单位力,例4. 用图乘法求fC , A EI=C,解: 作M图,作 图。,q,1. 求 fC,在A点加单位力偶,作图,2. 求 A,作M图。,解:,例5.如图，EI=C，求 A,在A点加单位力偶，,作 图。,例6. 如图，EI=C，求A,解: 作M图,在A点加单位力偶,解: 作M图,作 图。,(求 A),例7.已知:

7、EI=C,求: B、fC、fD.,1. 求B,2. 求fC,3. 求fD,3. 求fD,例8.两段梁的抗弯刚度均为EI，求 fD,解：,作M、 图,由图乘法：,例9. 已知刚架(不计FN，FQ影响),解: 作弯矩图M,在A点加单位力,求,作图,1.求,2.求,在B点加单位力,作图,例10.计算相对位移,解: 作M图.,在B作用一单位力偶矩1，,10.6 卡氏定理,一 . 卡氏第二定理,设弹性体无刚体位移,设,根据U的特性:,先加,再加,略高阶微量有,卡氏第二定理,广义位移,卡氏定理只适用于线弹性结构,变形能U对任意载荷Fi的偏导数,等于Fi作用点沿Fi方向的位移,卡氏第二定理,二.线弹性体各类

8、变形下的卡氏定理的应用,1. 横力弯曲,卡氏定理的实质是莫尔积分即单位力法,2. 小曲率曲杆,3. 桁架,4. 圆轴受扭,5. 圆杆组合变形,三. 注意问题,1. 若要求位移处无载荷作用,要加虚力,求偏导后令其为零.,例 10-14 fA=?,令FA=0 则,2.若结构作用有相同的力,而要求的是某一个力作用上沿其力方向的位移时要先把力编号,求解后还原.,例 10-15 EI为常量,求fc,BC段,CA段,10.7 互等定理,一. 影响系数,影响系数(柔度系数),线弹性结构,二. 互等定理,第一力系,第二力系,U的大小与加载的次序无关,故采用不同的加载次序计算结构变形能,方法一：先加F1 后加F

9、2 。,方法二：先加F2 后加F1 。,方法一：先加F1 后加F2 。,显然有,第一力系,第二力系,功的互等定理,若F1=F2 则,位移互等定理,第一力系,第二力系,三 几点说明,1. 互等定理仅适用于线弹性结构,2. 以刚架为例推出, 不失一般性,3. 对多个力作用,组合变形,静定或静不定结构 均适用,例 已知: M1=6kNm,y21=0.45mm,求: F2=?,由互等定理得:,解:,例 图示结构在P作用下，1、2两点处的挠度和转角分别为f11，11，f21和21,试求在2点处再作用一个力偶矩m时，1点的总挠度为多少？,解：,例 图示结构在P作用下，1、2两点处的挠度和转角分别为f11，

10、11，f21和21,试求在2点处再作用一个力偶矩m时，1点的总挠度为多少？,解：,10.7 虚功原理,一. 实功与虚功,虚功：力在与自身无因果关系的位移上所做 的功。,虚位移：与做功的力无关的位移。,实功,实位移,真实力,二. 虚功原理,1.刚体的虚位移原理,.变形体的虚位移原理,设虚位移,设真实力,F1,F2,q(x),路径一,计算虚功,从整体考虑,路径二,取微段计算,结论 We = Wi,外力在虚位移上所做的虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功.,或 外力所做的虚功等于杆件的虚变形能.,三.几点说明,2.对组合变形,3.推导过程未涉及材料的性质,所以虚功原理可用于线性和非线性结构。,1.F 广义力; 广义位移,Thank you!,