1234椭圆的第二定义解析课件.ppt

1、12.3.4 椭圆椭圆的的第二定义第二定义12122(2|).FFaaFFP：求平面上到两个定点、的距离和等于常数的点的轨导迹方程入1F2FPoxy解：12FFy的中垂线为 轴，.建立直角坐标系12|FF 设1F2F(,)P x y设1|PF12FFx以线段所在直线为 轴，2c(,0)c(,0)c2|PF 2aaycxycx2)()(2222 即即2222)(2)(ycxaycx 2222222)()(44)(ycxycxaaycx 则则222)(ycxacxa 整理得整理得22()xcycxaa22ycaaxc2（x-c）+=-这个方程的几何意义如何？这个方程的几何意义如何？e椭圆的第二定义

2、椭圆的第二定义：平面内一动点到定点的距离与它到平面内一动点到定点的距离与它到一条定直线的距离之比等于一个常数一条定直线的距离之比等于一个常数 P Pd dF F2 2H Hx xy yo ol2F F1 1左焦点左焦点右焦点右焦点左准线左准线右准线右准线l12axc 2axccea()01e 这个动点这个动点的轨迹是的轨迹是椭圆椭圆。定点是椭圆的。定点是椭圆的焦点焦点。定定直线叫椭圆的直线叫椭圆的准线准线，常数，常数e是椭圆的是椭圆的离心率离心率。12122(2|).FFaaFFP：求平面上到两个定点、的距离和等于常数的点的轨导迹方程入1F2FPoxy解：12FFy的中垂线为 轴，.建立直角坐

3、标系12|FF 设1F2F(,)P x y设1|PF22()xcy22()xcy22()xcy设(1)(2)22()xcy22()xcy2am4cxm2222()()xcyxcy(1)(3)22()xcy12FFx以线段所在直线为 轴，2c(,0)c(,0)c2|PF 2a2(1)a22()xcy(2)m2am2cxa2(3)cxacxaa22ycaaxc2（x+c）+=+【说明说明】1 1、椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同、椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同 的定义方式。的定义方式。3 3、椭圆的准线方程：、椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线椭

4、圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称12222byaxcaxl21:caxl22:对于对于左准线左准线右准线右准线对于对于 12222bxay下准线下准线 cayl21:cayl22:上准线上准线)0(bacbccaccap2222焦点到准线的距离焦点到准线的距离(焦参数焦参数)2 2、椭圆的第二定义隐含着条件、椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外定点在定直线外”，否则动点，否则动点 轨迹不存在。隐含着离心率轨迹不存在。隐含着离心率e e的几何意义。的几何意义。22ac两准线间距离两准线间距离 证明证明1:设左设左,右焦

5、点分别是右焦点分别是F1(-c,0).F2(c,0),则则F1P(x0,y0)xyabxyabaex问题 求证椭圆上任意一点与焦点所连两条线段的长分别为2222000022220 0.：.：+=1(0)P(,)+=1(0)P(,).22100|PFxcy2222002axxcba2220022cxcxaa0|caxa0,axa 00caxaca 10,|PFaex12|2PFPFa又200|2()PFaaexaexF2r1r2焦半径焦半径1212(,0)(,0)()()xyxyababrrccraexraex12是椭圆上任意一点，、分别是 与点F、F的距离，那椭圆的焦半径公式么左，右：设焦半径

6、焦径。半2222000022220000P(,)+=1(0)P(,)+=1(0)P P222100()PFxcy222200()PFxcy221204PFPFcx122PFPFa又100200cPFaxaexacPFaxaexa推导方法二：推导方法二：0121222cxPFPFaPFPFa即即(左焦半径左焦半径),(右焦半径右焦半径)01exar02exarF2F1oxyPMN1020()()PFaeyPFaey下焦半径上焦半径F2PNoxyF11020()()PFaexPFaex左焦半径右焦半径2222(1)1(0)xyabab2222(2)1(0)yxabab椭圆焦半径公式的两种形式与焦点

7、位置有关，椭圆焦半径公式的两种形式与焦点位置有关，可以记忆为可以记忆为“左加右减，下加上减左加右减，下加上减”.1、证明椭圆 上任意三点的横坐标成等差数列，则它们的焦半径也成等差数列。22221(0)xyabab x1 o x2 F2 x3 xP1P2P3y证明:因为 x x1 1+x x3 3=2=2x x2 2所以|P|P1 1F F2 2|+|P|+|P3 3F F2 2|=2a-e(x1+x3)=2(a-ex2)=2|P2F2|2、已知椭圆已知椭圆 ，点，点 P(1，0)。(1)求过点求过点P，倾角为，倾角为45o的直线被椭圆截得的弦长。的直线被椭圆截得的弦长。2212xy(2)椭圆的

8、长轴椭圆的长轴100等分，过每个分点作长轴等分，过每个分点作长轴A1A2的垂线的垂线 交椭圆的上半部于交椭圆的上半部于B1、B2、B99，求求:|A1P|+|B1P|+|B2P|+|B99P|+|A2P|【分析分析】(1)先判断点先判断点P是否焦点是否焦点因为因为a2=2，b2=1，所以，所以c=1点点P是右焦点，所求的弦是焦点弦是右焦点，所求的弦是焦点弦AB。PxoyAB22121xyyx由2340 xx122()ABae xx2 44 22 22332、已知椭圆已知椭圆 ，点，点 P(1，0)。(2)椭圆的长轴椭圆的长轴100等分，过每个分点作长轴等分，过每个分点作长轴A1A2的垂线的垂线

9、 交椭圆的上半部于交椭圆的上半部于B1、B2、B99，求求:|A1P|+|B1P|+|B2P|+|B99P|+|A2P|PA1A2xoB1B2B99【分析分析】(2)“等分长轴等分长轴”,分点的横坐标依次组成一个等差数列分点的横坐标依次组成一个等差数列 它们对应的焦半径它们对应的焦半径|A1P|,|B1P|,|B2P|,|B99P|,|A2P|也组成也组成一个等差数列一个等差数列,首项是首项是a+c,最后一项是最后一项是a-c101()()101101101 22acacSa2212xy项数为项数为101项。项。3、椭圆、椭圆 ，其上一点，其上一点 P(3,y)到两焦点的距离到两焦点的距离 分

10、别是分别是 和和 ，求椭圆方程，求椭圆方程.22221xyab13272解：由椭圆的焦半径公式，得解：由椭圆的焦半径公式，得1332732aeae512ae222575,24cbac所求椭圆方程为所求椭圆方程为 17542522yx F 2 F 1 P O 1 A 2 A 1 x O y4、设、设P是以是以O为中心的椭圆上任意一点，为中心的椭圆上任意一点，F2为右焦点，为右焦点，求证：以线段求证：以线段F2P为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切.22221(0)xyabab证明：设椭圆方程为证明：设椭圆方程为焦半径焦半径F2P是圆是圆O1的直径的直径2211

11、2222PFaPFPFaOO则由两圆半径之差等于圆心距两圆半径之差等于圆心距 所以，以线段所以，以线段F2P为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切。为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切。大题不可用第二定义225441.xyPP、椭圆上点到右焦点的距离为，求点到左准线的距离解：解：原方程化为1422 yxylx l.F2F 1OP，、为到左、右准线距离分别设ddPedPF|2则31222bacba，dePFd|223132d两准线间的距离)(22caca34238.3236 dcax2cax2由椭圆的第二定义得：解解2：原方程化为1422 yxylx l.F2F 1OP31222bacba，d.3

12、236 dcax2231 edPF225441.xyPP、椭圆上点到右焦点的距离为，求点到左准线的距离由椭圆的第一定义得：3|2|21PFaPF由椭圆的第二定义得：22(2,3),11612|2|xyAFMMAMFM6、已知定点点 为椭圆的由右焦点，点在椭圆上移动，求的最小值及相应的坐标。ylx l.FOAM解：解：ddM到椭圆右准线的距离为设点由椭圆的第二定义得：21|acedMFdMAMFMA|2|最小时，如图，当dMAlMA|10)|(|2minAxcadMA)3,32(M此时1221211222227(4,0),(4,0)|10,(,),(,)|,|,|123FFFxBFBF BA x

13、 yC xyF AF BF CACACykxmm、已知椭圆焦点，过作垂直于 轴的直线与椭圆的一个焦点为，且是椭圆上不同的两点，且成等差数列，（）求椭圆方程；（）求弦的中点横坐标；（）设的中垂线为，求 的范围。xy.F2F1O.BAC)0(,12222babyax解：设椭圆方程为35,4bac192522yx椭圆方程为：425x)425(54|),425(54|)2(2212xCFxAF由椭圆第二定义得：1221211222227(4,0),(4,0)|10,(,),(,)|,|,|123FFFxBFBF BA x yC xyF AF BF CACACykxmm、已知椭圆焦点，过作垂直于 轴的直

14、线与椭圆的一个焦点为，且是椭圆上不同的两点，且成等差数列，（）求椭圆方程；（）求弦的中点横坐标；（）设的中垂线为，求 的范围。xy.F2F1O.BAC425x)425(54|),425(54|)2(2212xCFxAF)4425(542)425(54)425(5421xx516221xx516中点横坐标为AC),516()3(0yAC中点坐标为设mky5160则1221211222227(4,0),(4,0)|10,(,),(,)|,|,|123FFFxBFBF BA x yC xyF AF BF CACACykxmm、已知椭圆焦点，过作垂直于 轴的直线与椭圆的一个焦点为，且是椭圆上不同的两点，且成等差数列，（）求椭圆方程；（）求弦的中点横坐标；（）设的中垂线为，求 的范围。xy.F2F1O.BAC425x),516()3(0yAC中点坐标为设mky5160则相减：由1925192522222121yxyx21212121259yyxxxxyy05162591yk即1691250ykmyy16912551600my1690 xy.F2F1O.BAC425xmy1690在椭圆内中点又),516(0yAC19)169(25)516(22m254116254116m