2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 24 页 2020 届百校联盟届百校联盟 TOP20 高三上学期高三上学期 11 月联考数学（理）试月联考数学（理）试 题题 一、单选题一、单选题 1复数复数 3 1 21 12 ii i 的模为（的模为（ ） A1 B3 C5 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意， 3 121121 1212 iiii ii (12 )(1)1 22 iii 31 22 ii 2i， 所以 22 |2|215i . 故选：C. 【点睛】 本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题. 2集合集合 |3Ax x

2、， 2 2 |log2,Bx yxxxR，则，则 AB （ ） A | 0x x B |23 0xxx或 C |2 3xx D |03xx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】对集合B进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】 因为 2 2 |log2,Bx yxxxR 2 |20,xxxxR |02,xxxR， 因为集合 |3Ax x 第 2 页 共 24 页 所以 |23 0 AB xxx或. 故选：B. 【点睛】 本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题. 3已知向量已知向量(3,4)a ，则实数，则实数1是是| 5a的（的（ ） A充分而不必要条件充

3、分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先求出a r ，然后分别判断由1能否得到| 5a，和由| 5a能否得到 1，从而得到答案. 【详解】 因为向量(3,4)a ，所以 22 345a 因为1，所以可得5aa， 所以1是| 5a的充分条件. 因为| 5a，所以| 5a | 1即1 . 所以1是| 5a的不必要条件. 综上所述，实数1是| 5a的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4已知函数已知函数

4、 3 2 ,0 ( ) log,0 xx g x xx ，则不等式，则不等式( )1g x 的解集为（的解集为（ ） A(0,2) B( ,2) C( 1,2) D(1,2) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】按0x和0x ，分别解不等式 1g x ，从而得到答案. 【详解】 第 3 页 共 24 页 根据题意， 3 2 ,0, ( ) log,0, xx g x x x ， 由不等式( )1g x 得 3 1 0 x x 或 2 log1 0 x x ， ， 所以10x 或02x. 即12x 所以不等式( )1g x 的解集为( 1,2). 故选：C. 【点睛】 本题考查解分段函数不等式，

5、解对数不等式，属于简单题. 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 A43 B23 C 3 2 3 D 3 4 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥EABC和三棱锥 EACD两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出 几何体的体积. 【详解】 该几何体的直观图如下图， 第 4 页 共 24 页 平面ACD 平面ABC，DE平面ABC， ACD与ACB均是边长为2的等边三角形，2BE ， 点E在平面ABC上的射影落在A

6、BC的平分线上， 所以DE 平面ACD， 所以 1 31 3 E ABCABC VS ， 1 3 E ACDACD VSDE 1 3 ( 3 1) 3 3 1 3 ， 所以几何体的体积为 3 2 3 . 故选：C. 【点睛】 本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6函数函数 1 ( ) 1 x f x x 的图象在点的图象在点(3,2)处的切线与函数处的切线与函数 2 ( )2g xx的图象围成的封的图象围成的封 闭图形的面积为（闭图形的面积为（ ） A 11 12 B 33 16 C 35 16 D 125 48 【答案】【答案】D 【解析】【解析】对 f x求导

7、， 利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与 g x的 交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】 由题意， 2 2 ( ) (1) fx x ， 2 21 (3) (3 1)2 f ， 所以切线方程为270xy， 与 2 ( )2g xx的交点横坐标为 1 3 2 x ， 2 1x . 第 5 页 共 24 页 故封闭图形的面积 1 3 2 2 7 2 22 x Sxdx 3 1 2 223 1 3 2 3311 d 22243 x xxxxx 125 48 故选：D. 【点睛】 本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中 档

8、题. 7已知数列满足已知数列满足 1 1a ， 1 21 nn aa ，设数列，设数列 2 log1 n a的前的前 n 项和为项和为 n S，若，若 12 111 n n T SSS ，则与，则与 9 T最接近的整数是（最接近的整数是（ ） A5 B4 C2 D1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据递推关系式 1 21 nn aa ，得到 1 1 2 1 n n a a ，得到1 n a 的通项，从而 得到 2 log1 n a的通项和前n项和 n S，从而求出 n T，再得到 9 T，从而得到答案. 【详解】 由题意， 1 12221 nnn aaa ， 所以 1 1 2 1 n n

9、 a a ， 所以 n a为以 1 12a 为首项，2为公比的等比数列， 所以 1 1 11 2n n aa 2n ， 因此 2 log1 n an， 数列 2 log1 n a的前 n 项和为 (1) 2 n n n S ， 1211 2 (1)1 n Sn nnn ， 12 111 n n T SSS 第 6 页 共 24 页 11111 2 1 2231nn 1 2 1 1n 所以 9 9 5 T . 所以与 9 T最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】 本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n项和公式，裂项相消法求数列的和，属于 中档题. 8已知函数已知函数 2 211,1 ( )

10、1, 1 x x f x x x x ，若函数，若函数( )( )g xf xm有两个零点，则实数有两个零点，则实数 m 的取值范围为（的取值范围为（ ） A2,) B( 1,0) (2,) C( 1,2 D( 1,0) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 画出 yf x的图像， 然后得到 yf x的图像和y m 的图像有两个交点， 从而得到m的取值范围. 【详解】 根据函数 2 211,1 ( ) 1, 1 x x f x x x x ， 画出 ( )f x的图象如图所示， 函数( )( )g xf xm有两个零点 则函数( )yf x的图象与y m 的图象有 2 个交点， 所以10m ，

11、 第 7 页 共 24 页 所以实数m的取值范围为( 1,0). 故选：D. 【点睛】 本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9如果函数如果函数 2 1 ( )(2)1 2 f xmxnx(0,0)mn的单调递增区间为的单调递增区间为1,)， 则则 14 mn 的最小值为（的最小值为（ ） A 9 2 B2 C1 D 3 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 f x单调递增区间为1,)，得到对称轴方程 2 1 n m ，即2mn， 再根据基本不等式求出 14 mn 的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数 2 1 ( )(2)1 2 f xmxnx(0,0)mn的单调递增区

12、间为1,) 所以对称轴为： 2 1 n m ，即2mn， 所以 14114 () 2 mn mnmn 14 5 2 mn nm 14 (52) 2 m n nm 9 2 ， 当且仅当 2 , 3 m 4 3 n 时，等号成立. 故选：A. 【点睛】 本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于 简单题. 10已知已知 3 sin(), 1223 则则sin(2 ) 6 （ ） A 7 10 B 7 10 C 7 9 D 7 9 【答案】【答案】C 第 8 页 共 24 页 【解析】【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】 2 1 cos()1 2s

13、in () 61223 , (2)cos(2)cos(2 ) 6263 sin 2 7 2() 1 69 cos ,故选 C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系， 再利用三角恒等变换公式求解. 11如图，在三角形如图，在三角形ABC中，中，AC上有一点上有一点D满足满足4BD ，将，将ABD沿沿BD折起使折起使 得得5AC ，若平面，若平面EFGH分别交边分别交边AB，BC，CD，DA于点于点E，F，G，H， 且且AC平面平面EFGH，BD平面平面EFGH则当四边形则当四边形EFGH对角线的平方和取最小对角线的平方和取最小 值时，值时， DH

14、 DA （ ） A 1 4 B 16 41 C 20 41 D 32 41 【答案】【答案】B 【解析】【解析】易得HGAC，EFAC，设 DHGH k DAAC ， 易得EHBD，FGBD， 得1 AHEH k DABD ，从而得到5GHk，4(1)EHk，平行四边形EFGH中， 222 2 413216EGHFkk，从而得到 22 EGHF 最小时的k值，得到答案. 【详解】 AC平面EFGH，AC 平面ACD， 平面ACD平面EFGHHG， 所以ACHG，同理ACEF 设 DHGH k DAAC (01)k， 第 9 页 共 24 页 BD平面EFGH，BD 平面ABD， 平面ABD平面

15、EFGHHE， 所以BDHE，同理FGBD 所以1 AHEH k DABD ， 因为4BD ，5AC 所以5GHk，4(1)EHk， 在平行四边形EFGH中， 2222 2 2516(1)EGHFkk 2 2 413216)kk， 又01kQ， 当 16 41 k 时， 22 EGHF 取得最小值. 故选：B. 【点睛】 本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中 档题. 12 定义在 定义在R上的函数上的函数 ( )f x满足 满足(2)( )0f xf x，(2018)2f， 任意的， 任意的1,2t， 函数函数 32 (2) ( )(2) 2 fm g

16、xxxf x 在区间在区间( ,3)t上存在极值点， 则实数上存在极值点， 则实数 m 的取值的取值 范围为（范围为（ ） A 37 , 5 3 B( 9, 5) C 37 , 9 3 D 37 , 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据(2)( )0f xf x得到 f x周期为4，再求得 220182ff， 得到 g x，求导得到 gx ，判断出 0gx 的两根一正一负，则 g x在区间( ,3)t 上存在极值点，且1,2t，得到 gx 在,3t上有且只有一个根，从而得到关于t的 不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m不等式组，解得m的范围. 【详解】 由题意知，(2)( )f

17、xf x ， 第 10 页 共 24 页 (4)( )f xf x， 所以 ( )f x是以 4 为周期的函数， (2018)(2)2ff， 所以 32 2 ( )2 2 m g xxx x 32 22 2 m xxx ， 求导得 2 ( )3(4)2g xxmx， 令( )0g x ， 2 3(4)20xmx， 2 (4)240m ， 由 12 2 0 3 x x ， 知( )0g x 有一正一负的两个实根. 又1,2,t( ,3)xt， 根据( )g x在( ,3)t上存在极值点， 得到( )0g x 在( ,3)t上有且只有一个正实根. 从而有 ( )0 (3)0 g t g ，即 2

18、3(4)20 27(4) 320 tmt m 恒成立， 又对任意1,2t，上述不等式组恒成立， 进一步得到 2 3 1 1 (4)20, 3 22 (4)20, 273 (4)20, m m m 所以 5 9 37 3 m m m 故满足要求的m的取值范围为： 37 9 3 m . 故选：C. 【点睛】 本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和 保号性，属于中档题. 第 11 页 共 24 页 二、填空题二、填空题 13在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，为坐标原点， ( 1,1)A ， (0,3)B ， (3,0)C ， 3BDDC ，

19、 则则OA OD _. 【答案】【答案】 3 2 【解析】【解析】将 3BDDC 转化为3()ODOBOCOD，从而得到OD uuu r 的坐标，然后 根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】 因为 3BDDC ，所以3()ODOBOCOD， 所以 1 3 4 ODOCOB 9 3 , 4 4 ， 1,1OA 所以 93 44 OA OD 3 2 . 故答案为： 3 2 . 【点睛】 本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题. 14已知已知 x，y 满足不等式组满足不等式组 0,0 10 240 xy xy xy ，则，则 1 1 y z x 的最小值为的最小值为_.

20、 【答案】【答案】 1 3 【解析】【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点( , ) x y与点( 1, 1) 两点连线的 斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】 因为已知 x，y 满足不等式组 0,0 10 240 xy xy xy ， 画出可行域，如图所示， 1 1 y x 表示点( , ) x y与点( 1, 1) 两点连线的斜率， 第 12 页 共 24 页 所以可得当直线过点A时，z最小， 由 0 240 y xy 得 2, 0, x y 所以z的最小值为 0 11 2 13 . 故答案为： 1 3 . 【点睛】 本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于

21、简单题. 15如图，底面如图，底面ABCD为正方形，四边形为正方形，四边形DBEF为直角梯形，为直角梯形，DBEF，BE 平平 面面ABCD，2ABBE，2BDEF，则异面直线，则异面直线DF与与AE所成的角为所成的角为_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】设正方形ABCD的中心为O，可得OEDF，得到直线DF与AE所成角为 AEO（或其补角） ，根据余弦定理，可得cosAEO的值，从而得到答案. 【详解】 如图， 设正方形ABCD的中心为O，连接AO，EO， 则 1 2 ODBD 因为DBEF，2BDEF 第 13 页 共 24 页 所以EFOD，EFOD 所以DFEO为平行四边形，

22、所以OEDF， 所以直线DF与AE所成角等于OE与AE所成的角，即AEO（或其补角） ， 因为2 2,AE 2,OA6OE ， 在三角形AEO中，根据余弦定理，可知 222 3 cos 22 EOEAAO AEO EO EA ， 所以 6 AEO . 故答案为： 6 . 【点睛】 本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题. 16已知函数已知函数( )4cossin 3 3 f xxx (0)在区间在区间, 6 3 上有最小值上有最小值 4 f ，无最大值，则，无最大值，则_. 【答案】【答案】 7 3 【解析】【解析】先对 f x进行整理，得到 2sin 2 3 f xx ，根据最小值 4

23、 f ， 得到 7 4 3 k，然后根据 f x在区间, 6 3 无最大值，得到周期的范围，从而得 到的范围，确定出的值. 【详解】 ( )4cossin3 3 f xxx 13 4cossincos3 22 xxx 2 2sincos3 2cos1xxx sin23cos2xx 第 14 页 共 24 页 2sin 2 3 x ， 依题意，则 3 22, 432 k kZ， 所以 7 4 3 k()kZ. 因为 ( )f x在区间, 6 3 上有最小值，无最大值， 所以 342 ，即6， 令0k ，得 7 3 . 故答案为： 7 3 . 【点睛】 本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦

24、型函数的最值和周期求参数的值，属 于中档题. 三、解答题三、解答题 17已知递增的等比数列已知递增的等比数列 n a的前的前 n 项和为项和为 n S， 14 9aa， 23 8a a . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 n n S的前的前 n 项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1） 1 2n n a - =； （2） 1 (1) (1) 22 2 n n n n Tn 【解析】【解析】 （1）根据等比数列 2314 8a aa a，解出 1 a和 4 a的值，从而得到公比q，得到 n a的通项公式； （2）根据（1）得到 n S，再利用错位

25、相减法和分组求和的方法求出 n n S的前 n 项和 n T. 【详解】 （1）由题意， 14 2314 9, 8, aa a aa a 解得 1 1,a 4 8a 或 1 8,a 4 1a ； 而等比数列 n a递增，所以 1 1,a 4 8a ， 第 15 页 共 24 页 故公比 4 3 1 2 a q a =，所以 1 2n n a - =. （2）由（1）得到12 n S 1 221 nn ， 所以 * 21 n n Sn 2nnn ， 23 1 22 23 2 n T 2(12 n n )n， 设 23 1 22 23 2t 2nn ， 234 21 22 23 2t 1 2nn

26、， 两式相减可得， 23 222t 1 22 nn n 1 2 1 2 2 1 2 n n n 故 1 (1) 22 n tn ， 所以 1 (1) (1) 22 2 n n n n Tn . 【点睛】 本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n项的 和，属于简单题. 18已知函数已知函数 32 1 ( ) 3 f xxaxbx(), a bR在区间在区间( 1,2)上为单调递减函数上为单调递减函数. （1）求）求ab的最大值；的最大值； （2）当）当2ab时，方程时，方程 2 135 ( ) 32 b f xx 有三个实根，求有三个实根，求b的取值范围的取值范围

27、. 【答案】【答案】 （1） 3 2 ； （2） 12 3, 5 【解析】【解析】 （1）先求得 fx ，根据 ( )f x在区间( 1,2) 上为减函数，得到 ( 1)0 (2)0 f f 在 区间( 1,2)上恒成立，从而得到关于a，b的约束条件，画出可行域，利用线性规划， 得到ab的最大值； （2）根据2ab，得到b的范围，设 2 135 ( )( ) 32 b h xf xx ，求导得到 h x ，令 0h x 得到xb或1x ，从而 得到 h x的极值点，根据 h x有3个零点，得到b的不等式组，解得b的范围. 【详解】 （1） 2 ( )2fxxaxb， 第 16 页 共 24 页

28、 因为 ( )f x在区间( 1,2) 上为减函数， 所以 ( 1)0 (2)0 f f 在区间( 1,2)上恒成立 即 120, 440, ab ab ， 画出可行域如图所示： 设zab，所以baz ， z表示直线l，b az 在纵轴上的截距. 当直线: l baz 经过A点时，z最大， 由 120, 440, ab ab 所以 1 2 a ，2b 故zab的最大值为 13 2 22 . （2）由2ab得2ab 代入 120, 440, ab ab 可得 12 3 5 b ， 令 2 135 ( )( ) 32 b h xf xx 32 111 323 b xxbx ， 故由 2 ( )(1

29、)h xxbxb(1)()0xxb， 得xb或1x ， 所以得到( )h x和( )h x 随 x 的变化情况如下表： 第 17 页 共 24 页 x (, )b b ( ,1)b 1 (1,) ( )h x 0 0 ( )h x 极大值 32 111 623 bb 极小值 1 2 b 要使( )h x有三个零点， 故需 32 111 0, 623 1 0, 2 bb b 即 2 (1)220, 1, bbb b 解得13b ， 而 12 13 5 所以b的取值范围是 12 3, 5 . 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范 围，根据函数零点个

30、数求参数的取值范围，属于中档题. 19已知已知ABC的内角的内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b ，c满满足足 coscos 2cos c aBbA C ，且，且BC边上一点边上一点P使得使得PAPC . （1）求角）求角C的大小；的大小； （2）若）若3PB ， 3 57 sin 38 BAP，求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1） 3 C ； （2） 5 3 2 【解析】【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cosC的值，从而得到C的 值； （2）根据条件得到APC为等边三角形，从而得到 2 3 APB ，根据正弦定理， 得到AB的值，根据余弦定理，

31、得到AP的长，根据三角形面积公式，得到答案. 第 18 页 共 24 页 【详解】 （1）因为coscos 2cos c aBbA C 在ABC，由正弦定理 sinsinsin abc ABC 所以得2cos(sincossincos )CABBAsinC. 所以2cos sin()sinCABC. 即2cos1C 所以 1 cos 2 C ， 因为0,C，所以 3 C （2）由（1）知 3 C ，而PAPC APC为等边三角形. 由于APB是APC的外角， 所以 2 3 APB . 在APB中，由正弦定理得2 sin sin 3 PBAB BAP ， 即 3 2 3 57 sin 3 38

32、AB ，所以19AB . 所以由余弦定理得， 222 2co 2 3 sABPAPBPA PB ， 即 2 1993PAPA ， 所以2PA ， 故235BC ，2AC ， 所以 1135 3 sin2 5 2222 ABC SCA CBC . 【点睛】 本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于 简单题. 20 如图， 在四棱锥 如图， 在四棱锥 1 AABCD中， 底面中， 底面ABCD为直角梯形，为直角梯形， 90BAD ，AB DC， 2DCAB24AD， 1 2AA ，且，且O为为BD的中点，延长的中点，延长AO交交CD于点于点E， 第 19 页 共

33、 24 页 且且 1 A在底在底ABCD内的射影恰为内的射影恰为OA的中点的中点H，F为为BC的中点，的中点，Q为为 1 AB上任意一点上任意一点. （1）证明：平面）证明：平面EFQ 平面平面 1 AOE； （2）求）求平面平面 1 AOE与平面与平面 1 ADC所成锐角二面角的余弦值所成锐角二面角的余弦值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 5 【解析】【解析】（1） 根据 1 AH 平面 ABCD， 得到 1 AHEF， 由平面几何知识得到EF AE， 从而得到EF 平面 1 AOE，所以所以平面EFQ 平面 1 AOE； （2）以O为原点建立 空间直角坐标系，得到平面

34、1 ADC和平面 1 AOE的法向量，利用向量的夹角公式，得到 这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】 （1）由题意，E 为 CD 的中点， 因为 1 AH 平面 ABCD，EE 平面 ABCD， 所以 1 AHEF，又因为DB EF， ABAD，OBOD， 所以AE垂直平分BD， 所以DEBE 又因ABDE，90BAD 所以ADEB为正方形， 所以DEECAB 因为F为BC的中点， 所以EFBD 而DBAE，所以EFAE， 又 1 AHAEH，所以EF 平面 1 AOE， 又EF 平面EFQ， 第 20 页 共 24 页 所以平面EFQ 平面 1 AOE. （2）因为 1 A在底面 A

35、BCD 内的射影恰为 OA 的中点 H， 所以 112 242 OHOABD . 因为ABAD，所以过点 O 分别作 AD，AB 的平行线（如图） ， 并以它们分别为 x，y 轴， 以过 O 点且垂直于xOy平面的直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以( 1, 1,0)A ，( 1,1,0)B ，(1,3,0)C，(1, 1,0)D， 1 116 , 222 A ， 所以 1 316 , 222 AD ， 1 3 76 , 2 22 AC ， 设平面 1 ADC的一个法向量为( , , )nx y z， 则 1 1 0 0 n AD n AC ，所以 316 0 222 376

36、 0 222 xyz xyz 令6z ，则(2,0, 6)n ， 由（1）知，BD 平面 1 AOE，所以OD 平面 1 AOE， 所以(1, 1,0)OD 为平面 1 AOE的一个法向量， 则 |25 |cos,| 5|102 n OD n OD n OD . 故平面 1 AOE与平面 1 ADC所成锐二面角的余弦值为 5 5 . 【点睛】 本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值， 第 21 页 共 24 页 属于中档题. 21已知函数已知函数 1 ( )1ln 1 mx f xx x (0)m 与满足与满足()2( )gxg x()xR的函数的函数 (

37、)g x具有相同的对称中心具有相同的对称中心. （1）求）求 ( )f x的解析式； 的解析式； （2）当）当(, xa a ，期中，期中(0,1)a，a是常数时，函数是常数时，函数 ( )f x是否存在最小值若存在， 是否存在最小值若存在， 求出求出 ( )f x的最小值；若不存在，请说明理由； 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若）若(21)(1)2faf b，求，求 22 21 1 ab ab 的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1） 1 ( )1ln 1 x f xx x ； （2） 1 1ln 1 a a a （3） 9 4 【解析】【解析】 （1）根据 g x关于0,1对

38、称，从而得到 2f xfx，整理化简，得 到m的值； （2）判断出 f x的单调性，得到当(0,1),a(, xa a 时， ( )f x单调递 减，从而得到 f x最小值； （3）由(21)(1)2faf b得到a，b关系，然后将 22ba代入到 22 21 1 ab ab ，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】 （1）因为()2( )gxg x，所以()( )2gxg x， 所以( )yg x图象关于(0,1)对称， 所以 11 ( )()1ln1ln 11 mxmx f xfxxx xx 22 2 1 2ln2 1 m x x 所以 22 2 1 1, 1 m x x 0m 解得1m

39、， 所以 1 ( )1ln 1 x f xx x . （2） ( )f x的定义域为( 1,1) ， 1 ( )1ln 1 x f xx x 2 1ln1 1 x x ， 当 12 xx且 12 ,( 1,1)x x 时，( )f x为减函数， 第 22 页 共 24 页 所以当(0,1),a(, xa a 时， ( )f x单调递减， 所以当x a 时， min 1 ( )1ln 1 a f xa a . （3）由(21)(1)2faf b， 得 2110, 121 1, 11 1, ab a b 解得01,a02,b22ab， 所以 22222 2121 1(1) aba babba ab

40、ab 21 (1) ba ab 2 53 2 1 a a 令5 3ta ，则 5 , 3 t a (2,5)t， 22 539 2 121016 at att 9 16 210t t 99 416 2(210)t t 当且仅当4t 时，等号成立， 即当 1 3 a ， 4 3 b 时， 22 21 1 ab ab 的最小值为 9 4 . 【点睛】 本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的 最小值，属于中档题. 22已知函数已知函数 1 ( )ln 2 f xmxx()mR，函数，函数( )F x的图象经过的图象经过 1 0, 2 ，其导函数，其导函数 ( )

41、F x 的图象是斜率为的图象是斜率为 a ，过定点，过定点( 1,1)的一条直线的一条直线. （1）讨论）讨论 1 ( )ln 2 f xmxx()mR的单调性；的单调性； （2）当）当0m 时，不等式时，不等式( )( )F xf x恒成立，求整数恒成立，求整数a的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1）当0m时， ( )f x在(0,)上为减函数； 第 23 页 共 24 页 当0m 时， ( )f x在 1 0, m 上为减函数，在 1 , m 上为增函数. （2）2 【解析】【解析】对 f x求导，得到 fx ，按0m和0m 进行分类讨论，利用导函数的 正负，得到 f x的单调性； （2）根据题意先得到( )F x ，然后得到 F x的解析式