小学五年级奥数—植树问题中的方阵问题解析课件.ppt

1、植树问题中的方阵问题难题解析2目目录录1234空心方阵问题空心方阵问题实心方阵问题实心方阵问题长方形阵列问题长方形阵列问题三角形阵列问题三角形阵列问题3知知识识点点1.植树问题，要理解全长、间距(棵距)长度、棵数、间距数四种量的具体含义。爬楼梯、锯木头、钟表声音的停顿等数学问题都可以转化为植树问题来解答。3.解答这类问题，要仔细看清楚题目，是直线型还是环型。如果是直线型，要弄清楚是路的一边栽树，还是路的两边栽树；区分是两端都栽树、一端不栽还是两端都不裁。2.植树问题通常有直线型和环型两大类型。直线型分为三种情况:(1)两端都有。棵数比间距数多1；(2)一端没有，棵数与间距数相同；(3)两端都没

2、有，棵数比间距数少1。环型：间距数与棵数相等。1.四年级参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数是32人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？5解解析析实心方阵数学中一个重要的数量关系式：方阵总人数=最外层每边人数最外层每边人数最外层的人数=最外层每边人数4-4（最外层的四个红点重复计算，所以要减去。）注：虽然这个公式可以化解得更简单，但这个公式学生更容易理解和记忆。方阵是一部分人或物排列成正方形队列的形式。方阵分为实心方阵和空心方阵。方阵中最外层的4个红点既是行上的点，也是列上的点。6最外层的人数=每边人数4-4每边人数=（最外层的人数+4）4方阵最外层一周的人数是32

3、人。（32+4）4=9（人）方阵的每行有9人，每列也有9人，行数（或列数）为9。方阵最外层每边的人数是9人。99=81（人）方阵共有81人。72.某小学四年级原准备排成个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉31人，问四年级原来准备多少人参加表演?8解解析析方阵横竖各减少一排，减少的人数=每边人数2-1（1个红点重复计算，所以要减去。）方阵横竖各减少一排，去掉31人。每边人数=（减少的人数+1）2（31+1）2=16方阵每行有16人，每列也有16人，每边人数为16。1616=256（人）四年级原来准备256人参加表演。93.学校体操队排成方阵进行表演，最外围的

4、一圈有队员64人，如果在这圈的外围再增加一圈队员以扩大方阵，需要增加多少人？这时整个方阵共有多少人？10解解析析每向里一层，每边的个数都要在上一层的基础上减去2。实心方阵数学中一个重要的数量关系式：方阵总人数=行数列数每层的总个数=这层的每边个数4-411最外围的一圈有队员64人。每层的总人数=这层的每边人数4-4这层的每边人数:(64+4)4=17(人)这层的每边人数：17人在这圈的外围再增加一圈队员。最外层新增队员个数：194-4=72（人）新增外层每边的队员个数：17+2=19（人）这时整个方阵最外层的每边人数是19人，方阵共有人数：1919=361（人）121.小明用玻璃珠摆成一个三层

5、空心方阵，如果最外层每边有玻璃珠19颗，小明摆这个方阵最里层一周共有多少颗玻璃珠？摆这个三层空心方阵共用了多少颗玻璃珠？13解解析析空心、实心方阵每层的个数是一样的，每层的总个数=这层的每边个数4-4三层空心方阵每向里一层，每边的个数比外一层的每边的个数少2。空心方阵的总数=每层的总个数相加中间层的总个数：174-4=64（颗）三层空心方阵中间层每边有玻璃珠：19-2=17（颗）14每层的总个数=这层的每边个数4-4三层空心方阵最外层每边有玻璃珠19颗。最外层的总个数：194-4=72（颗）三层空心方阵共有：72+64+56=192（颗）三层空心方阵最里层每边有玻璃珠：17-2=15（颗）最里

6、层的总个数：154-4=56（颗）+152.由252名学生组成一个三层的中空方阵，求最外层共有多少名学生？求最外层每边有多少人？16解解析析每层的总个数=这层的每边个数4-4每向里一层，每边的个数都要在上一层的基础上减去2。最外层的总个数=最外层的每边个数4-4次外层的总个数=次外层的每边个数4-4 =（最外层的每边个数-2）4-4 =最外层的每边个数4-24-4 =最外层的每边个数4-4-8每向里一层的总个数，都要比外一层的总个数少8。17252名学生组成一个三层的中空方阵最外层-8=中间层 中间层-8=最里层 每向里一层的总个数，都要比外一层的总个数少8。中间一层的人数：2523=84（人

7、）根据平均数的计算方式最外层的人数：84+8=92（人）（92+4）4=24（人）最外层的每边个数是24人。这层的每边个数=(每层的总个数+4)4183.设计一个团体操表演队形，想排成一个空心方阵，最内层要24人，最外层要48人，这个表演队形一共需要多少人？一个中空方阵，最内层要24人，最外层要48人。方阵每相邻两层总人数相差8人。次外层的人数：48-8=40（人）48248884032再向里一层的人数：40-8=32（人）继续向里一层的人数：32-8=24（人）已经到最内层了。一共有四层，四层总人数：48+40+32+24=144（人）解解析析方法一：（48-24）8=3（个）空心方阵最外层

8、到最内层一共有3个间隔,4层。空心方阵，最内层要24人，最外层要48人，方阵每相邻两层总人数相差8人。方法二：中间两层人数和=最外层的人数-8+最内层的人数+8=最外层的人数+最内层的人数总人数：（48+24）2=144（人）4824888?这个表演队形一共需要144人。一个中空方阵，最内层要24人，最外层要48人。最内层每边的人数：（24+4）4=7（人）使用公式求解：大实心方阵小实心方阵总数蓝色的大方阵人数-橙色的小方阵人数=空心方阵总人数方法三：每层的总个数=这层的每边个数4-4最外层每边的人数：（48+4）4=13（人）大实心方阵的总人数：1313=169（人）空心方阵最内层每边的人数

9、：7人绿色的小方阵人数：55=25（人）每向里一层，每边人数减少2人。绿色空心部分最外层人数：7-2=5（人）大实心方阵小实心方阵总数169-25=144（人）大实心方阵的总人数：1313=169（人）这个表演队形一共需要144人。234.一个团体操表演队形，排成4层的空心方阵，一共有400人参加，最外层和最内层每边应各排多少人？888?排成4层的空心方阵，一共有400人参加。解解析析中间两层人数和=最外层的人数+最内层的人数最外层和最内层的人数和：4002=200（人）最外层与最内层之间相差人数：83=24（人）最外层最内层最外层人数：(200+24)2=112（人）最内层人数：200-11

10、2=88（人）最内层人数：200-112=88（人）每边人数=（每层的人数+4）4(88+4)4=23（人）表演队形最内层每边应各排23人。最外层人数：(200+24)2=112（人）(112+4)4=29（人）表演队形最外层每边应各排29人。26知知识识点点1.空心、实心方阵中每层的总数、每边个数求解方法一样：每层的总个数=这层的每边个数4-4每层每边个数=（每层的个数+4）43.实心方阵总人数：方阵总人数=最外层每边个数最外层每边个数方阵最外层横竖各减少一排，减少的人数=每边个数2-1。2.无论是空心，还是实心方阵中，每向里一层，每边的个数都要在外一层的基础上减去2。每向里一层的总个数，都

11、要比外一层的总个数少8。4.实心方阵总人数：空心方阵的总数=每层的总个数相加空心方阵的总数=大实心方阵小实心方阵5.在空心方阵中，如果是奇数层，那么总个数层数=最中间一层的个数。如果是偶数层，那么具有以下的特点：对应两层的个数和是相等的，A=B=C=D285.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？29解解析析正方形升旗台在四周共放了40盆花每个角放一盆正方形升旗台（不包含四个角）四边共有：40-4=36（盆）每边（包括两个角）共有放花的盆数：9+2=11（盆）升旗台除四个角外，每边还有：364=9（盆）方法一：30正方形升旗台在四周共放了40盆花正方形升旗台

12、可以看作是只有一层的空心方阵，根据公式求解：每层的总个数=这层的每边个数4-4每边共有放花的盆数：（40+4）4=11（盆）这一层的总个数是40，那么40=这层的每边个数4-4方法二：1.在一块长方形草地的四周植树，共植树20棵，四个角都要植，问间隔有多少个？解解析析长方形草地共植树20棵。四个角都要植。20-4=16（棵）不考虑四个角，将16棵数分别种在长方形的长边和短边中。排除四角的四棵树，每边都可以看作是两端都不植树的直线型问题。两端都不植树，所以每边间隔数比树的数目多1。四条边的间隔数比树的总数目多4。16+4=20（个）间隔有20个。在封闭的图形中植树，顶点都栽，植树棵树=间隔数。3

13、32.学校“100周年”校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔2.8m装一盏投射灯，四个角都要装，一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少？解解析析长方形舞台一共安装了36盏投射灯。根据图可知，长边安装了11盏灯。舞台四个角都要装，长边可以看作是两端都植树的直线型问题。长方形舞台长边安装了11盏灯。两端都有灯，所以间隔数比灯数少1，共有10个间隔。舞台上方每隔2.8m装一盏投射灯。2.810=28（m）长方形舞台长边是28m。（36-10）2=8（个）长方形舞台每个短边有8个间隔。舞台上方每隔2.8m装一盏投射灯。2.88=22.4（m）长方形舞台短边是22.4m。2822.4=627.2（m2）

14、长方形舞台面积是627.2m2。在封闭的图形中植树，顶点都栽，植树棵树=间隔数长方形舞台一共有36个间隔。长方形舞台一共安装了36盏投射灯。根据图可知，长边看作是两端都植树的直线型问题，安装了11盏灯共有10个间隔。363.一个长是200m、宽是100m的长方形操场的外围每隔4m插有一面彩旗。现在要改为每相邻两面彩旗之间的距离为2.5m，且操场四个顶点处的彩旗保持不动，需要增加多少面彩旗?解解析析长是200m、宽是100m的长方形操场的外围每隔4m插有一面彩旗。操场四个顶点处都插有的彩旗。长方形操场的长边可以看作是两端都插彩旗的直线型问题。长方形操场的短边可以看作是两端都不插彩旗的直线型问题。

15、2004=50（个）操场长边一共有50个间隔。50+1=51（面）512=102（面）操场长边需要插102面彩旗。1004=25（个）操场短边一共有25个间隔。25-1=24（面）242=48（面）操场短边需要插48面彩旗。长方形操场的长边可以看作是两端都插彩旗的直线型问题。长方形操场长是200m，每隔4m插有一面彩旗。长方形操场的短边可以看作是两端都不插彩旗的直线型问题。长方形操场宽是100m，每隔4m插有一面彩旗。102+48=150(面)长方形操场一共需要插150面彩旗。现在要改为每相邻两面彩旗之间的距离为2.5m。2002.5=80（个）操场长边一共有50个间隔。80+1=81（面）8

16、12=162（面）操场长边需要插162面彩旗。1002.5=40（个）操场短边一共有40个间隔。40-1=39（面）392=78（面）操场短边需要插78面彩旗。162+78=240（面）长方形操场一共需要插240面彩旗。240-150=90（面）长方形操场一共需要增加90面彩旗。40工人们要在一块三角形的花圃一周种树，三个顶点各种一棵，每边是30棵树，两颗相邻的树间距是5m，这个三角形花圃的周长是多少米?解解析析花圃一周种树，三个顶点各种一棵，每边是30棵树。303-3=87（棵）花圃一周种树共种了87棵树。注：因为三个顶点的棵树重复计算，所以要减去。在封闭的图形中植树，顶点都栽，植树棵树=间隔数。方法一：三角形的花圃一共有87个间隔。两颗相邻的树间距是5m。875=435（m）这个三角形花圃的周长435m.三角形的花圃三个顶点各种一棵。转化为花圃的每条边只分得一个顶点。每边本来是30棵树，转化后每条边少一个顶点，也就少一个树。每边有：30-1=29（棵）三角形每条边都可以看作是一端植树，一端没有植树的植树问题。方法二：每边一共有29个间距。一端植树，一端没有植树的植树问题。棵数与间距数相同。每边是29棵树。两颗相邻的树间距是5m。每条边的长度：295=145（m）三条边的长度：1453=435（m）三角形花圃的周长是435m。44THANKS