活用反比例函数的性质和数形结合思想解题课件.ppt

1、 问题提出：九年级上册的数学课本中明确指出问题提出：九年级上册的数学课本中明确指出初中生会利用反比例函数的性质和图像解决某初中生会利用反比例函数的性质和图像解决某些实际问题。反比例函数的解析式和反比例函些实际问题。反比例函数的解析式和反比例函数的图像关于直角坐标系的原点成中心对称，数的图像关于直角坐标系的原点成中心对称，为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。把问题的数量关系转化为图形的性质，了条件。把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象杂的问题简单化

2、，抽象的问题具体化的问题具体化。问题提出：问题提出：九年级上册的数学课本中明确指出初中生会九年级上册的数学课本中明确指出初中生会利用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题。反比例利用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题。反比例函数的解析式、反比例函数的图象关于直角坐标系的原点函数的解析式、反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称、反比例函数解析式中常数成中心对称、反比例函数解析式中常数k的几何意义，为利的几何意义，为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。通过活用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。通过活用反比例函数的性质和数形结合思想解题，培养学生直觉用反比例函数的性质和

3、数形结合思想解题，培养学生直觉思维能力。思维能力。一、借助形的直观性来解决数学问题，一、借助形的直观性来解决数学问题，从从“形形”到到“数数”的思想的思想应用应用例例1 如图，设直线如图，设直线 y=kx(k0)与双曲线与双曲线 相交于相交于A（x1,y1)、B（x 2,y2)两点，求两点，求x1y2-3x2y1的值。的值。xy5正比例函数图象、反比例函数图象关于原点对称正比例函数图象、反比例函数图象关于原点对称此题所给的图形能直观地引发出直觉：此题所给的图形能直观地引发出直觉：点点A、点、点B关于原点对称关于原点对称解析解析：此题中的此题中的k是一个迷惑条件，排除是一个迷惑条件，排除k的干扰

4、才能的干扰才能顺利解答。解此性质题的切入点是图象的中心对称性。顺利解答。解此性质题的切入点是图象的中心对称性。由于由于y=kx的图象过原点，又因为双曲线的图象过原点，又因为双曲线 的图象的两个的图象的两个 分支关于原点分支关于原点中心对称，所以中心对称，所以A与与B是中心是中心对称点，即对称点，即x2=-x1 ,y2=-y1;x1y2-3x2y1 =x1(-y1)-3(-x1y1)=2x1y1=-10.xy5变式探究一变式探究一 （从从“形形”到到“数数”的思想应用）的思想应用）例例2 如图，函数如图，函数y=kx(k0)的图象与的图象与 的图象的图象交于交于P,C两点，过点两点，过点P作作P

5、B y轴，垂足为轴，垂足为B,求求BOC的面积。的面积。xy1yoxBPC解题思路：解题思路：（数）（数）直线直线y=kx(k 0)xy1双曲线（形）（形）关于原点成中心对称关于原点成中心对称P(x,y),C(-x,-y),B(0,y)21212121xyxyCEBOSBOC变式探究二变式探究二：（从（从“形形”到到“数数”的思想应用）的思想应用）例例 3 如图，如图，A,C是函数是函数 的的 图象图象 上关于上关于原点对称的任意两点，原点对称的任意两点，AB,CD垂直于垂直于x轴，垂足分轴，垂足分别为别为B、D,求四边形求四边形ABCD的面积。的面积。xy3解析：解析：A,C是反函数的是反函

6、数的 图象图象 上关上关于原点对称的任意两点，可设于原点对称的任意两点，可设A(x,y),C(-x,-y),则则B(x,0),D(-x,0).得得ABD的面积的面积=BCD的面积的面积最后求出最后求出四边形四边形ABCD的面积。的面积。3221xyyx3221xyyx变式探究三：变式探究三：例例4 已知正比例函数已知正比例函数 y=k1x与与y=k2x(k1k2)的图象分别与反比的图象分别与反比例函数例函数 的图象在第一象限内交于的图象在第一象限内交于A、B两点，并且两点，并且 ，求求 的值。的值。xy1OBOA 21kk Y=k1xY=k2xAB解析解析 数形结合体现在：图形上的点数形结合体

7、现在：图形上的点的坐标满足该图形的函数表达式；的坐标满足该图形的函数表达式；当设当设A(x1,），），B(x2,)由由“形形”的关系的关系 列出列出“数数”的等式的等式:11x21xOBOA 2221122121xxxx12221xx化简得：122212221221111221111121xxxxxxxyxyxxkk所以例例5 5 如图，已知直线如图，已知直线与双曲线与双曲线交于交于A A、B B两点，两点，且点且点A A的横坐标为的横坐标为4.4.过原点的另一条直线过原点的另一条直线交双曲线交双曲线 于于P P、Q Q两点（两点（P P点在第一象限），若点在第一象限），若由点由点A,B,P,

8、QA,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为为顶点组成的四边形面积为2424，求点，求点P P的坐标。的坐标。变式探究四：变式探究四：12yx(0)kykxl(0)kykxABPOQ解析解析 数形结合体现在：图形上的点的坐标满足该图形的数形结合体现在：图形上的点的坐标满足该图形的函数表达式，可求出点函数表达式，可求出点A(4,2)，K=8。当设。当设P(x,y),有有xy=8；由形的关系直线由形的关系直线 与直线与直线 、双曲线、双曲线 关于原点关于原点O对称，可得四边形对称，可得四边形PAQB是平行四边形，进而得是平行四边形，进而得出出PAO的面积是的面积是6,四边形四边形PAFO的面积是的面积

9、是10，由此推得梯，由此推得梯形形PAFE的面积为的面积为10.列出代数式列出代数式又有又有xy=8,通过解方程组求出通过解方程组求出x,y的值。的值。12yxl(0)kykxABPOQEF104221xyyoxBPCABPOQEF二、在处理二、在处理“数数”的问题时，要有转化为的问题时，要有转化为“形形”的意识，用的意识，用“形形”的的直观引发出直觉，从而定位解题方向。直观引发出直觉，从而定位解题方向。例例6 已知函数已知函数 的图象如图所示，利用的图象如图所示，利用 图象求方程图象求方程 的近似解的近似解.(结果保留两个有效数字结果保留两个有效数字)xy6036 xxx-66-66036

10、xx（数）（数）036 xxxy6双曲线3xy直线（数）（数）（形）（形）解析：对数的联想，产生了形的直观，以形助数，解析：对数的联想，产生了形的直观，以形助数，得出解答。画出双曲线得出解答。画出双曲线 ，再画出直线，再画出直线Y=-x+3,双曲线和直线的交点的横坐标就是原方程双曲线和直线的交点的横坐标就是原方程的解。的解。xy6变式探究：变式探究：例例7 方程方程 的正根有的正根有（）A.3个个 B.2个个 C.1个个 D.0个个xxx2225xy6双曲线（数）（数）（形）（形）xxx2225252xxy抛物线解题解题思路：思路：解析解析：从对等式的左右两边的代数式联想：从对等式的左右两边的

11、代数式联想到几何图形。方程的正根，就是抛物线与到几何图形。方程的正根，就是抛物线与双曲线在第一象限的交点的横坐标，图像双曲线在第一象限的交点的横坐标，图像在第一象限交于两点，原方程有两个正根。在第一象限交于两点，原方程有两个正根。三、三、“数数”与与“形形”和谐地统一，使得问题化繁为简和谐地统一，使得问题化繁为简例例 8 如图双曲线如图双曲线 的图像经过矩形的图像经过矩形OABC的对角线的交点的对角线的交点D，求矩形，求矩形OABC的面积。的面积。02xyxEF解析解析 矩形矩形OABC的面积的面积=OA OC=2DF 2DE=4DF DE=4 2=8 例例 9 如图，已知双曲线如图，已知双曲

12、线 经过矩形经过矩形OABC边边AB的中点的中点F，交，交BC于点于点E，且四边形，且四边形OEBF的面积的面积为为2，求，求k.0,0 xkyxk解析解析 连接连接OB，观察图形，观察图形，由条件矩形由条件矩形OABC,点点F是是AB的中点的中点,双曲线比例系数双曲线比例系数k的几何意义的几何意义知知 ，推得推得所以所以OCEOAFSsOBFOAFssOCBOABSss1OEBOFBSS1 OAFS2,121kkk得的几何意义得由比例系数变式探究一：变式探究一：变式探究二：变式探究二：例例10（福州）如图，在反比例函数（福州）如图，在反比例函数 （x0)的的图象上，有点图象上，有点 ，它们的横坐标依次，它们的横坐标依次为为1，2，3，4.分别过这些点作分别过这些点作x轴与轴与y轴的垂线，图中所构成轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为的阴影部分的面积从左到右依次为 求求 的值。的值。xy24321pppp、321sss.321SSS、解析：解析：可把可把 向左平移一个单位、向左平移一个单位、向左平向左平移两个单位与移两个单位与 组成一个整体，可求得组成一个整体，可求得 =2S3S1S321sss234122谢谢大家！