洛必达法则详解课件.ppt

1、上页下页返回首页结束洛洛必必达达法法则则)(rulesHospitalL型型未未定定式式解解法法型型及及一一、00型型未未定定式式解解法法二二、00,1,0,0 洛必达法则型未定式解法型及一、)(00HospitalL 定义定义.00)()(lim,)()(,型型未未定定式式或或称称为为那那末末极极限限大大都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与两两个个函函数数时时如如果果当当 xFxfxFxfaxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0 xxx)00()(上页返回下页).()()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,

2、)1(AxFxfxFxfAxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末有限或无穷大有限或无穷大都存在且都存在且及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在或都趋于无穷大或都趋于无穷大都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则.,该法则仍然成立该法则仍然成立作相应变动，作相应变动，其它条件其它条件时时比如比如极限过程极限过程换为其它换为其它若若 xax上页返回下页证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axa

3、xxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaN内内任任取取一一点点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(1111aFxFafxfxFxf )()(11 Ff )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax )()(Ff .00情形情形仅证仅证上页返回下页例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例

4、2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(上页返回下页例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解)0,0(.sinlnsinlnlim0 babxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)00()(axbxxcoscoslim0 上页返回下页例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsin

5、cos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(法则可多次使用法则可多次使用上页返回下页注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如比如等价替换、非等价替换、非0 0极限先求极限先求等等.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 上页返回下页例例解解.)11(tan)

6、cos1(lim2220 xxxexx求22lim2240 xxxx 原式1lim0 x.1)00()1(xe因式例例.)21(21lim220 xexxexxx 求解解220221limxxexx 原式xexx21lim20 22lim20 xxe.1)00(上页返回下页型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(2limxexx 原式原式2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或xexx2lim 上页返回下页例

7、例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式型型 .2步骤步骤:.lnlim0 xxx 求例例8 8解解10lnlim xxx原式210lim xxxxx0lim 0)0(xxxxxxx2cos1limsinlim020 xxx22/lim20.04lim0 xx上页返回下页步骤步骤:型型00,1,0.3 ln001ln0ln0010eee.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 ln01ln0ln0上

8、页返回下页例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式另解另解)1(11lim1 xxxe原式.1 e)1(limlim uvveu常用常用上页返回下页例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存

9、在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件:例例1313.coslim20 xxx求)(212sinlim0 xxx错：错：原式原式(1)A存在（有限或无穷）；存在（有限或无穷）；(2)未定型未定型LHospital法法则不是万能的！则不是万能的！,00.上页返回下页三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 通分通分洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次可多次使用使用，但，但不是万

10、能的不是万能的.它它与其它求极限方法结合使与其它求极限方法结合使用，效果更好用，效果更好.比如比如等价替换、非等价替换、非0 0极限先求极限先求等等上页返回下页思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.上页返回下页思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在上页返回下页一、

11、一、填空题：填空题：1 1、洛必达法则除了可用于求“洛必达法则除了可用于求“00”，及“”，及“”两种类”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题.2 2、xxx)1ln(lim0=_.=_.3 3、xxx2tanln7tanlnlim0 =_.=_.练练 习习 题题上页返回下页二、二、用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ；2 2、xxxarctan)11ln(lim；3 3、xxx2cotlim0；4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim；6 6、xxxtan0)1(lim；7 7、xxx)arctan2(lim .上页返回下页三、三、讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当,在在处处点点0 x的连续性的连续性.上页返回下页一、一、1 1、00,0,1,0 ；2 2、1 1；3 3、1.1.二、二、1 1、81；2 2、1 1；3 3、21；4 4、21；5 5、1 1；6 6、1 1；7 7、2e.三、连续三、连续.练习题答案练习题答案上页返回下页