向量共线定理解析课件.pptx

1、1.1.向量加法的向量加法的三角形法则三角形法则作法:在平面中任取在平面中任取一点一点O,O,o回顾旧知回顾旧知:过过O作作OA=a过过A作作AB=b则则OB=a+b.a+bbaA如图如图,已知向量已知向量a a和向量和向量b b,作向量作向量a a+b b.bBa首尾相接首尾连首尾相接首尾连第1页/共38页2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点在平面中任取一点O,o以以OA,OBOA,OB为边作为边作平行四边形平行四边形C如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.baaAbB过过O作作OA=a过过O O作作OB=OB=b ba+b则对

2、角线则对角线OC=OC=a+ba+b共起点第2页/共38页3.向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在平面中任取一点在平面中任取一点o o,过过O O作作OA=OA=a a过过O O作作OB=OB=b boaAbB则则BA=BA=a-ba-ba-b共起点共起点第3页/共38页实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3第4页/共38页探索探索1:根据向量加法根据向量加法的法则可得的法则可得3a3a3a第5页/共38页OaaaABC3a

3、 由图可知，向量由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记作作3 a，即，即OC=3a.显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a|=3|a|.第6页/共38页PQaMaNa3a由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3 a，即PN=-3a显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a|=3|a|。第7页/共38页|;aa（1 1）一般地，我们规定实数

4、一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下：aa（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，特别的，当当 时，时，00.a思考思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点那些不同点?a 是一个向量；是一个向量；a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。1、实数与向量积的定义第8页/共38页aa2

5、a6)2(3a)2(3aa6=1()()aa（）2、实数与向量积的运算律根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a)(a为非零向量为非零向量)，并进行比较。并进行比较。第9页/共38页aa5a2a32()aaa（）(23)23?aaa2、实数与向量积的运算律第10页/共38页2()22?abab(3)abab（）2、实数与向量积的运算律abba22aba2b2ABCDEabbaADE第11页/共38页1()()aa（）3()abab（）2()aaa（）2、实数与向量积的运算律分配律分配律逆运算第12页/共38页设设 为实数，那么为实数，那么,(1 1)(a a)=()a a;(2

6、 2)(+)a a=a a+a a;(3 3)(a a+b b)=a a+b b.特别的，我们有特别的，我们有 (-)a a=-(a a)=(-a a),(a a-b b)=a a-b b.a a、b b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有1 12 2、1111.abab（）=第13页/共38页例例1.计算：计算：(3)4;3()2();(23)(32).aa ba baab cab c (1)(2)(3)1122 5352ababc解：第14页/共38页1 2 263)3(3

7、42);(2)3()2(2)4()0.abcabcxaxaxabx巩固练：计算：（）（已知求习cbacba612961241）原式解：（a13043044442332baxbaxaxax）（bax43 第15页/共38页1.,R,()(1)0,0,;(5)0,0,;.2.3 .4 .5aaaaaaaaaaaaaaaABCD 已知则在以下各命题中正确的命题共有与 方向一定相反与 方向一定相同与 是共线向量与方向一定相同与方向一定相反第16页/共38页解：解：DC=AB=a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+a=b-a MN=DN-DM=a-b-a=a-b212121212141

8、41DANMCB例例1:梯形梯形ABCD，且，且|AB|=2|DC|M、N分别为分别为DC、AB中点。中点。AB=a AD=b 用用a，b表示表示DC、BC、MN。第17页/共38页巩固练习巩固练习:设设D D、E E、F F分别是分别是 ABCABC的边的边BCBC、CACA、ABAB上的点上的点,且且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.CE=(1/4)CA.若记若记AB=m,CA=n.AB=m,CA=n.试用试用m,nm,n表示表示DEDE、EFEF、FDFDA AB BC CD DE EF F25312132411

9、63DEmnEFmnFDmn 第18页/共38页思考思考:baaa第19页/共38页3.向量共线定理向量共线定理 反过来，已知向量反过来，已知向量a与与b共线，共线，a 0，且向，且向量量b的长度是向量的长度是向量a的的倍，即倍，即|b|a|=，那，那么么当向量当向量a与与b同向同向时，有时，有b=a，当向量当向量a与与b反向反向时，有时，有b=-a.也就是说：也就是说：如果如果a与与b共线，那么有且只有一共线，那么有且只有一个实数个实数 ，使，使b=a.对于向量对于向量a（a 0）、）、b，如果有一个实，如果有一个实数数，使，使 b=a，那么由实数与向量的积的定，那么由实数与向量的积的定义知

10、，义知，a与与b共线共线.第20页/共38页0a:,.baba向量 与非零向量,当且仅当有唯一一个实数使得定共线理第21页/共38页练习、已知向量ABAD3BCDE3试判断，AEAC与是否共线。ABDEC第22页/共38页ABDECBCAB 33 BCAB 3AC 3 与 共线 AE ACDEADAE 解：第23页/共38页6.2 3 abOAabOBabOCabABC 例如 图，已 知 任 意 两 个 非 零 向 量、，试 作，你 能 判 断、三 点 之 间 的 位 置 关 系 吗？为 什 么？abABCOab2b3b第24页/共38页例例7:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，

11、中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点，求证求证M、N、C三点共线三点共线.BDBN31 AMBCDN613121 1 1 MM C C=MM N N3 3 所以所以M.N.C三点共线三点共线第25页/共38页第26页/共38页练习练习1 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=-k=-1 k=-1第27页/共38页练习练习2:e1、e2不共线不共线,a=e1+e2,b=3e1-

12、3e2.a与与b是否共线。是否共线。解：假设,a与b共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样不存在。a与b不共线。第28页/共38页练习练习3:3:设两非零向量设两非零向量a a和和b b不共线，不共线，如果如果ABABa ab b，CDCD3 3（a ab b），），BC=2a+8bBC=2a+8b求证：求证：A A、B B、D D三点共线。三点共线。第29页/共38页例例2:2:（2003 2003 辽宁）已知四边形辽宁）已知四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，P P点在对角线点在对角线ACAC上（不包括端点上（不包括端点A A、C C），），则则A

13、PAP等于等于 ()()A A、B B、C C、D D、(),(0,1)ABAD 2(),(0,)2ABBC (),(0,1)ABAD 2(),(0,)2ABBC A A第30页/共38页 变形变形1:1:（2003 2003 全国）全国）O O是平面上一是平面上一定点，定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的的()()A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心(),0,),|ABACOPOAABAC B B第31页/共38页变形变形2:2:OAOA、OBOB不共线，不

14、共线，AP=tABAP=tAB，用，用OAOA、OBOB表示表示OPOP(1)OPt OAtOB 所以：所以：O OA AB BP P因为因为OP=OA+APOP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB=(1-t)OA+tOB思考思考:若上式成立若上式成立,则则A A、B B、P P有什么关系有什么关系?反之反之?第32页/共38页结论：结论：已知已知OAOA、OBOB不共线，若不共线，若P P、A A、B B三点共线三点共线(1)OPt OAtOB 则则则则P P、A A、B B三点共线三点共线.(1)OPt OA tO

15、B 若若O O是平面上任意一点是平面上任意一点,且且若若O O是平面上任意一点是平面上任意一点,且且OPOAOB 其中其中,则则P P、A A、B B三点共线三点共线1等价命题：等价命题：OA、OB不共线，若不共线，若P、A、B三点共线三点共线,则则 其中其中 OPOAOB 1第33页/共38页巩固练习巩固练习:如图如图 OABOAB中中,C,C为直线为直线 ABAB上一点上一点,AC=CB(-1),AC=CB(-1),1OAOBOC 求 证：A AB BO OC C第34页/共38页练习练习1 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B

16、、D共线则共线则k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=-k=-1 k=-1第35页/共38页练习练习2:e1、e2不共线不共线,a=e1+e2,b=3e1-3e2.a与与b是否共线。是否共线。解：假设,a与b共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样不存在。a与b不共线。第36页/共38页练习练习3:3:设两非零向量设两非零向量a a和和b b不共线，不共线，如果如果ABABa ab b，CDCD3 3（a ab b），），BC=2a+8bBC=2a+8b求证：求证：A A、B B、D D三点共线。三点共线。第37页/共38页谢谢您的观看！第38页/共38页