《解析几何》向量的线性运算.ppt

1、解析几何向量的线性运算 课课 程程 简简 介介 坐标法坐标法:在平面在平面(或空间或空间)中建立适当的坐标系中建立适当的坐标系,平面平面(或空间或空间)中的中的点点就可以用就可以用有序数组有序数组 (或其他数量关系或其他数量关系,即即点的坐标点的坐标)来表示来表示,几何图形几何图形就可用就可用方程方程(组组)-即即几何图形几何图形 的点的坐标所满足的数量关系的点的坐标所满足的数量关系-来表示来表示,于是于是几何问题就可转化为代数问题几何问题就可转化为代数问题,从而从而 代数方法被引入到几何学的研究中来代数方法被引入到几何学的研究中来.简言之简言之:坐标法就是建立坐标法就是建立从几何学对象到某种

2、从几何学对象到某种 数量形式的对应关系数量形式的对应关系,由此由此利用代数利用代数 方法解决几何问题方法解决几何问题.课课 程程 简简 介介 向量法向量法:把把几何问题用向量来表述几何问题用向量来表述,然后利用然后利用 向量的运算来解决向量的运算来解决.它也是把代数运算它也是把代数运算 引进几何学的方法引进几何学的方法,是是建立各种坐标系建立各种坐标系 的基础的基础.几何变换法几何变换法:通过讨论通过讨论几何图形在各类几何变换几何图形在各类几何变换 中性质的变化规律中性质的变化规律,由此解决相应由此解决相应 的几何问题的几何问题.常见的几何变换常见的几何变换:保距保距变换变换,仿射仿射变换变换

3、,射影射影变换变换 课课 程程 简简 介介 解析几何的主要创始人解析几何的主要创始人 1.费马费马(Fermat Pierre de,1601-1665,法国法国人人)出身出身商人家庭商人家庭,学法律并以律师为职业学法律并以律师为职业,数学数学只是他只是他的的业余爱好业余爱好,尽管如此尽管如此,他对他对数论数论和和微积分微积分作出了第一作出了第一流的贡献流的贡献,并同并同帕斯卡帕斯卡(Pascal Blaise)一起开创了一起开创了概率概率论论的研究工作的研究工作,他与笛卡儿都是坐标几何的发明者他与笛卡儿都是坐标几何的发明者.费马关于曲线费马关于曲线的工作的工作,是从是从研究古希腊几何学家特别

4、研究古希腊几何学家特别是阿波罗尼是阿波罗尼(Apollonius)开始的开始的.课课 程程 简简 介介 2.笛卡儿笛卡儿(Descartes Ren,1596-1650,法国法国人人)是一位杰出的是一位杰出的近代哲学家近代哲学家,是是近代生物学的奠基人近代生物学的奠基人,是是第一流的物理学家第一流的物理学家,只只偶然地是个数学家偶然地是个数学家.1637年年,笛卡儿写的笛卡儿写的更好地指导推理和寻求科学更好地指导推理和寻求科学真理的方法论真理的方法论一书出版一书出版,其中包括其中包括三个著名的附录三个著名的附录,几何几何是其中之一是其中之一,这是他写的唯一的一本数学书这是他写的唯一的一本数学书

5、,他关于坐标几何的思想他关于坐标几何的思想,就包括在这本就包括在这本几何几何中中.笛卡儿是笛卡儿是通过三个途径来研究数学通过三个途径来研究数学的的:课课 程程 简简 介介 (1)作为作为哲学家哲学家,他把他把数学方法数学方法看作是看作是一切领域建立一切领域建立真理的方法真理的方法来研究来研究;(2)作为作为自然科学的研究者自然科学的研究者,他他广泛地研究广泛地研究了力学、了力学、光学和生物学等光学和生物学等各个方面各个方面,他的他的几何几何的一部分的一部分就是讲光学的就是讲光学的;(3)作为一个作为一个关心科学用途的人关心科学用途的人,他强调他强调把科学成果把科学成果付之于应用付之于应用,他不

6、推崇纯粹数学他不推崇纯粹数学,他说他说:“我决心放弃我决心放弃那个仅仅是抽象的几何那个仅仅是抽象的几何,这就是说这就是说,不再去考虑那些不再去考虑那些仅仅是用来训练思想的问题仅仅是用来训练思想的问题,我这样做是为了研究另我这样做是为了研究另一种几何一种几何,即目的在于解释自然现象的几何即目的在于解释自然现象的几何”.课课 程程 简简 介介 解析几何的重要性解析几何的重要性 解析几何解析几何把代数和几何结合起来把代数和几何结合起来,把数学造成了一个把数学造成了一个双面的工具双面的工具.一方面一方面,几何概念可用代数表示几何概念可用代数表示,几何的目几何的目的可通过代数达到的可通过代数达到;反过来

7、反过来,给代数概念以几何解释给代数概念以几何解释,可可以直观地掌握这些概念的意义以直观地掌握这些概念的意义,又可以得到启发去提出又可以得到启发去提出新的结论新的结论.课课 程程 简简 介介 学习解析几何的一点启示学习解析几何的一点启示 解析几何的重要性在于它的方法解析几何的重要性在于它的方法-建立适当的坐标系建立适当的坐标系,用方程来表示几何图形用方程来表示几何图形,通过研究方程来研究几何图形通过研究方程来研究几何图形.前前苏联苏联著名著名几何学家波格列诺夫几何学家波格列诺夫说过说过:“解析几何没解析几何没有严格确定的内容有严格确定的内容,对它来说对它来说,决定性的因素决定性的因素,不是研究不

8、是研究对象对象,而是方法而是方法”.因此因此,我们学习解析几何主要是掌握它的基本我们学习解析几何主要是掌握它的基本方法方法,而不仅仅在于记住它的某些结论而不仅仅在于记住它的某些结论!课课 程程 简简 介介 第四章第四章 保距变换和仿射变换保距变换和仿射变换 第一章第一章 向量代数向量代数 第二章第二章 空间解析几何空间解析几何 第三章第三章 坐标变换与二次曲线的分类坐标变换与二次曲线的分类 第五章第五章 射影几何学初步射影几何学初步-介绍向量及其基本运算介绍向量及其基本运算,由此建立仿射坐标系由此建立仿射坐标系-用坐标法和向量法讨论空间中某些几何图形及其相关几何问题用坐标法和向量法讨论空间中某

9、些几何图形及其相关几何问题 包括空间中的平面包括空间中的平面,直线直线,柱面柱面,锥面锥面,旋转面以及二次曲面等旋转面以及二次曲面等-利用坐标变换研究二次曲线分类利用坐标变换研究二次曲线分类,讨论圆锥曲线讨论圆锥曲线 的仿射特征的仿射特征 和度量特征和度量特征.-研究两类重要几何变换研究两类重要几何变换-保距变换和仿射变换保距变换和仿射变换,讨论图形的讨论图形的 仿射分类和度量分类仿射分类和度量分类.-射影几何学初步介绍射影几何学初步介绍,将给出射影平面将给出射影平面,射影变换射影变换,射射 影坐标系影坐标系,交比等基本概念以及二次曲线的射影理论交比等基本概念以及二次曲线的射影理论.第一章第一

10、章 向向 量量 代代 数数4 向量的外积向量的外积 1 向量的线性运算向量的线性运算2 仿射坐标系仿射坐标系 3 向量的内积向量的内积 5 向量的多重乘积向量的多重乘积 1 向量的线性运算向量的线性运算 1.1 向量的概念向量的概念1.2 向量的线性运算向量的线性运算 1.3 向量的分解向量的分解 1.4 在三点共线问题上的应用在三点共线问题上的应用 1.1 向量的概念向量的概念现实中：温度、时间、身高、体重等量现实中：温度、时间、身高、体重等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量只有只有大小大小，称为，称为数量数量(或或标量标量);既有既有大小大小又有又有方向

11、方向，称为，称为向量向量(或或矢量矢量).记号记号:黑斜体小写西文字母黑斜体小写西文字母,如如向量向量 ,a,b,c 等等.用用绝对值记号绝对值记号表示表示向量的大小向量的大小,如如|表示向量表示向量 的大小的大小.1.1 向量的概念向量的概念向量的表示向量的表示:几何上几何上,用用有向线段有向线段表示表示向量向量,有向有向 线段的长度和方向线段的长度和方向分别表示了分别表示了向量向量 的大小和方向的大小和方向.记起点、终点分别为记起点、终点分别为A,B的有向的有向 线段为线段为 AB 如右图如右图,有向线段有向线段AB 表示向量表示向量 AB 注注:今后就把今后就把有向线段有向线段看作看作向

12、量向量,向量与有向向量与有向 线段的起点选取无关线段的起点选取无关,也称为也称为自由向量自由向量;向量的大小向量的大小也称为也称为向量的长度或模向量的长度或模.1.1 向量的概念向量的概念零向量零向量:大小为大小为 0 的向量的向量,其其方向不定方向不定,记为记为0.单位向量单位向量:长度为长度为 1 的向量的向量,与与 同方向同方向的单位向量记为的单位向量记为 0向量相等向量相等:若向量若向量 与与 大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 与与 相等相等,记作记作 .平行向量平行向量:若向量若向量 与与 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 与与 平行平行,记作记作 .规定规定:零向

13、量与任何向量平行零向量与任何向量平行.1.1 向量的概念向量的概念反向量反向量:与与 的的长度相同长度相同,但但方向相反方向相反的向量的向量 称为称为 的的反向量反向量,记作记作 .正交向量正交向量:若向量若向量 与与 的方向互相垂直的方向互相垂直,则称则称 与与 垂直或正交垂直或正交,记作记作 .规定规定:零向量与任何向量正交零向量与任何向量正交.1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:ABC +平行四边形法则平行四边形法则:ABC D+1.2 向量的线性运算向量的线性运算交换律交换律向量加法运算律向量加法运算律:+=+结合律结合律(+)+=+(+)=+ABCD +(+)+(+)=+1

14、.2 向量的线性运算向量的线性运算三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加,如下图如下图:s=1+2+3+4+5,1 2 3 4 5sn个向量相加法个向量相加法则则:使使前一向量的终点前一向量的终点作作为为次一向量的起点次一向量的起点,相继作向量相继作向量 1,2,n,再以再以第一向量的起第一向量的起点为起点点为起点,末一向量末一向量的终点为终点的终点为终点,作一作一向量向量,即为即为和向量和向量1.2 向量的线性运算向量的线性运算1.2 向量的线性运算向量的线性运算2.向量的减法向量的减法规定规定:=+()ABCD +()三角不等式三角不等式:|+|+|,|+|常用等式常

15、用等式:AB=OB OA,AB=AO BO 1.2 向量的线性运算向量的线性运算例例 1 设设A,B,C,D是空间中任意四点是空间中任意四点,则则AB+CD=AD+CB证明证明:方法方法1.因为因为 AB+CD AD CB=AB+BC+CD+DA=AA=0.作移项作移项,即得结果即得结果.方法方法2.在空间任取一点在空间任取一点O,则所求则所求等式左边等式左边 AB+CD=OB OA+OD OC等式右边等式右边 AD+CB=OD OA+OB OC两边两边相等相等3.向量与数的乘积向量与数的乘积(向量的数乘向量的数乘)1.2 向量的线性运算向量的线性运算向量向量 与与实数实数 的的乘积乘积是一个

16、新向量是一个新向量,记作记作,的长度为的长度为|=|的方向为的方向为 与与 同向同向,0 与与 反向反向,0,0,从而从而 +和和(+)方向一致方向一致,并且并且=|+|=|+|=|+|1.2 向量的线性运算向量的线性运算将将系数为负数的项移到等式的另一边系数为负数的项移到等式的另一边就可化为就可化为上述情形上述情形.(+)=+=(+)+()当当,+中出现负数中出现负数时时,例如当例如当 0,0时时,=(+)1.2 向量的线性运算向量的线性运算(2)(+)=+则可设则可设 =,此时此时(+)=(+)=+如果如果 与与 不平行不平行,则可则可 用作图法证明用作图法证明.如右图如右图:(+)+不妨

17、假定不妨假定,都不为都不为0.如果如果 与与 平行平行,=(1+)=(+)=+1.2 向量的线性运算向量的线性运算例例 2 设设AC,BD是平行四边形是平行四边形ABCD的两条对角的两条对角线线,已知向量已知向量AC=,BD=,求向量求向量AB和和BC.解解:ABCD 设设AC与与BD相交于相交于O.O 易见易见 AB=AO BOBC=BO+OC而而 AO=OC=1/2 AC,BO=1/2 BD,故故 AB=1/2 1/2 =1/2(),BC=1/2 +1/2 =1/2(+).1.3 向量的分解向量的分解定义定义1 设设 1,2,n,是一组是一组向量向量,若若 =k1 1+k2 2+kn n,

18、则称则称 是向量组是向量组 1,2,n 的线性组合的线性组合,或称或称 可由向量组可由向量组 1,2,n 线性表示线性表示.k1,k2,kn 是一组是一组实数实数,也称也称 可对向量组可对向量组 1,2,n 分解分解.k1,k2,kn 称为称为组合系数组合系数或或分解系数分解系数,定义定义2 如果一组向量如果一组向量平行于同一直线平行于同一直线,就称就称 它们它们共线共线;如果一组向量如果一组向量平行于同一平面平行于同一平面,就称它们就称它们共面共面.1.3 向量的分解向量的分解由定义易知由定义易知,向量组向量组 1,2,n共线共线(面面)就是就是:当用同一起点当用同一起点O作有向线段作有向线

19、段OAi=i,i=1,2,n时时,O,A1,A2,An共线共线(面面).注注:向量组向量组共线共线就是就是其中任何两个向量平行其中任何两个向量平行,向量组向量组共面共面就是就是其中任何三个向量共面其中任何三个向量共面.于是判别于是判别“两向量是否平行两向量是否平行”,“三向量是否共面三向量是否共面”成为基本问题成为基本问题.定理定理1.1(向量分解定理向量分解定理)(2)若若向量向量 ,共面共面,并且并且 与与 不平行不平行,则则存在存在唯一唯一的一对实数的一对实数,使得使得 =+.1.3 向量的分解向量的分解(3)若若向量向量 ,不共面不共面,则则任何向量任何向量 都可以都可以对对,分解分解

20、,且且分解方式唯一分解方式唯一.(1)设设 为非零为非零向量向量,则则 /(与与 共线共线)当且当且仅当存在唯一实数仅当存在唯一实数,使得使得 =.向量分解定理是建立仿射坐标系的向量分解定理是建立仿射坐标系的 理论基础理论基础,也是仿射几何学的基础也是仿射几何学的基础!证明证明:设设 /,取取 1.3 向量的分解向量的分解,|其中其中 =1,当当 与与 同向同向时时,1,当当 与与 反向反向时时,容易验证容易验证 =.(1)必要性必要性.充分性充分性由由平行定义平行定义易知易知.再证数再证数 的的唯一性唯一性.设又有设又有 ,则则()=0.又又 0,故故 =0,即即=.注注:为方便为方便,将将

21、这里这里的数的数 记为记为 1.3 向量的分解向量的分解(2)存在性存在性.从同一起点从同一起点 O 作作OA=,OB=,OC=.过过 C 作作 CD/OB,且且与直线与直线 OA 交于交于 D.因为因为OD 与与 共线共线,所以有实数所以有实数 使得使得OD=.同理有同理有 DC=.因此因此 =OC=OD+DC=+.OABC D 唯一性唯一性.=1 +1 (1,1不全为零不全为零),则有则有 (1)+(1)=0,不妨设不妨设 1 0,则则从而从而,平行平行,与条件矛盾与条件矛盾!1.3 向量的分解向量的分解用反证法用反证法.假如还有假如还有另一个另一个分解式分解式,11 O A C B DE

22、F(3)可分解性可分解性.取一点取一点O,作作OA,OB,OC,OD,分别表示分别表示,.过过 D 作一直线作一直线与与OC平行平行,且与且与OA和和OB决定的平面交于决定的平面交于E.过过 E 作一直线作一直线与与OB平行平行,并且与并且与OA交于交于F.因为因为OF/,FE/,ED/,1.3 向量的分解向量的分解O A C B DEF1.3 向量的分解向量的分解由由(1),存在实数存在实数 x,y,z 使得使得OF=x,FE=y,ED=z.从而从而 =OD=OF+FE+ED=x +y +z .唯一性唯一性.若有两个不同的分解式若有两个不同的分解式 =x +y +z =x1 +y1 +z1

23、,则得则得 (x x1)+(y y1)+(z z1)=0.1.3 向量的分解向量的分解不妨设不妨设 1 0,则则从而从而,共面共面,与条件矛盾与条件矛盾!,1111 (1)向量向量 与与 共线共线的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在不全为零不全为零的实数的实数,使得使得 +=0.()1.3 向量的分解向量的分解命题命题1.1(2)向量向量,共面共面 的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在不全为零不全为零的实数的实数,使得使得 +=0.()证明证明:设设 与与 共线共线,若若 =0,则有则有 1 +1 =0.若若 与与 不全为不全为0,不妨设不妨设 0,存在实数存在实数 使得使得 =,从而

24、有从而有 +(1)=0.1.3 向量的分解向量的分解(1)必要性必要性.充分性充分性.若若有不全为零的实数有不全为零的实数,使得使得()成立成立,不妨设不妨设 0,于是由于是由()可得可得,因此因此 与与 共线共线.由由定定理理1.1(1)可知可知,(2)必要性必要性.设设,共面共面,若若 /,则则有实数有实数,使得使得 =+,即即 +(1)=0.若若 /,由由(1)存在存在不全为零不全为零的实数的实数,使得使得 +=0,从而有从而有 +0 =0.充分性充分性.不不妨设妨设 0,因此因此,共面共面.1.3 向量的分解向量的分解设设有不全为零的实数有不全为零的实数,使得使得()成立成立,则由则由

25、()得得1.3 向量的分解向量的分解推论推论1 向量向量 与与 不共线不共线的充分必要条件是的充分必要条件是:由由 +=0 可以推出可以推出 =0.推论推论2 向量向量,不共面的不共面的充分必要条件是充分必要条件是:由由 +=0 可以推出可以推出=0.定义定义3 设设 1,2,n 是是向量向量,若存在若存在不全为零不全为零的实数的实数 k1,k2,kn,使得使得k1 1+k2 2+kn n=0,则称则称向量组向量组 1,2,n 线性相关线性相关,否则否则,称称向量组向量组 1,2,n 线性无关线性无关.由定义易知由定义易知,向量组向量组 1,2,n 线性无关线性无关由由k1 1+k2 2+kn

26、 n=0可推出可推出 k1=kn=0,再由前面定理再由前面定理1.1,命题命题1.1及推论可知及推论可知,两向量两向量 ,共线共线 ,线性相关线性相关;两向量两向量 ,不共线不共线 ,线性无关线性无关;三向量三向量 ,共面共面 ,线性相关线性相关;三向量三向量 ,不共面不共面 ,线性无关线性无关.1.3 向量的分解向量的分解空间四向量空间四向量总总线性相关线性相关.由于上述结论由于上述结论,使得向量的线性运算可以用使得向量的线性运算可以用来解决有关来解决有关点的共线、共面点的共线、共面问题以及问题以及线段的线段的定比分割定比分割问题等问题等.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用

27、证明证明:必要性必要性.由于由于O,A,B不共线不共线,命题命题1.2 假设假设O,A,B不共线不共线,则点则点C 和和A,B共线共线的充分必要条件是的充分必要条件是:向量向量OC 对对OA,OB 可分解可分解,并且并且分解系数之和等于分解系数之和等于1.所以所以OA,OB不平行不平行,且且AB 0.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用于是于是 C 和和A,B 共线共线 AC/AB 存在实数存在实数s,使得使得AC=s AB 即即 OC OA=s(OB OA)存在实数存在实数s,使得使得OC=(1 s)OA+s OB OC 对对OA,OB 可分解可分解,且且分解系数之和为分解系

28、数之和为1.充分性充分性.设设OC=r OA+s OB,其中其中r+s=1,于是于是 OC=(1 s)OA+s OB,即即 AC=s AB.因此因此 AC/AB,从而从而 C 和和A,B共线共线.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用注注:命题命题1.2中的中的数数 s 是反映是反映C 在在A,B 决定的决定的直线上的位置的一个数量直线上的位置的一个数量,即即ABACs 而中学里学的而中学里学的定比定比概念也是反映概念也是反映C 在在A,B 决定的决定的直线上的位置的一个数量直线上的位置的一个数量,本书称之为本书称之为简单比简单比,并并记作记作(A,B,C),根据定义有根据定义有

29、CBACCBA),(易求得易求得,11sss其中其中 =(A,B,C).练习题练习题:设设A,B,C不共线不共线.证明点证明点M在平面在平面ABC上上的的充要条件是充要条件是:对任意定点对任意定点O,存在实数存在实数k1,k2,k3,使得使得且且 k1+k2+k3=1.OM=k1OA+k2OB+k3OC,1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用证明证明:()AB,AC 不共线不共线,AM,AB,AC 共面共面,故存在实数故存在实数 k,m 使得使得 AM=k AB+m AC,对任意定点对任意定点 O,有有OM OA=k(OB OA)+m(OC OA),即即令令 k1=1 k m,k

30、2=k,k3=m,即得结论即得结论.()设设 OM=k1OA+k2OB+k3OC,注意到注意到 k1=1 k2 k3,有有AM=OM OA=(1 k2 k3)OA+k2OB+k3OC OA=k2(OB OA)+k3(OC OA)=k2AB+k3AC可见可见 AM,AB,AC 共面共面,即即M在平面在平面ABC上上.OM=(1 k m)OA+k OB+m OC,1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用k1+k2+k3=1.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用例例 3 设三角形设三角形ABC中中,点点D,E,F分别在分别在AB,BC,AC 边上边上,使得线段使得线段AE

31、,BF,CD 交于一点交于一点O(下图下图).已知已知(A,B,D)=(C,A,F)=1/2,求求(B,C,E),(A,E,O),(C,D,O),(B,F,O).ABCDEFO解解:1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用设设 AO=x AB+y AF,由由(A,B,D)=(C,A,F)=1/2 知知,AB=3AD,AF=2/3 AC,于是又有于是又有 AO=3x AD+2/3 y AC,因为因为B,F,O 共线共线,C,D,O 共线共线,所以由所以由命题命题1.2可知可知 13231yxyx1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用由此可得由此可得(B,F,O)=6,(

32、C,D,O)=3/4.再设再设 AE=t AO,因此因此 AO=1/7 AB+6/7 AF 解得解得,7671yx=3/7 AD+4/7 AC,则有则有 AE=t/7 AB+6t/7 AF=t/7 AB+4t/7 AC,因为因为B,C,E 共线共线,于是于是 t/7+4t/7=1,从而从而 t=7/5,由此得到由此得到(B,C,E)=4,(A,E,O)=5/2.练习题练习题:已知已知OAB,记记 OA=,OB=,点点M,N 在在OA,OB上上,AN 和和 BM交于点交于点P,若若OM=,ON=,试把试把OP分解成分解成,的线性组合的线性组合.解解:设设 MP=x MB=x(OB OM),NP=y NA=y(OA ON),则则OP=OM+MP=+x()=(1 x)+x ,OP=ON+NP=+y()=y +(1 y).1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用由于由于,不共线不共线,故分解是唯一的故分解是唯一的,因此因此 xyyx ,)(,)(1111yx所以所以,OP.)()(11111.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用作作 业业P14.习题习题1.13,19,21.