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1、1CATIACATIA曲线曲面造型的曲线曲面造型的几何理论基础几何理论基础u主要参考资料：1，最经典CATIA曲线曲面设计基本理论 作者：复旦托业CAD培训中心2，3D计算机图形学（原书第三版）作者：（英）Alan Watt 包宏 译3，第十一讲：非均匀有理B样条曲线和曲面 CAD/CAM技术基础 作者：来自百度文库2Bezier 贝塞尔曲线曲面B-Spline B-样条曲线曲面NURBS 非均匀有理B-样条曲线曲面Rational B-Spline 有理B-样条曲线曲面曲面造型的理论发展历程曲面造型的理论发展历程Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础3Catia曲线曲

2、面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 NURBSNURBS非均匀有理非均匀有理B B样条（样条（Non-Uniform Rational B-Non-Uniform Rational B-SplineSpline）这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBSNURBS方法主要有以下四个特点：1，NURBS不仅可以表示自由曲线曲面,它还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线,所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的数学描述方法;2，NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子,故可以设计相当复杂的曲线曲面

3、形状。若运用恰当,将更便于设计者实现自己的设计意图;3，NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广,多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面;4，计算稳定且快速。由于NURBS方法的这些突出优点,国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准,将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法,从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。4 NURBSNURBS非均匀有理非均匀有理B B样条（样条（Non-Uniform Rational B-Non-Uniform Rational B-

4、SplineSpline)一条NURBS曲线用一个带比重控制点和曲线的次序以及一个节点矢量的集合定义。非均匀（非均匀（Non-UniformNon-Uniform）：）：指NURBS基函数的节点沿参数轴不等距分布，即节距不均匀,而且允许重节点的存在。有理（有理（RationalRational）：）：采用分式表示，增加了权因子，是有理的，其分子分母分别是参数多项式和多项式函数。每个控制点都带有一个数字(权因子)，除了少数的特例以外，权值大多是正数。当一条曲线所有的控制点有相同的权值时(通常是1)，称为“非有理”(Non-Rational)曲线，否则称为“有理”(Rational)曲线。Bezi

5、erBezier方法及方法及B-B-样条方法都是非有理的样条方法都是非有理的。NURBS 的“R”代表有理，意味着一条NURBS 曲线有可能是有理的。在实际情况中，大部分的NURBS曲线是非有理的,但有些NURBS 曲线永远是有理的，圆和椭圆是最明显的例子。B B样条样条(B-(B-SplineSpline):):由多段参数化表示的曲线组成。NURBS的基函数与B-Spline的基函数一样。*NURBS曲线曲面是 非有理非有理B-样条曲线曲面和有理有理/非有理非有理Bezier曲线曲面的推广。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础5u曲线、曲面的显式、隐式、参数表示曲线

6、、曲面的显式、隐式、参数表示 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。显式显式:形如z=f(x,y)z=f(x,y)的表达式。对于一个平面曲线,显式表示一般形式是:y=f(x)y=f(x)。在此方程中,一个x x值与一个y y值对应,所以显式方程不能表示封闭或多值曲线,例如,不能用显式方程表示一个整圆。隐式隐式:形如f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0的表达式。如一个平面曲线方程,表示成f(x,y)=0f(x,y)=0的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)f(x,y)是否大于、小于或等于零,也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。参数表示参数表示:形如x=f(t),y

7、=f(t),z=f(t)x=f(t),y=f(t),z=f(t)的表达式,其中t t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。如平面曲线上任一点P P可表示为:P(t)=x(t),y(t);P(t)=x(t),y(t);空间曲线上任一三维点P P可表示为:P(t)=x(t),y(t),z(t);P(t)=x(t),y(t),z(t);如图:Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础6 最简单的参数曲线是直线段,端点为P1P1、P2P2的直线段参数方程可表示为:P(t)=P1+(P2-P1)t P(t)=P1+(P2-P1)t t 0,1t 0,1；定义了元素之间的

8、运算，元素不一定是数。定义了元素之间的运算，元素不一定是数。圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为:其参数形式可表示为:参数表示的曲线、曲面具参数表示的曲线、曲面具有几何不变性有几何不变性等优点等优点,计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。其优势主要表现在:(1)(1)可以满足几何不变性的要求,坐标变换后仍保持几何形状不变 (2)(2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为:只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为:有8个系数可用来控制此曲线的形状。(3)(3)对非

9、参数方程表示的曲线、曲面进行变换,必须对其每个型值点进行几何变换,不能对其方程变换(因不满足几何变换不变性不满足几何变换不变性);而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。1021xxy 102122121,)(ttttttPdcxbxaxy231,0432231432231)(tbtbtbtbatatatatPCatia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础7 (4)(4)便于处理斜率为无穷大的情形,不会因此而中断计算。(5)(5)参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分

10、离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。(6)(6)规格化的参数变量t0,1,使其相应的几何分量是有界的,而不必用另外的参数去定义边界。(7)(7)易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率(见高等数学)u插值、逼近、拟合插值、逼近、拟合 插值插值:给定一组有序的数据点Pi,i=0,1,nPi,i=0,1,n,构造一条曲线顺序通过这些数据点,称为对这些数据点进行插值,所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值（用直线模拟实际曲线）、抛物线插值（用二次多项式曲线模拟实际曲线），三次样条插值等。在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值

11、能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。逼近逼近:构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点,称为对这些数据点进行逼近,所构造的曲线为逼近曲线。拟合拟合:插值和逼近则统称为拟合(fitting)。图 8-1 曲 线 的 拟 合图8-2 曲线的逼近Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础8u光顺、连续性光顺、连续性 光顺光顺:通俗含义指曲线的拐点不能太多,曲线拐来拐去,就会不顺眼,对平面曲线而言,相对光顺的条件是:a)a)具有二阶几何连续性(G G2 2);b)b)不存在多余拐点和奇异

12、点;c)c)曲率变化较小。连续性连续性:设计一条复杂曲线时,常常通过多段曲线组合而成,这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题,即为连续性问题。曲线间连接的光滑度的度量有两种:一种是函数的可微性函数的可微性,把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n n阶连续导矢,即n n阶连续可微,这类光滑度称之为C Cn n或n n阶参数连续性。另一种称为几何连续性几何连续性,组合曲线在连接处满足不同于C Cn n的某一组约束条件,称为具有n n阶几何连续性,简记为G Gn n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾,C Cn n连续包含在G Gn n连续之中。对于右图所示二条曲线P(t)P(t)和Q(t),Q(

13、t),参数t0,1,t0,1,若要求在结合处达到G G0 0连续或C C0 0连续,即两曲线在结合处位置连续:P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)。若要求在结合处达到G G1 1连续,就是说两条曲线在结合处在满足G G0 0连续的条件下,并有公共的切矢:(1-11-1)当 时,G G1 1连续就成为C C1 1连续。若要求在结合处达到G G2 2连续,就是说两条曲线在结合处在满足G G1 1连续的条件下,并有公共的曲率矢:(1-21-2)代入(1-11-1)得:这个关系为:(1-31-3)即 在 和 确定的平面内。为任意常数。当 时,G2G2连续就成为C2C2连续。在弧长作参数的情况下,C1C

14、1连续保证G2G2连续,C1C1连续能保证G2G2连续,但反过来不行。也就是说CnCn连续的条件比连续的条件比GnGn连续的条件要苛刻连续的条件要苛刻。0)1()0(PQ133)0()0()0()1()1()1(QQQPPP)1()1()0()1(2PPQP)1()1()0(2PPQ 0,1)0(Q)1(P)1(PCatia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础9uBezierBezier曲线的定义曲线的定义 给定空间n+1n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),Pi(i=0,1,2,n),则BezierBezier参数曲线上各点坐标的插值公式是:将其写成矩阵表达形式为:

15、其中,PiPi构成该Bezier曲线的特征多边形,B Bi,ni,n(t)(t)是n n次BernsteinBernstein基函数基函数:注意:约定00=1,0!=1 n=0,B0,0(t)=1 点 n=1,B0,1(t)=1-t；B1,1(t)=t 直线段，线性插值 n=2,B0,2(t)=(1-t)2；B1,2(t)=2t(1-t)；B2,2(t)=t2 二次曲线插值 n=3,B0,3(t)=(1-t)3；B1,3(t)=3t(1-t)2；B2,3(t)=3t2(1-t)；B3,3(t)=t3 三次曲线插值 Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础1,0)()(,0

16、ttBPtPniniin10,1,0 )()()()(PPPPtBtBtBtnnnn),1,0()1()!(!)1()(,nitiininttCtBiniiniinni10uBezierBezier曲线的定义曲线的定义 如图所示是一条三次Bezier曲线实例,即n=3n=3。对于三次BezierBezier曲线,其表达式为：式中:B0,3(t)=(1-t)3；B1,3(t)=3t(1-t)2；B2,3(t)=3t2(1-t)；B3,3(t)=t3将其写为矩阵表达式则为:P P(t)=B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0 P1 P2 P3T=式中若求Px(t)的值,则取P

17、i的x坐标进行计算,同理求Py(t)、Pz(t)的值,具体如下:P x(t)=B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0 x P1x P2x P3x TP y(t)=B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0y P1y P2y P3y TP z(t)=B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0z P1z P2z P3z T注意:上式基函数的计算仅需一次,不必三次Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础1,0)()(3,30ttBPtPiii321023 0 0 0 1 0 0 3 3-0 3 6-31 3-3 1-1

18、PPPPttt特别注意：特别注意：Bezier曲线的定义区间为曲线的定义区间为0,111Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uBezierBezier曲线的性质曲线的性质 (1)端点性质 a.曲线端点位置矢量 由BernsteinBernstein基函数的端点性质可以推得,p(0)=P0，p(1)=Pn 由此可见由此可见,Bezier,Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。b.端点切矢量,因为 即P(0)=n(P1-P0),P(1)=n(Pn-Pn-1)这说明BezierBezier曲线的起

19、点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。c.端点二阶导矢 即:上式表明:2 2阶导矢只与相邻的阶导矢只与相邻的3 3个顶点有关个顶点有关,事实上事实上,r,r阶导矢只与阶导矢只与(r+1)(r+1)个相邻点有关个相邻点有关,与更远点无关与更远点无关。101,1,1)()()(nininiitBtBPntP202,12)()2()1()(niniiiitBPPPnntP)2)(1()0(012PPPnnP)2)(1()1(21nnnPPPnnP12 如图示构造一条曲线，由两段R和S组成，这条曲线的

20、形状将在连接点S3/R0的周围被改变。为了保持连续性，我们必须在R1、R0/S3和S3三个点上同时进行操作。可以按下面的方法来达到这一目的：保持线段R1、S2的方向，在此方向上对R1、R0/S3和S3三个点进行移动；保持连接点R0/S3的位置，并绕这一点旋转线段R1S2；整体固定R1、R0/S3和S3三个点，再进行移动。这三种编辑方式可以改变由任意数量的曲线段组成的曲线的形状，而同时可以保持各曲线段之间的一阶连续性。稍后，我们将看到，Bezier曲线的这种复杂性可以通过B样条曲线来克服。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础13Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲

21、面造型的几何理论基础uBezierBezier曲线的性质曲线的性质 (2)对称性 颠倒控制点顺序,即控制顶点 构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，仅走向相反。这个性质说明BezierBezier曲线在起点处有什么几何性质曲线在起点处有什么几何性质,在终点处也有相同的性质在终点处也有相同的性质。(3)凸包性 由于 ，且 ，这一结果说明当t在0,1区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点Pi的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在0,1中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。(4)几何不变性 这是指某些几何特

22、性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi（i=0,1,n）的位置有关,它不依赖坐标系的选择。(5)变差缩减性 (6)仿射不变性),.,1,0(*niPPini1)(0,ninitB),.,1,0,1(0 1)(0,nittBni)(,tBni14uBezier曲线的递推(de Casteljau)算法 计算Bezier曲线上的点,可用Bezier曲线方程,但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础15Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础16Catia曲线

23、曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础17Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 这一算法隐含说明任一Bezier曲线均可被分割为两段Bezier曲线。第一段由P0,P01,P02,P03 确定,参数空间为0,1/3;第二段由P03,P12,P21,P3确定,参数空间为1/3,1,分割后的曲线形状保持不变。18Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础19Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uBezierBezier曲线的升阶曲线的升阶(精确精确)所谓升阶是指保持保持BezierBezier曲线的形状与方向不变曲线

24、的形状与方向不变,增加定义它的控制顶点数,也即是提高该Bezier曲线的次数。增加了控制顶点数,不仅能增加了对曲线进行形状控制的灵活性,还在构造曲面方面有着重要的应用。对于一些由曲线生成曲面的算法,要求那些曲线必须是同次的曲线必须是同次的,应用升阶的方法,我们可以把低于最高次数的把低于最高次数的的曲线提升到最高次数的曲线提升到最高次数,使得各条曲线具有相同的次数使得各条曲线具有相同的次数。曲线升阶后,原控制顶点会发生变化。下面,我们来计算曲线提升一阶后的新的控制顶点。设给定原始控制顶点 ,定义了一条n n次BezierBezier曲线:增加一个顶点后,仍定义同一条曲线的新控制顶点为 ,则有:对

25、上式左边乘以(t+(1-t),得到:比较等式两边 项的系数,得到:化简即得:其中P-1=P n+1=0。此式说明:新的控制顶点新的控制顶点P Pi i*是以参数值是以参数值 i/(n+1)i/(n+1)按分段线性插值从原始特征多边形得出的按分段线性插值从原始特征多边形得出的。升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内。特征多边形更靠近曲线。1,0)()(,0ttBPtPninii*1*1*0,.,nPPP 110,.,nPPP101*10)1()1(niiniiinniiniiinttPCttPC101*1011)1()1()1(niiniiinniiniiniiinttPCttttPCi

26、nitt1)1(11*1iiniiniinPCPCPC1)n0,1,.,(i )11(11*iiiPniPniP20Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础黄色线为原始曲线，3阶2次曲线，n2。绿色点为3阶2次曲线控制点，包括首尾共3个点。升阶为4阶3次曲线：继续升阶为5阶4次曲线：33433231423130413040;)321(32;)311(31;PPPPPPPPPP43544342534241524140514050;)431(43;)421(42;)411(41;PPPPPPPPPPPPP1334142423),(504030PPP31P52P51P41P42

27、P53P),(544332PPP214控制点控制点5控制点控制点桥接时，右边曲面桥接时，右边曲面A边界具有边界具有5阶阶5控制点，取控制点，取5控制点与其相同，左边曲面控制点与其相同，左边曲面B边界边界具有具有4阶阶4控制点，故先对其升阶至控制点，故先对其升阶至5阶阶5控制点。然后根据设定的边界连续生成桥控制点。然后根据设定的边界连续生成桥接面。接面。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础22Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uBezierBezier曲线的曲线的降阶降阶(逼近逼近)降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点Pi(i=0,1,

28、.,n)定义的n n次BezierBezier曲线,要求找到一条由新控制顶点Pi*(i=0,1,.,n-1)定义的n-1n-1次BezierBezier曲线来逼近原始曲线。假定Pi是由Pi*升阶得到,则由升阶公式有:从这个方程可以导出两个递推公式：和 其中第一个递推公式在靠近P0处趋向生成较好的逼近，而第二个递推公式在靠近Pn处趋向生成较好的逼近。*1*iiiPniPninP1-n0,1,.,i *1*iniPnPPiii,.,11,i )(*1nniPinnPPiii23Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 Bezier曲线具有很多优越性,但有二点不足:1)特征多边

29、形顶点数决定了它的阶次数,当n较大时,不仅计算量增大,稳定性降低,且控制顶点对曲线的形状控制减弱;2)不具有局部性,即修改一控制点对曲线产生全局性影响，因为在整个参数取值范围内，所有基函数的值都是非零的。uB B样条曲线样条曲线 1972年Gordon等用B样条基代替BernsteinBernstein基函数,从而改进上述缺点。B样条曲线是由任意数量的曲线段组成的完全的分段三次多项式（为了表示上的方便，我们将只讨论三次B样条。但是，B样条可以有任意阶）空间n+1n+1个顶点的位置矢量P Pi(i=0,1,i(i=0,1,。,n),n)构造n-2n-2段三次(k=3,k=3,四阶四阶)均匀B样条

30、曲线段,每相邻四个点可定义一曲线段Pi(u)(i=1,。,n-2),其定义表达为:23,313,23,113,02313232132i1ii1-i23)()()()(3!133313!13643!113!1 1u0 2;-n1,.,i PPPP 00011333-40631331-1 61)(iiiiiiiiiPuNPuNPuNPuNPuPuuuPuuPuuuuuP24 端点二阶导数矢量端点二阶导数矢量：即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因Pi”(1)=Pi+1”(0)）。若 三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B样条曲

31、线将产生拐点；若 四点共线，则Pi(u)变成一段直线；若 三点重合，则Pi(u)过Pi 点。端点位置矢量端点位置矢量:即起点位于三角形Pi-1 Pi Pi+1中线Pi M1的1/3处,终点位于三角形Pi Pi+1 Pi+2中线Pi+1 M2的1/3处。可见B B样条曲线的端点并不通过控制点样条曲线的端点并不通过控制点。端点一阶导数矢量端点一阶导数矢量：即曲线段起点的切矢平行于三角形Pi-1 Pi Pi+1的底边Pi-1Pi+1，其模长为底边Pi-1Pi+1长的1/2,同样曲线终点的切矢平行于三角形Pi Pi+1 PI+2的底边PiPi+2，其模长为底边PiPi+2长的1/2。且相邻两曲线段具有

32、一阶导数连续（因Pi(1)=Pi+1(0)）。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础),4(61)1(),4(61)0(2111iiiiiiiiPPPPPPPP),0(2/)()1(,2/)()0(1211iiiiiiiPPPPPPP),0(2)1(,2)0(121 11 iiiiiiiiiPPPPPPPPP11,iiiPPP211,iiiiPPPP11,iiiPPP25uB B样条曲线的一般定义样条曲线的一般定义 已知n+1n+1个控制点Pi(i=0,1,。,n),也称为特征多边形的顶点,定义(n+1n+1k)k)段k k次(k+1k+1阶)B B样条曲线的表达式是:

33、其中 是调和函数调和函数，也称为基函数基函数，按照递归公式可定义为：式中ti是节点（Knot）值，且为非减序列，构成了K次（K+1阶）B样条基函数的节点矢量。每一个控制点对应一个基函数，故基函数个数控制点数基函数个数控制点数；同时每一个基函数由对应的K+2个节点决定；节点数目由控制顶点Pi（i0，1，。，n）和曲线的次数K所确定：节点数节点数n+k+2n+k+2。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础t,tun,k ,)()(1nk0,nikiiuNPuC)(,uNkit,tu0,k t)(000t)()(0t 1)(1kii11ki-1k,11ki-1k,k,1i0,

34、iikiiiiiiituNuttuNtuuNtuuN）（）（其它其它若若 110,.,knkntttT特别注意：特别注意：B样条曲线的定义区间为：样条曲线的定义区间为：t,t1nk 26uB-样条基函数的局部性样条基函数的局部性2022-12-526上为零。上为零。上取正值，在其它区间上取正值，在其它区间只在区间只在区间 ),)(,1 kiikittuN)(),.,(),(,uNuNuNkikkikki1 分段多项式。分段多项式。从而在整个参数轴上是从而在整个参数轴上是的多项式的多项式上都是次数不高于上都是次数不高于在每个区间在每个区间 ,),)(,kttuNkiiki1 Catia曲线曲面造

35、型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础：个个基基函函数数非非零零，它它们们是是上上至至多多只只有有在在每每个个区区间间11 kttii),272022-12-527,1)(10,nknikittuuNCatia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uB-样条基函数的权性样条基函数的权性次次参参数数连连续续。重重节节点点处处至至少少为为在在 )(,lkltNki 111ikikiikikikittuNttuNkuN)()()(,uB-样条基函数的连续性样条基函数的连续性28Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 )(.)()(,tu )()(0t 1)(

36、0 B0,0,110,001000,1i0,uNPuNPuNPtuNPuPtuuNnnnniiiii 其它其它若若次基函数次基函数样条曲线之样条曲线之)(0,uNi的图形的图形)(0,uNi0t1tit1nt0P1PiPnP的图形的图形)(uP29Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 段曲线段段曲线段第第段曲线段段曲线段第第段曲线段，为一直线段段曲线段，为一直线段第第掉掉但不属于定义范围，去但不属于定义范围，去开始，故此段曲线存在开始，故此段曲线存在因定义区间从因定义区间从其它其它次基函数次基函数样条曲线之样条曲线之n ),.2 ),1 ),1t ),)(.)()(,

37、t )()(0 ),),),)()()(1 B121111322232123321112101221000101,1,111,001101,211221120,11220,11,nnnnnnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittuPtttuPttutttuPtttuPttutttuPtttuPttutttuPtttuuNPuNPuNPtuuNPuPttuttutttutttuttuuNttutuNtttuuN的的图图形形 )(1,uNi)(1,uNi300t1tit1nt2t2ntnPiP0P1PB样条定义区间：样条定义区间：t,t1n1)(1,0uN1)(1,1uN

38、)(1,uNi)(1,uNn)(1,1uNn Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uB样条曲线之样条曲线之1次基函数及次基函数及1次曲线次曲线it2i t31Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 其它其它 0 ),)(),)()(),)(),)()()(321,1133211,11331,211,231,11331,22,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittuuNttutttuuNttutuNtttuttuuNtttuttuuNttutuNtttuuNuB样条曲线之样条曲线之2次基函数次基函数32Catia曲

39、线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础iiiiiiiiiiiiiiiiiiiitttutttuuNtttutttuuNtttuuNttu 120,121,22,1 )()()(),时时当当12113312220,11211330,112221,11331,22,21 )()()()()(),iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitttuttutttuttttuuNtttuttutuNttuttttuuNttutuNtttuuNttu时时当当2331330,22331331,11332,32 )()()(),iiiiiiiiiiiiiiiiiiii

40、ttutttutuNttutttutuNttutuNttu时时当当uB样条曲线之样条曲线之2次基函数次基函数33Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 其它其它 0 ),),),),)()()(3223313321121133122211231,11331,22,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittuttutttutttutttuttutttuttttuttutttutttuttuuNttutuNtttuuNuB样条曲线之样条曲线之2次基函数次基函数34Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 段曲

41、线段段曲线段第第段曲线段段曲线段第第段曲线段段曲线段第第同上，去掉同上，去掉不在定义范围内，去掉不在定义范围内，去掉开始，此段曲线存在但开始，此段曲线存在但因定义区间从因定义区间从n ),2 ),1 ),),2t ),)(.)()(,t )()(1121122111112111!1433343353234335534424213442443222322421232244233131023313321112113101211331220201000100201,1,111,001202,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnniiittuPtttutttuPtttutt

42、utttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuttuPtttutttuuNPuNPuNPtuuNPuPuB样条曲线之样条曲线之2次曲线次曲线35Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础。即即各各控控制制点点连连线线的的中中点点；均均匀匀分分布布，则则简简化化为为：的的连连线线上上，若若和和的的起起点点落落在在上上式式表表明明第第一一段段曲曲线线段段时时，当当时时，当当213

43、102102242312434331131201323222121)(2121)()()(PPtPPPtPtPPPttttPtttttPtuPttttPtttttPtui uB样条曲线之样条曲线之2次曲线次曲线360t1t1nt2t2ntnP0P1P2次次B样条定义区间：样条定义区间：t,t1n2)(2,0uN1)(2,1uN)(2,uNi)(2,uNn)(2,1uNn Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uB样条曲线之样条曲线之2次基函数及次基函数及2次曲线次曲线it3i t3 nt2P1 nP 当t0=t1=t2时，t2之前的基函数值为常数0，即图中虚线框内的基函

44、数曲线段将不再存在。原来ut2,tn+137Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uB样条曲线之样条曲线之2次曲线次曲线-重节点值重节点值 t0=t1=t20 段曲线段段曲线段第第段曲线段段曲线段第第，22112143212211102132322310032221232103343353234335534424213442442212022102232242123224423313102331332111211310121133122020100010020111111000254321043210210210 ),)()()(),)()(),),t )(.)()()

45、()(,2,uPuPuPuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutuPuPuPuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuttuPtttutttutuuNPuNPuNPuNPuPtttttttttttmtttmtttnnnniii3801 nt2 nt0P1P2次次B样条定义区间：样条定义区间：t0,1n 0,1)(,uN2010,1)(,uN21Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础11 nt3 nt2P3P000,1)(,uN221,2)(,uN221

46、,2)(,uN211,2)(,uN232第一段曲线段第二段曲线段2 nt3 ntuB样条曲线之样条曲线之2次曲线次曲线-重节点值重节点值 t0=t1=t20，t3=1,t4=2,tn,tn+1,tn+2,tn+3。此时此时B样条曲线的起点与控制多边形的起点重合。样条曲线的起点与控制多边形的起点重合。390t1t1nt2t2ntnP0P1P3次次B样条定义区间：样条定义区间：t,t1n2)(3,0uN1)(3,1uN)(3,uNi)(3,uNn)(3,1uNn Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础uB样条曲线之样条曲线之3次基函数及次基函数及3次曲线（一般形式）次曲线（

47、一般形式）it4i t3 nt2P1 nP)(3,2uN)(3,3uN3t4 nt3P40Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 当节点沿参数轴是均匀等距分布的，则表示均匀B样条函数，其节点值 。例如：当n n3 3，k k3 3，。则上述基函数可表示为均匀三次B样条函数。应当注意，因节点均匀分布，基函数具有平移性，故每段曲线u的取值范围可转化为独立的0,1,而不必沿整条参数轴。0,1u 11 iitt常数常数 1iittn=3,k=3n=3,k=3单段曲线段单段曲线段定义区间：定义区间：t,t4i3i 41Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础

48、n=5,k=3n=5,k=3三段曲线段三段曲线段定义区间：定义区间：3,642Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 当节点沿参数轴不等距分布时，则表示非均匀当节点沿参数轴不等距分布时，则表示非均匀B B样条函数，即节点值样条函数，即节点值 常数常数。均匀均匀B B样条和非均匀样条和非均匀B B样条曲线一般不通过控制多边形首末端点样条曲线一般不通过控制多边形首末端点。若需B样条曲线具有较好的端点性质（即通过端点），实际引用中常引入准均匀准均匀B B样条样条，即对节点矢量中两端节点赋予k+1k+1个重复度：这样构造的准均匀B样条曲线将通过控制多边形的首末端点。如对n n5

49、 5，k k2 2的准均匀B样条，节点数量为：n+k+29，节点矢量为T0,0,0,1,2,3,4,4,40,0,0,1,2,3,4,4,4。1iitt。.,.,.12110 knnnktttttt 如对n n3 3，k k3 3的准均匀B样条，节点数量为：n+k+28，节点矢量为T0,0,0,0,1,1,1,1,10,0,0,0,1,1,1,1,1。此时3次B样条曲线转化为3次Bezier曲线。推而广之，节点矢量为：此时k次B样条曲线为k次Bezier曲线，可见Bezier曲线是B样条曲线的一个特例。,.,.,1k1k 1100T43Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论

50、基础44Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础 n n5 5，k k3 3的准均匀B样条，节点数量为：n+k+2n+k+21010，节点矢量为T0,0,0,0,1,2,3,3,3,3,30,0,0,0,1,2,3,3,3,3,3。由3段曲线段组成。只是现在这条曲线的首末端点与首末控制点重合。原因是出现了多个相同的节点值，实际上这条曲线共有9个片段，Q0Q8，但是Q0，Q1，Q2缩减为一个点（即为P0），Q3,Q4,Q5在0u3范围内定义，而Q6,Q7,Q8也缩减为一个点（即为P5）。45Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线曲面造型的几何理论基础n n8 8，k k3