小学数学问题解决的教学研究课件.ppt

1、小学数学 问题解决的教学研究例 n“52“52型拖拉机，一天耕地型拖拉机，一天耕地150150亩，问亩，问1212 天耕地多少亩？天耕地多少亩？”n一位学生是这样解答的：一位学生是这样解答的：525215015012=12=接下来的对话接下来的对话n“告诉我，你告诉我，你为什么为什么这么列式？这么列式？”n“老师，我错了。老师，我错了。”n“好的，告诉我，你认为正确的该怎么好的，告诉我，你认为正确的该怎么 列式？列式？”n“除。除。”n“怎么除？怎么除？”n“大的除以小的。大的除以小的。”接下来的对话接下来的对话n“为什么为什么是除呢？是除呢？”n“老师，我又错了。老师，我又错了。”n“你说，

2、对的该是怎样呢？你说，对的该是怎样呢？”n“应该把它们加起来。应该把它们加起来。”启而不发启而不发n“我们换一个题目，比如你每天吃两个我们换一个题目，比如你每天吃两个 大饼，大饼，5 5天吃几个大饼？天吃几个大饼？”n“老师，我早上不吃大饼的。老师，我早上不吃大饼的。”n“那你吃什么？那你吃什么？”n“我经常吃粽子。我经常吃粽子。”n“好，那你每天吃两个粽子，好，那你每天吃两个粽子，5 5天吃几个天吃几个 粽子？粽子？”启而不发启而不发n“老师，我一天根本吃不了两个粽子。老师，我一天根本吃不了两个粽子。”n“那你能吃几个粽子？那你能吃几个粽子？”n“吃半个就可以了。吃半个就可以了。”n“好，那

3、你每天吃半个（小数乘法没学）好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，粽子，5 5天吃几个粽子？天吃几个粽子？”n“两个半。两个半。”n“怎么算出来的？怎么算出来的？”n“两天一个，两天一个，5 5天两个半。天两个半。”学生在问题解决中碰到的一个很大的困惑学生在问题解决中碰到的一个很大的困惑是不知从哪下手来分析问题？不知道有什么好是不知从哪下手来分析问题？不知道有什么好的问题解决的方法？如何让学生在自主的讨论的问题解决的方法？如何让学生在自主的讨论中去发现问题和解决问题？在问题解决方法这中去发现问题和解决问题？在问题解决方法这方面怎样对学生进行指导？方面怎样对学生进行指导？思考：这个学生缺的究竟

4、是什么？有关有关“问题解决问题解决”教学，我们聚焦到以下四个问题教学，我们聚焦到以下四个问题：n问题解决的内涵与外延问题解决的内涵与外延n问题解决课程目标的解读问题解决课程目标的解读n问题解决的方法体系问题解决的方法体系n发展学生问题解决能力的措施发展学生问题解决能力的措施问题解决的内涵与外延问题解决的内涵与外延n问题解决的内涵问题解决的内涵n观点观点1 1：问题解决是应用数学的过程问题解决是应用数学的过程 美国数学指导委员会（美国数学指导委员会（N NCSMCSM）在）在2121世纪的数学基础中指出：世纪的数学基础中指出：“问题解决是把问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过

5、程前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程”。n观点观点2 2：问题解决是一种能力：问题解决是一种能力 英国的考克罗夫特等人称：英国的考克罗夫特等人称：“那种把数学用于各种情况的能力，我们叫做问题解那种把数学用于各种情况的能力，我们叫做问题解决。决。”n观点观点3 3：问题解决是数学学习的目的：问题解决是数学学习的目的 美国学者西尔弗指出：美国学者西尔弗指出：“20“20世纪世纪8080年代以来，世界上几乎所有的国家都是把提高年代以来，世界上几乎所有的国家都是把提高学生问题解决能力作为数学教育的主要目的之一。学生问题解决能力作为数学教育的主要目的之一。”问题解决的内涵与外延问题解决的内涵

6、与外延n问题解决的内涵问题解决的内涵n观点观点4 4：问题解决是一种教学模式问题解决是一种教学模式 英国的考克罗夫特报告中提到：英国的考克罗夫特报告中提到：“将将问题解决问题解决的活动形式看做教或学的类型的活动形式看做教或学的类型”。n各有侧重，实质是一脉相通的。各有侧重，实质是一脉相通的。问题解决是一种在问题解决是一种在应用数学应用数学的过程中形成的的过程中形成的数学能力。数学能力。n观点观点5 5：问题解决是一种学习方式：问题解决是一种学习方式 美国心理学家加涅、现代认知心理学、建构主义等。美国心理学家加涅、现代认知心理学、建构主义等。n你的观点呢？你的观点呢？n 从问题解决学习的心理活动

7、来看，它是一种以从问题解决学习的心理活动来看，它是一种以问题问题为目标定向，以为目标定向，以思考思考为内涵的为内涵的探索活动。是指学生面临探索活动。是指学生面临新新的问题情境，发现它与主客观需要有矛盾但又的问题情境，发现它与主客观需要有矛盾但又缺乏现成对缺乏现成对策策时所引起的探究处理问题方法的学习心理活动。时所引起的探究处理问题方法的学习心理活动。问题解决的内涵与外延问题解决的内涵与外延n问题解决的外延问题解决的外延n分类分类1 1：根据前四种观点（侧重于数学的应用）根据前四种观点（侧重于数学的应用）根据应用的范围，将问题解决分为纯数学的问题解决与数学的现实问题解决两类根据应用的范围，将问题

8、解决分为纯数学的问题解决与数学的现实问题解决两类。n分类分类2 2：根据第五种观点（侧重于学习、认知的方式）根据第五种观点（侧重于学习、认知的方式）分为获取知识、应用知识和问题解决两大类。分为获取知识、应用知识和问题解决两大类。问题解决问题解决获取数学知识的问题解决获取数学知识的问题解决应用数学知识的问题解决应用数学知识的问题解决现实问题解决现实问题解决数学问题解决数学问题解决获取数学知识的问题解决获取数学知识的问题解决问题特征：问题特征：1 1、是初次遇到的新问题、是初次遇到的新问题2 2、是克服障碍的探究活动、是克服障碍的探究活动3 3、能生成新的知识、能生成新的知识获取数学知识的问题解决

9、获取数学知识的问题解决问题解决式数学学习的一般步骤：问题解决式数学学习的一般步骤：感知问题感知问题 分析问题分析问题 解决问题解决问题 检验评价检验评价感知规律：感知规律：强度律强度律 差异律差异律 活动律活动律 变式律变式律 协同协同律律 第一学段第一学段第二学段第二学段 1 1、能能在教师的指导下，从日常生在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。并尝试解决。2 2、了解了解分析问题和解决问题的一分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一问题可以有些基本方法，知道同一问题可以有不同的解决方法。不同的解决方法。3 3、体验体验与他人合作交

10、流解决问题与他人合作交流解决问题的过程。的过程。4 4、尝试尝试回顾解决问题的过程。回顾解决问题的过程。1 1、尝试尝试从日常生活中发现并提出简单从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。的数学问题，并运用一些知识加以解决。2 2、能能探索分析和解决简单问题的有效探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。方法，了解解决问题方法的多样性。3 3、经历经历与他人合作交流解决问题的过与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。程，尝试解释自己的思考过程。4 4、能能回顾解决问题的过程，初步判回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。断结果的合理性。问题

11、解决课程目标的解读问题解决课程目标的解读问题解决课程目标的解读问题解决课程目标的解读总体目标总体目标 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数数学的思维方式学的思维方式进行思考，增强进行思考，增强发现发现和和提出问题提出问题的能力的能力、分析、分析和和解决问题解决问题的能力。的能力。具体含义具体含义初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强际问题，增强应用意识，应用意识，提高提高实践能力实践能力。获得

12、分析问题和解决问题的一些获得分析问题和解决问题的一些基本方法基本方法，体验解决问题，体验解决问题方法的多样性方法的多样性，发展，发展创新意识创新意识。学会与他人学会与他人合作交流合作交流。初步形成初步形成评价与反思评价与反思的意识。的意识。问题解决课程目标的解读（关键词）问题解决课程目标的解读（关键词）发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力 解决问题的基本方法，方法（策略）的多样性解决问题的基本方法，方法（策略）的多样性 独立思考、合作解决问题独立思考、合作解决问题 反思解决问题的过程和结果（回顾、解释、评价反思解决问题的过程和结果（回顾、解释

13、、评价 提提升）升）价值价值应用意识、思维能力、实践能力、创新意识、运算能力应用意识、思维能力、实践能力、创新意识、运算能力你发现了什么？你发现了什么？你还能提出什么数学问题？你还能提出什么数学问题？安排专门的题目让学生利用情境中的信息提出数安排专门的题目让学生利用情境中的信息提出数学问题并尝试加以解决。学问题并尝试加以解决。问题解决的方法体系问题解决的方法体系小学数学问题解决方小学数学问题解决方法法基本方法基本方法辅助方法辅助方法特殊方法特殊方法分析法分析法综合法综合法图示法图示法列表法列表法枚举法枚举法假设法假设法倒推法倒推法分析法与综合法的含义分析法与综合法的含义 所谓所谓“分析分析”是

14、指将事物的整体分解成几个部分、方面或因素是指将事物的整体分解成几个部分、方面或因素，分别加以考察、研究，从而认识事物本质的方法与过程。分别加以考察、研究，从而认识事物本质的方法与过程。所谓所谓“综合综合”是指将事物的各个部分、方面或因素结合起来是指将事物的各个部分、方面或因素结合起来，搞，搞 清它们之间的联系，从整体上认识事物的本质、规律和方法清它们之间的联系，从整体上认识事物的本质、规律和方法 与过程。与过程。分析是综合的基础，综合是分析的整合。分析是综合的基础，综合是分析的整合。如：认识梯形，首先分析，然后综合。如：认识梯形，首先分析，然后综合。分析法与综合法的含义分析法与综合法的含义n何

15、谓分析法？何谓分析法？n从问题或结论入手，思考解决这个问题或得出这个结论需从问题或结论入手，思考解决这个问题或得出这个结论需要哪些条件，一步一步地追溯到所有条件都是已知为止。要哪些条件，一步一步地追溯到所有条件都是已知为止。n何谓综合法？何谓综合法？n从已知条件入手，思考经过怎样的运算或推理，可以一步从已知条件入手，思考经过怎样的运算或推理，可以一步一步得到问题的答案或结论。一步得到问题的答案或结论。整体整体局部局部分析分析综合综合问题问题条件条件分析法分析法综合法综合法分析法与综合法的教学实践分析法与综合法的教学实践n第一阶段：分析法与综合法的第一阶段：分析法与综合法的导出导出n分析法与综合

16、法的渗透、蕴伏，可以从一年级开始，到学分析法与综合法的渗透、蕴伏，可以从一年级开始，到学习解决两步计算的实际问题时再明确导出。习解决两步计算的实际问题时再明确导出。n例例1 1：二年级有：二年级有3030名学生参加美术兴趣小组，其中有名学生参加美术兴趣小组，其中有1212名名女生。二年级参加美术兴趣小组的男生比女生多几人？女生。二年级参加美术兴趣小组的男生比女生多几人？n从问题出发想从问题出发想n从条件出发想从条件出发想“看问题，想条件看问题，想条件”与与“看条件，想问题看条件，想问题”综合法的思路可以结合读题，边读边想，比综合法的思路可以结合读题，边读边想，比较自然，分析法的思路，有时需要教

17、师点拨。较自然，分析法的思路，有时需要教师点拨。分析法与综合法的教学实践分析法与综合法的教学实践n第二阶段：分析法与综合法的第二阶段：分析法与综合法的感悟感悟n让学生感悟有些问题比较适合从问题入手思考，有些问题让学生感悟有些问题比较适合从问题入手思考，有些问题 则相反。则相反。（优化）（优化）n技巧：技巧：先将条件遮住，使学生只看到问题。先将条件遮住，使学生只看到问题。n例例2：一批零件，原来每天加工：一批零件，原来每天加工25个，个，6天完成一半，以天完成一半，以 后提高了工效，每天多加工后提高了工效，每天多加工5个。把剩下的零件加工完，个。把剩下的零件加工完，还要几天还要几天?n看问题想条

18、件：看问题想条件：剩下的零件个数剩下的零件个数每天加工个数每天加工个数还要天数还要天数=乙加工零件个数乙加工零件个数每天每天2525个个每天多加工每天多加工5 5个个每天每天2525个个加工加工6 6个个分析法与综合法的教学实践分析法与综合法的教学实践 例例3：果园里有：果园里有10行桃树，每行行桃树，每行12棵，梨树比桃树的棵，梨树比桃树的2倍倍多多8棵。果园里有多少棵梨树？棵。果园里有多少棵梨树？n困惑：困惑：由问题入手无从思考由问题入手无从思考n改变想法：改变想法：看条件想问题看条件想问题n由前两个条件，由前两个条件，1210，得到桃树棵树，再根据第三个，得到桃树棵树，再根据第三个条件，

19、可以求出梨树棵树。条件，可以求出梨树棵树。n比较：比较：例例2的问题叙述中带有明显的提示的问题叙述中带有明显的提示“剩下的剩下的”“”“还还要几天要几天”，因此比较适合，因此比较适合“执果索因执果索因”；例；例3的问题，只的问题，只是告诉了要求的未知数是什么，没有半点提示，只能是告诉了要求的未知数是什么，没有半点提示，只能“由由因导果因导果”。n价值：价值：旨在让学生获得针对问题特点，选择思路的体验。旨在让学生获得针对问题特点，选择思路的体验。第三阶段：分析法与综合法的第三阶段：分析法与综合法的灵活运用灵活运用例例4 4回顾：回顾：你是怎样上的？你是怎样上的？意义：意义：既可用分析法，既可用分

20、析法，又适合揭示综合法的多又适合揭示综合法的多样性，因为三个条件，样性，因为三个条件，两两组合，它们的乘积两两组合，它们的乘积都有实际意义，且都能都有实际意义，且都能直观图示。直观图示。追问：追问：你是怎样想的？你是怎样想的？第三阶段：分析法与综合法的第三阶段：分析法与综合法的灵活运用灵活运用n例例5 5：计划生产：计划生产50005000只足球，每天生产只足球，每天生产625625只，已经生产了只，已经生产了7 7天，还要生产多少天？天，还要生产多少天？n看问题想条件看问题想条件n看条件想问题看条件想问题n意义：意义：两种不同的思路，相当自然地得出两种不同的思路，相当自然地得出了两种不同的解

21、法。而且能够分出高下：了两种不同的解法。而且能够分出高下：顺向思维，边读边想，居然能够得出更简顺向思维，边读边想，居然能够得出更简捷的解法。捷的解法。分析法与综合法的教学实践分析法与综合法的教学实践n通过一些具体实例，让学生经历从局部到整体、从整体到通过一些具体实例，让学生经历从局部到整体、从整体到局部的思考过程，体会分析与综合的心理学意义。局部的思考过程，体会分析与综合的心理学意义。n例例6 6：如图，从：如图，从A A地至地至B B地是地是320320米平路，从米平路，从B B地至地至C C地是地是370370米下坡路，从米下坡路，从C C地至地至D D地是地是240240米平路。甲、乙两

22、人上坡、米平路。甲、乙两人上坡、下坡及走平路的速度都是每分钟下坡及走平路的速度都是每分钟5050米、米、110110米、米、8080米。两米。两人分别从人分别从A A、D D两地同时出发，经过多少分钟他们在途中相两地同时出发，经过多少分钟他们在途中相遇？遇？n分析：分析：由于路程、速度不都相同，常规解法受阻。感悟分由于路程、速度不都相同，常规解法受阻。感悟分段计算，逐步靠拢的方法。段计算，逐步靠拢的方法。A AB BC CD D分析法与综合法的教学实践分析法与综合法的教学实践n通过一些具体实例，让学生经历从局部到整体、从整体到通过一些具体实例，让学生经历从局部到整体、从整体到局部的思考过程，体

23、会分析与综合的心理学意义。局部的思考过程，体会分析与综合的心理学意义。n例例7 7：小明写了一个三位数，它的各位数字都不相同。他：小明写了一个三位数，它的各位数字都不相同。他把三个数字重新排列，得到一个最大数、最小数，结果发把三个数字重新排列，得到一个最大数、最小数，结果发现所得最大、最小数的差，就是原来的三位数。想一想，现所得最大、最小数的差，就是原来的三位数。想一想，小明写的那个三位数是多少？小明写的那个三位数是多少？n分析：分析：这里的这里的“差差”是综合了其他所有条件得出的，因此是综合了其他所有条件得出的，因此需要从整体上思考。需要从整体上思考。a b c a b cc b ac b

24、a c 9 b c 9 b首先发现差的十位数字是一定是首先发现差的十位数字是一定是9 9，即，即a a是是9.9.然后试探发现，差然后试探发现，差只能是只能是c9b,c9b,进而推出进而推出c c是是4 4，b b是是5.5.图示法的教学实践图示法的教学实践 儿童因年龄的局限，对符号运算性质的推儿童因年龄的局限，对符号运算性质的推理可能会比较困难，运用作图辅助的策略，让理可能会比较困难，运用作图辅助的策略，让他们在纸上涂涂画画可以拓展思路，帮助他们他们在纸上涂涂画画可以拓展思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此，找到解决问题的关键。因此，“画图画图”也是一也是一种常用的解决问题的策略。种常用的

25、解决问题的策略。示意图示意图与线段图与线段图n图示教学的渗透可以从一年级起，如引导学生画图示教学的渗透可以从一年级起，如引导学生画图表示数，画图说明计算结果等。到解决实际问图表示数，画图说明计算结果等。到解决实际问题时，就可以放手让学题时，就可以放手让学“把应用题画出来把应用题画出来”。这。这时的题目，涉及的数量较小，可以让学生用自己时的题目，涉及的数量较小，可以让学生用自己喜欢的方式表示。这样的图姑且称之为喜欢的方式表示。这样的图姑且称之为“示意图示意图”。如：一上如：一上几何直观、数形结合思想几何直观、数形结合思想示意图与线段图示意图与线段图示意图与线段图示意图与线段图n随着教学的进展，再

26、相机引进随着教学的进展，再相机引进“线段图线段图”。实践研究表。实践研究表明，引进线段图的契机很多。比较发现，教学求一个数明，引进线段图的契机很多。比较发现，教学求一个数的几倍是多少时引出，优势更为明显。的几倍是多少时引出，优势更为明显。如：教材三上如：教材三上P51页、页、p52页页数缺形时少直观，形少数时难入微。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。数形结合百般好，隔离分家万事休。n例例1：小胖有：小胖有6根小棒，小丁丁的小棒根数根小棒，小丁丁的小棒根数是小胖的是小胖的3倍，小丁丁有多少根小棒？倍，小丁丁有多少根小棒？n摆一摆：没那么多根小棒。摆一摆：没那么多根小

27、棒。n想办法：把一根小棒横过来，表示想办法：把一根小棒横过来，表示1份。份。n摆出线段图（桌、纸）摆出线段图（桌、纸）n画出线段图画出线段图示意图与线段图示意图与线段图小胖小胖小丁丁小丁丁小胖小胖小丁丁小丁丁6 63 3倍倍树图树图（二上）（二上）韦恩图韦恩图n韦恩图是指封闭曲线内部区域直观表示集合及其关系的韦恩图是指封闭曲线内部区域直观表示集合及其关系的图形。它是以十九世纪英国数学家约翰图形。它是以十九世纪英国数学家约翰.韦恩的名字命名韦恩的名字命名的，在小学阶段通常叫做的，在小学阶段通常叫做“集合圈集合圈”。如：三上如：三上困惑：困惑：学生很难自发地想到用学生很难自发地想到用“圈圈”来表示

28、数量关系来表示数量关系对策：对策：套圈、直接介绍等套圈、直接介绍等长方形图长方形图n所谓长方形图是指用长、宽分别表示这两个量之所谓长方形图是指用长、宽分别表示这两个量之积的图形。它又叫做矩形图或面积图。积的图形。它又叫做矩形图或面积图。n例：学校长方形植物园原来长例：学校长方形植物园原来长20米、宽米、宽15米，扩米，扩建后长增加建后长增加5米、宽增加米、宽增加3米。扩建后面积增加多米。扩建后面积增加多少平方米？少平方米？n学生独立完成有困难学生独立完成有困难n常用策略：扩建后面积减去扩建前的面积常用策略：扩建后面积减去扩建前的面积n对策：画长方形图对策：画长方形图长方形图长方形图n对策一：分

29、散难点，独立完成两道准备题的图示。对策一：分散难点，独立完成两道准备题的图示。n1、学校长方形植物园原来长学校长方形植物园原来长20米、宽米、宽15米，扩米，扩建后长增加建后长增加5米、宽不变。扩建后面积增加多少米、宽不变。扩建后面积增加多少平方米？平方米？n2、学校长方形植物园原来长、学校长方形植物园原来长20米、宽米、宽15米，扩米，扩建后长不变、宽增加建后长不变、宽增加3米。扩建后面积增加多少米。扩建后面积增加多少平方米？平方米？长方形图长方形图n对策二：将例设计成选择题。对策二：将例设计成选择题。n学校长方形植物园原来长学校长方形植物园原来长20米、宽米、宽15米，扩建后米，扩建后长增

30、加长增加5米、宽增加米、宽增加3米。求扩建后面积增加多少米。求扩建后面积增加多少平方米，正确的算式是（平方米，正确的算式是（）。）。nA、53 nB、203nC、153 nD、（、（20+5）（）（15+5）2015n说明其他三个答案分别是图中的那一部分。还可说明其他三个答案分别是图中的那一部分。还可以怎样计算？以怎样计算？长方形图长方形图n长方形图是一种迁移、应用范围很广的图示方式。比较长方形图是一种迁移、应用范围很广的图示方式。比较适合直观揭示适合直观揭示“单价数量单价数量=总价总价”、“速度时间速度时间=路路程程”、“工作效率工作时间工作效率工作时间=工作总量工作总量”之类的数量关之类的

31、数量关系。系。n1、某音乐厅原来每排某音乐厅原来每排20座，有座，有15排，扩建后每排增加排，扩建后每排增加5座，增加座，增加3排。扩建后共增加多少座位？排。扩建后共增加多少座位？n2、学校原计划买、学校原计划买20只皮球，每只只皮球，每只15元，实际每只涨价元，实际每只涨价3元，并且多买元，并且多买5只。实际比计划多花多少元？只。实际比计划多花多少元？n3、生产一批机器，计划每天生产、生产一批机器，计划每天生产20台，台，15天完成，实际天完成，实际每天多生产每天多生产5台，又多生产了台，又多生产了3天。实际比计划超产多少天。实际比计划超产多少台？台？n情节内容各异，它们的数量关系抽象之后（

32、即数学模型）情节内容各异，它们的数量关系抽象之后（即数学模型）都是都是“因数变化前后的两积之差因数变化前后的两积之差”，用长方形图表示也，用长方形图表示也完全相同。完全相同。图示法的教学实践图示法的教学实践 小学数学图示法的教学序列基本成形：小学数学图示法的教学序列基本成形：示意图示意图 树图树图 线段图线段图 韦恩图韦恩图 长长方形图方形图 列表法的教学实践列表法的教学实践涵义：涵义：与图示法类似，可以顾名思义。与图示法类似，可以顾名思义。教材：教材：列表法的前期渗透，是在呈现某个实际问题列表法的前期渗透，是在呈现某个实际问题 时，插入有关数据信息的表格。时，插入有关数据信息的表格。（如一下

33、（如一下P26P26页）页）用途：用途：（1 1）主要用于统计。）主要用于统计。列表法的教学实践列表法的教学实践（2）列表帮助推算）列表帮助推算n例例1：50千克黄豆可榨油千克黄豆可榨油10千克，照这样计算，榨千克，照这样计算，榨200千克豆油需要多少千克黄豆？（三、四）千克豆油需要多少千克黄豆？（三、四）n现状：易错现状：易错n原因：两种量的单位相同，搞不清对应关系，容原因：两种量的单位相同，搞不清对应关系，容易混淆易混淆列表法的教学实践列表法的教学实践（2）列表帮助推算）列表帮助推算n例例1：50千克黄豆可榨油千克黄豆可榨油10千克，照这样计算，榨千克，照这样计算，榨200千克豆油需要多少

34、千克黄豆？（三、四）千克豆油需要多少千克黄豆？（三、四）n现状：易错现状：易错n原因：两种量的单位相同，搞不清对应关系，容原因：两种量的单位相同，搞不清对应关系，容易混淆易混淆n对策：采用列表法对策：采用列表法列表法的教学实践列表法的教学实践（2）列表帮助推算）列表帮助推算n例例2：一辆货车从甲地开往乙地，：一辆货车从甲地开往乙地，6小时行了小时行了330千米。照这样的速度，再行千米。照这样的速度，再行2小时就能到小时就能到达。甲、乙两地间的路程全长多少千米？达。甲、乙两地间的路程全长多少千米？列表法的教学实践列表法的教学实践（3）列表帮助推理）列表帮助推理n例例3：小胖、小巧、小亚分别玩跳绳

35、、踢毽子、转呼：小胖、小巧、小亚分别玩跳绳、踢毽子、转呼啦圈，一人玩一样。已知：小胖在跳绳；小巧不喜欢啦圈，一人玩一样。已知：小胖在跳绳；小巧不喜欢踢毽子。问：小巧、小亚在玩什么？踢毽子。问：小巧、小亚在玩什么？n方法：列表解，用方法：列表解，用表示在玩，用表示不在玩。表示在玩，用表示不在玩。学习图示法与列表法丰富了问题解决的辅助手段，学习图示法与列表法丰富了问题解决的辅助手段，逐步形成主动构造逐步形成主动构造直观直观、梳理梳理信息的信息的意识意识，具有长，具有长远的效能，甚至说终身受益。远的效能，甚至说终身受益。枚举法的教学实践枚举法的教学实践n枚举即一一列举，又称穷举。用枚举法解决问题，最

36、简单枚举即一一列举，又称穷举。用枚举法解决问题，最简单的是将问题的所有答案依次列举出来，更一般的是将问题的是将问题的所有答案依次列举出来，更一般的是将问题所有可能答案一一列举出来，并根据约束条件判断、筛选所有可能答案一一列举出来，并根据约束条件判断、筛选答案。答案。n例例1：两个小朋友玩：两个小朋友玩“石头、剪刀、布石头、剪刀、布”得到游戏。得到游戏。n（1）一共有多少种可能的情况？）一共有多少种可能的情况？n（2）其中甲赢、乙赢的情况各有几种？）其中甲赢、乙赢的情况各有几种？n你会怎样解答？小学生呢？你会怎样解答？小学生呢？n从数学的角度看，是一个简单的排列，共从数学的角度看，是一个简单的排

37、列，共33种情况。种情况。n小学生一般通过枚举写出各种可能，进而得出情况总数，小学生一般通过枚举写出各种可能，进而得出情况总数，并区分输赢情况。并区分输赢情况。甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 石石 剪剪 石石 布布 石石 石石 剪剪 剪剪 剪剪 布布 剪剪 石石 布布 剪剪 布布 布布 布布 石石 甲赢甲赢3种种 乙赢乙赢3种种 平平3种种 枚举法的教学实践枚举法的教学实践n例例2:128人外出考察，有两种车可供租用。除司机外，大人外出考察，有两种车可供租用。除司机外，大车限坐车限坐20人，每辆车租金人，每辆车租金200元；小车限坐元；小车限坐12人，每辆车人，每辆车租金租金140元。怎样

38、租车省钱？元。怎样租车省钱？n学生想法：学生想法：“坐满，没有空位坐满，没有空位”一定是最优方案。一定是最优方案。老师挑选的数据真奇妙老师挑选的数据真奇妙请找出最节省、第二节省的租车方案请找出最节省、第二节省的租车方案枚举法的教学实践枚举法的教学实践n例例3：有：有3件不同的上衣，件不同的上衣，2条不同的裤子，条不同的裤子，2双不同的鞋双不同的鞋，有多少种不同的穿法？，有多少种不同的穿法？n学生会怎样想？学生会怎样想？n有时，一一列举出来的情况数目很大，也可以只列举一有时，一一列举出来的情况数目很大，也可以只列举一部分，找出规律，用计算解决问题。部分，找出规律，用计算解决问题。假设法的教学实践

39、假设法的教学实践n数学问题解决经常用到假设法。比如反证法，就是首数学问题解决经常用到假设法。比如反证法，就是首先假设要证明的结论不成立，然后排出矛盾，从而肯先假设要证明的结论不成立，然后排出矛盾，从而肯定结论。定结论。在小学，通常不是假设结论不成立，在小学，通常不是假设结论不成立，而是假设某一未知数量取一个可能的而是假设某一未知数量取一个可能的值，从而化抽象为具体，以方便列式；值，从而化抽象为具体，以方便列式；或者假设某一情况，结论成立，作为或者假设某一情况，结论成立，作为推理的起点。推理的起点。假设法的教学实践假设法的教学实践n赋值计算赋值计算n例例1：男生平均体重：男生平均体重42千克，女

40、生平均体重千克，女生平均体重36千克，女千克，女生人数是男生的一半。求全班同学的平均体重。生人数是男生的一半。求全班同学的平均体重。n困惑：不知道具体人数困惑：不知道具体人数n对策：赋值计算对策：赋值计算n（4220+3610）（）（20+10）=40（千克）（千克）n（422+361）（）（2+1）=40（千克）（千克）n比较发现，假设的数据不同，之所以商相等，原来是比较发现，假设的数据不同，之所以商相等，原来是商不变的性质在起作用。商不变的性质在起作用。n（422a+36a）（）（2a+a）=40（千克）（千克）n假设赋值的实质是将代数运算转化为算术运算。假设赋值的实质是将代数运算转化为算

41、术运算。根据条件，根据条件，选择某个未知数量，假设它选择某个未知数量，假设它为一个具体的数，然后列式计算，得出答为一个具体的数，然后列式计算，得出答案。案。假设法的教学实践假设法的教学实践n赋值计算赋值计算n例例2：小华在计算一道小数减法时，把被减数十分位上：小华在计算一道小数减法时，把被减数十分位上的的8看成了看成了3，把减数百分位上的，把减数百分位上的1看成了看成了7。正确的答。正确的答案与错误的答案相差（案与错误的答案相差（）。）。n困惑：不知道是几位数、也不知道其它位上数字大小困惑：不知道是几位数、也不知道其它位上数字大小n对策：赋值计算对策：赋值计算n推理验证，拓展思维推理验证，拓展

42、思维假设法的教学实践假设法的教学实践n通过通过“假设假设 比较比较 调整调整”寻找答案。寻找答案。n思考：教学中哪里用过这种假设方法？思考：教学中哪里用过这种假设方法？n例例3：五年级：五年级42个同学去划船，一共租了大、小个同学去划船，一共租了大、小10只船只船，小船每只坐，小船每只坐3人，大船每只坐人，大船每只坐5人，正好坐满。他们人，正好坐满。他们租几只大船、几只小船？请选择画图、列表、推算等租几只大船、几只小船？请选择画图、列表、推算等方法解答。方法解答。n画图：画图：根据条件，假设一个数，通过计算、根据条件，假设一个数，通过计算、比较，发现不符合其他某个条件，比较，发现不符合其他某个

43、条件，然后加以调整，直到得出答案。然后加以调整，直到得出答案。假设法的教学实践假设法的教学实践n“假设假设 比较比较 调整调整”（置换）（置换）n波利亚对波利亚对“鸡兔同笼鸡兔同笼”的古算题问题情有独钟，因为的古算题问题情有独钟，因为存在存在“少试探、少猜测、多推理少试探、少猜测、多推理”的出其不意的简捷的出其不意的简捷解法。解法。n推算：假设推算：假设10只都是大船或假设只都是大船或假设10只都是小船。只都是小船。假设法的教学实践假设法的教学实践n假设作为推理的起点。假设作为推理的起点。n逻辑推理要求以正确的判断为前提，从正确的前提出发，才能推逻辑推理要求以正确的判断为前提，从正确的前提出发

44、，才能推出正确的结论。然而有时事先并不知道那个判断是正确的，可以出正确的结论。然而有时事先并不知道那个判断是正确的，可以先假设某个判断（或选项）是正确的，作为推理的起点，如果能先假设某个判断（或选项）是正确的，作为推理的起点，如果能够推出没有矛盾的结论，则假设正确；如果推出矛盾，则假设错够推出没有矛盾的结论，则假设正确；如果推出矛盾，则假设错误。误。n例例1：学校操场上的旗杆高：学校操场上的旗杆高12（）。）。nA、厘米、厘米 B、分米、分米 C、米、米n学生思维：自发用上学生思维：自发用上“假设推理假设推理”n假设旗杆是假设旗杆是12分米，则分米，则12分米约等于我的身高，而旗杆高远大于分米

45、约等于我的身高，而旗杆高远大于我的身高，推出矛盾，否定假设。我的身高，推出矛盾，否定假设。假设法的教学实践假设法的教学实践n假设作为推理的起点。假设作为推理的起点。n例例2：实验小学小提琴独奏比赛由五名评委打分，计分时，先去：实验小学小提琴独奏比赛由五名评委打分，计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，再算出平均分作为该选手的最后得掉一个最高分和一个最低分，再算出平均分作为该选手的最后得分。下面是一名选手的计分表：分。下面是一名选手的计分表：n其中第五位评委打的分数看不清了，统计员说，他只记得最高分其中第五位评委打的分数看不清了，统计员说，他只记得最高分和最低分的平均数也是和最低分的平均数也是8

46、2分。你能算出评委五打了多少分吗分。你能算出评委五打了多少分吗?n首先需要判断评委五打的是最高分、最低分、不高不低分。首先需要判断评委五打的是最高分、最低分、不高不低分。n最高分：最高分：82279=85（分）（分）n最低分：最低分：82286=78（分）（分）n不高不低：不高不低：8238384=79（分）（分）平均分高于平均分高于82，矛盾，矛盾 平均分是平均分是82.5，矛盾，矛盾 分类讨论思想分类讨论思想 比较适合五年级学生的集体水平比较适合五年级学生的集体水平 假设法的教学实践假设法的教学实践n假设作为推理的起点。假设作为推理的起点。n例例3：有红、白、黄、蓝、黑五种颜色的球各一个，

47、每个一盒，摆成一行：有红、白、黄、蓝、黑五种颜色的球各一个，每个一盒，摆成一行。n甲猜：第二盒是黑球，第三盒是黄球；甲猜：第二盒是黑球，第三盒是黄球；n乙猜：第二盒是黄球，第五盒是黑球；乙猜：第二盒是黄球，第五盒是黑球；n丙猜：第一盒是红球，第五盒是白球；丙猜：第一盒是红球，第五盒是白球；n丁猜：第三盒是蓝球，第四盒是白球；丁猜：第三盒是蓝球，第四盒是白球；n戊猜：第二盒是蓝球，第四盒是红球。戊猜：第二盒是蓝球，第四盒是红球。n打开一看，每人都只猜对了一盒，问他们各猜对了哪一种？打开一看，每人都只猜对了一盒，问他们各猜对了哪一种？n对策：先假设甲说的第一句对了，则第二句错了，以此为起点，进行推

48、对策：先假设甲说的第一句对了，则第二句错了，以此为起点，进行推理（用理（用“”表示对，用表示对，用“”表示错）表示错）n上面三例，大体勾勒出上面三例，大体勾勒出“假设推理假设推理”，从课内自发生成到课外拓展学习，从课内自发生成到课外拓展学习发展脉络上的三个发展脉络上的三个“节点节点”。倒推法的教学实践倒推法的教学实践n何谓倒推法？（逆推法、还原法）何谓倒推法？（逆推法、还原法）n从题目叙述事情的最后结果出发，根据事情变化过程一从题目叙述事情的最后结果出发，根据事情变化过程一步步倒着还原，直到求得答案。步步倒着还原，直到求得答案。n方法：画图、列表等方法：画图、列表等n例：商店运来一批笔记本电脑

49、，第一天上午卖出一半，例：商店运来一批笔记本电脑，第一天上午卖出一半，下午卖出下午卖出10台，第二天上午卖出剩下的一半，下午卖出台，第二天上午卖出剩下的一半，下午卖出5台，这时还剩台，这时还剩8台。这批笔记本电脑一共多少台？台。这批笔记本电脑一共多少台？n教师：教师：学生：学生：n画线段图有利于发展数感，框架图便于逐步推算，两者画线段图有利于发展数感，框架图便于逐步推算，两者各有千秋。各有千秋。n在数学问题解决中，在数学问题解决中，“转化转化”常常体现为化难为易、化繁为简、化陌常常体现为化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉等特点。它的实质就是以运动变化的观点，抓住事物之间的生为熟悉等特点。它的实质

50、就是以运动变化的观点，抓住事物之间的相互联系，通过变换促成数学问题的解决。相互联系，通过变换促成数学问题的解决。n思路的转化。思路的转化。n例例1：甲、乙两人同时从相距：甲、乙两人同时从相距20千米的两地出发，相向而行。甲每小千米的两地出发，相向而行。甲每小时行时行5.5千米，乙每小时行千米，乙每小时行4.5千米。甲带着一只狗，狗每小时跑千米。甲带着一只狗，狗每小时跑10千千米。狗同甲一起出发，碰到乙立即掉头往甲这边跑，碰到甲立即往乙米。狗同甲一起出发，碰到乙立即掉头往甲这边跑，碰到甲立即往乙这边跑，直到两人相遇。问这只狗一共跑了多少千米？这边跑，直到两人相遇。问这只狗一共跑了多少千米？n常规