3-1-数值积分与微分解析课件.ppt

1、1数值积分基本概念数值积分基本概念插值型求积公式插值型求积公式求积公式的代数精度求积公式的代数精度蒙特卡罗法求积分蒙特卡罗法求积分高斯型数值求积高斯型数值求积数值微分数值微分数值积分2hxfSnjjn 1)(定积分与积分和式定积分与积分和式 njjhbahxfdxxf10)(lim)(右矩形和右矩形和h 1 0.5 0.2 Sn 5.2 9 0 8 5.1 0 4 4 4.9835 4.8999 01234567891000.511.51)(3 xexxf3数值求积公式的一般形式数值求积公式的一般形式)()(0fRxfAdxxfnkkkba Rf 数值求积公式余项数值求积公式余项x0,x1,x

2、n 求积结点求积结点A0,A1,An 求积系数求积系数4插值型求积公式插值型求积公式 对对 a，b做分划做分划:a x0 x1 x2 xnb njjjxfxlxf0)()()(njjbajbaxfdxxldxxf0)()()(令令),2,1,0(,)(njdxxlAbajj njjjbaxfAdxxf0)()(Lagrange插值插值插值型求积公式的余项插值型求积公式的余项 bannbandxxnfdxxLxffR)()!()()()()(111 5梯形公式的误差梯形公式的误差(余项余项)(210abdxabxbAba )(211abdxabaxAba )()()(bfafabdxxfba2

3、babadxbxaxfdxbxaxfR)()()()(22 )()(fabR 123即即例例1.梯形公式梯形公式线型线型插值插值01010110)(,)(xxxxxlxxxxxl 00111010)(yxxxxyxxxxxL ab601234567891000.511.501234567891000.511.501234567891000.511.5左矩形左矩形 梯形梯形 右矩形右矩形4.4429 4.8669 5.29084.6804 4.8924 5.10444.8139 4.8987 4.98354.8572 4.8996 4.94208999.4)(50 dxxfhxfxfSnjjjn

4、 11)()(211)(3 xexxf7 取取 x0=a,x1=0.5(a+b),x2=b,则则 h=0.5(b a)A0=(b-a)/6A1=2(b-a)/3A2=(b-a)/6dxhxxxxAxx 2022102)(dxhxxxxAxx 202201)(dxhxxxxAxx 2021022)()()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba Simpson 公式公式例例2.Simpson 公式公式)()()(2010210 xxxxxxxxxl )()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2

5、(x)y28定义定义:对不高于对不高于m次的多项式次的多项式P(x),求积公式余项求积公式余项例例.梯形公式梯形公式)()()(bfafabdxxfba2代数精度为代数精度为1 nkkkbaxfAdxxf0)()(具有具有m阶的代数精确度阶的代数精确度且有且有m+1次多项式不具有这样的性质次多项式不具有这样的性质,则称则称0)()(0 nkkkbaxPAdxxPPR求积公式的代数精度求积公式的代数精度9(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为点插值型求积公式代数精度至少为n阶阶.所以所以,Rxk=0,(k=0,1,2,n)例例3 确定公式确定公式)()()()(hfAhfAfAdxxfh202

6、1030使代数精度尽可能高使代数精度尽可能高.类似有类似有:Simpson公式具有公式具有3阶代数精度阶代数精度对于对于n次次Lagrange插值基函数插值基函数,有恒等式有恒等式baknjkjjdxxxA0knjkjjxxxl 0)(10解解:取取f(x)=1,x,x2 若求积公式准确成立若求积公式准确成立,则有则有2221321221040920293AhhAhhAhAhAAAhhA430hA492A1=0)()()(hfhfhdxxfh24904330求积公式求积公式具有至少具有至少2阶代数精度阶代数精度 容易验证容易验证,对对f(x)=x3 求积公式式不能准确成立求积公式式不能准确成立

7、.因此这一公式只具有因此这一公式只具有2阶代数精度阶代数精度。11取等距结点取等距结点xj=a+jh时时,插值型求积公式称为插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式 定理定理:当当n为偶数时为偶数时,n阶阶Newton-Cotes公式至少公式至少有有(n+1)阶代数精确度阶代数精确度。njjjxfxlxf0)()()(njjjbaxfAdxxf0)()(Newton-Cotes公式代数精度至少为公式代数精度至少为n12蒙特卡罗法求积分蒙特卡罗法求积分8999.41503 dxexFxN=2000:q=4.8975,4.9256,4.7550,4.9800 01234567891000

8、.511.55.10,50|),(yxyxD5.755.1 S在在D中投入中投入N个点个点,落入曲边梯形内的点数为落入曲边梯形内的点数为nNnSF 13-4-202401020304050607080 高斯型数值求积公式高斯型数值求积公式 插值型求积公式插值型求积公式)()()(110011xfAxfAdxxf 代数精度为代数精度为3,3,取取 f(x)=1,x,x2,x303202311300211200110010 xAxAxAxAxAxAAA(1)(2)(3)(4)(4)-(2)x02x12=x02(3)-(1)x02x02=1/331,31 ,1 ,11010 xxAA 3323)13

9、5(dxxxx14代数精度为代数精度为 3 的数值求积公式的数值求积公式)()()(313111ffdxxf11222dtabtabfabdxxfba)()()()()(2322322ababfababfabdxxfba对于对于a,b区间上的定积分区间上的定积分,构造变换构造变换22abtabtx)(t-1,115 定义定义 如果求积结点如果求积结点x0,x1,xn,使插值型求积公使插值型求积公式式的代数精度为的代数精度为2n+1,则称该求积公式为则称该求积公式为Gauss型型求积公求积公式式.称这些求积结点为称这些求积结点为Gauss点点.定理定理7.2 如果多项式如果多项式wn+1(x)=

10、(x x0)(x x1)(x xn)与任意的不超过与任意的不超过n次的多项式次的多项式P(x)正交，即正交，即0111dxxPxwn)()(则则,wn+1(x)的所有零点的所有零点x0,x1,xn 是是Gauss点点.nkkkxfAdxxf011)()(16例例 验证多项式验证多项式 是是1,1上正交多项式上正交多项式.0)()()()(1121112011210 dxxxwadxxwadxxwxaa3122 xxw)()()()(313111ffdxxf两点两点Gauss公式公式313110 xx,得得Gauss点点插值公式插值公式:)()()(10100011xfxxxxxfxxxxxf

11、1201111011 xxxdxxxxx1201011010 xxxdxxxxx170352133)()(xxxp774506705320.,x01x三点三点Gauss数值求积公式数值求积公式)7745.0(5556.0)0(8889.0)7745.0(5556.0fff Legendre多项式递推式多项式递推式,1112,11110 nnnpnnxpnnpxpp)()(132122xxp)()(xxxp352133 11)(dxxf1,1 x18例例.两点两点Gauss公式计算公式计算 10sindxxx解解:变换变换 x=0.5(t+1)11101)1(5.0sinsindtttdxxx5

12、7735.0311 t取取57735.0310 t)1(5.0)1(5.0sin)1(5.0)1(5.0sin21sin110010 ttttdxxx Simpsion三点公式三点公式 0.94614588227359 MATLAB命令命令 0.94608307036718 Gauss两点公式两点公式 0.9460411368978200.511.522.500.5119MatlabMatlab中的中的QuadQuad函数函数F=inline(1./(x.3-2*x-5);Q=quad(F,0,2);Q=quad(myfun,0,2);function y=myfun(x)y=1./(x.3-

13、2*x-5);20数值微分数值微分显式显式法法)()(!3)(2)()()(4)3(32hOafhafhafhafhaf )()()()(hOhafhafaf一阶向前差商一阶向前差商)()(!3)(2)()()(4)3(32hOafhafhafhafhaf )()()()(hOhhafafaf一阶向后差商一阶向后差商21)()()()()(222hOhhafafhafaf 二阶中心差商二阶中心差商 )(!3)(2)()()()3(32afhafhafhafhaf)()()()(22hOhhafhafaf一阶中心差商一阶中心差商 )(!3)(2)()()()3(32afhafhafhafhaf)

14、()(3)(2)()(5)3(3hOafhafhhafhaf 22)()(62)()()(4)3(211hOxfhhxfxfxfkkkk )()()(2)()(2211)3(hOhxfxfxfxfkkkk 设设 xk=a+k h,(k=0,1,n)值值令令 mk=f(xk)(k=0,1,n)()(111134kkkkkxfxfhmmmk=1,2,n-1隐式方法隐式方法23LagrangeLagrange插值函数方法插值函数方法 20)()()(kkkxfxlxf 20)()()(kkjkjxfxlxfxk=x0+kh(k=0，1，2)()()()()()(10222021212021121xxxxhxlxxxxhxlxxxxhxl221022hxxxxl)()(210222hxxxxl)()(22012hxxxxl)()(24201hxl)(212hxl)(221hxl)()()()()()()()()()()()(210220121003421214321xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfxfhxf22102hxfxfxfxf)()()()(221022hxxxxl)()(210222hxxxxl)()(22012hxxxxl)()(20)()()(kkjkjxfxlxf一阶一阶导数近似导数近似二二阶阶导数近似导数近似