BS期权定价模型课件详解精讲.ppt
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1、第一节证券价格的变化过程第一节证券价格的变化过程 一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 19651965年,法玛年,法玛FamaFama提出了著名的效提出了著名的效率市场假说。该假说认为,投资者都力率市场假说。该假说认为,投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬;图利用可获得的信息获得更高的报酬;证券价格对新的市场信息的反响是迅速证券价格对新的市场信息的反响是迅速而准确的,证券价格能完全反响全部信而准确的,证券价格能完全反响全部信息;市场竞争使证券价格从一个平衡程息;市场竞争使证券价格从一个平衡程度过渡到另一个平衡程度,而与新信息度过渡到另一个平衡程度,而与新
2、信息相应的价格变动是互相独立的。相应的价格变动是互相独立的。效率市场假说可分为三类:弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程Markov Stochastic Process来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。假如证券价格遵循马尔可夫过程,那么其将来价格的概率分布只取决于该证券如今的价格。二、布朗运动二、布朗运动 一标准布朗运动一标准布朗运动设设 代表一个小的时间间隔长度,代表一个小的时间间隔长度,代表变代表变量量z在时间在时间 内的变化,遵循标准布朗运内的变化,遵循标准布朗运动的动的
3、 具有两种特征:具有两种特征:特征特征1:和和 的关系满足:的关系满足:其中,其中,代表从标准正态分布即均值为代表从标准正态分布即均值为0、标准差为的正态分布中取的一个随机标准差为的正态分布中取的一个随机值。值。tztztztz这是一个按正态规律集中在起始点的一个随机运动。标准布朗运动标准布朗运动(2)特征2:对于任何两个不同时间间隔,和 的值互相独立。考察变量z在一段较长时间T中的变化情形,我们可得:当0时,我们就可以得到极限的标准布朗运动:tztzTzNii1)0()(dtdz二普通布朗运动二普通布朗运动 我们先引入两个概念:漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0,方差率为。我们令漂移率
4、的期望值为a,方差率的期望值为b2,就可得到变量x 的普通布朗运动:b是标准差 其中,a和b均为常数,dz遵循标准布朗运动。普通的布朗运动随时间间隔的增加,需要加上一个漂移项,表示分开起始位置的程度常数比率,而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动。bdzadtdx三、伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数,假设把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数,我们可以从公式得到伊藤过程Ito Process:其中,dz是一个标准布朗运动,a、b是变量x和t的函数,变量x的漂移率为a,方差率为b2。dztxbdttxadx),(),(漂移非常数,正态规律项非常数,都是与时间和其目前位
5、置有关,更加复杂的随机过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 的伊藤过程来表示:两边同除以S得:22SSdzSdtdSdzdtSdS表示将来时间间隔后的证券价格增量变化是符合漂移和方差率只和目前价格有关系线性关系的伊藤随机过程即普通布朗运动的晋级版。表示将来价格变化率符合普通布朗运动,描绘运动偏离标注布朗运动的漂移率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数从可知,在短时间后,证券价格比率的变化值为:可见,也具有正态分布特征 (6.7)ttSS),(ttSSSS 前三个是常数或者函数值,最后一个是个标准正态随机变量,整个式子是某种正
6、态随机变量。只不过这里符合的正态分布的均值和方差是与时间间隔由关系的值而已。,t例设一种不付红利股票遵循几何布朗运动,其波动率为每年18%,预期收益率以连续复利计为每年20%,其目前的市价为100元,求一周后该股票价格变化值的概率分布。五、伊藤引理五、伊藤引理假设变量x遵循伊藤过程,那么变量x和t的函数G将遵循如下过程:由于 根据伊藤引理,衍生证券的价格G应遵循如下过程:(6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222六、证券价格自然对数变化过程六、证券价格自然对数变化过程 令 ,由于代入式:证券价格对数G遵循普通布
7、朗运动,且:SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST这里的绝妙的对数变换是布莱克斯科尔斯微分方程的偏微分项全部消除变为简单的服从正态分布的方程。同时也说明之前的假设是要成立的:证券价格的对数服从正态分布或证券价格服从对数分布。证券价格的对数变化量服从正态分布,从而知晓st的分布函数例设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利,请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例请问在例中,A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少?第二节第二节 布莱克布莱克舒尔
8、斯期权舒尔斯期权定价模型定价模型 一、布莱克一、布莱克舒尔斯微分方程舒尔斯微分方程 一布莱克一布莱克舒尔斯微分方程的推舒尔斯微分方程的推导导 我们假设证券价格我们假设证券价格S S遵循几何布朗运动:遵循几何布朗运动:那么:那么:SdzSdtdSzStSS假设f是依赖于S的衍生证券的价格,那么:为了消除 ,我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值,那么:(6.15)SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的,因此可以
9、通过构建股价与其衍生品的对冲组合消除这个随机过程。在 时间后:将式和代入式,可得:在没有套利时机的条件下:把式和代入上式得:tSSfftSSftf)21(2222trtSSffrtSSftf)()21(2222无风险套利情形:1、可以复制的两个投资组合将来损益一样,但本钱不同;2、一个投资组合在任何条件下损益不低于另一个投资组合,即随即占优;3、投资组合构建本钱为零,但任何条件下损益不为零。表示这样的对冲组合获得的价值不应该比无风险利率下的时间价值大或者小。应该与存放银行获得的收益是一致的,必须至少获得无风险利率。既然已经不包含随机过程,那么结果是无风险确定的,应该不存在瞬时无风险套利。这里表
10、达了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去获得确定的报酬,且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的,即无套利。通过这样的思想得出期权定价。根据有效市场理论,无风险组合只能获得无风险利率。布莱克舒尔斯微分分程化简为:(6.18)这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程,它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。rfSfSSfrStf222221方程的衍生品价格的解为fs,t,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利时机的价格;假设不满足此方程的衍生品价格fs,t也是一种价格,但这样的价格会导致无风险套利时机。假设解这个已经不含随机项的偏微分方程可直接得到后面的模型解,
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