高等数学-函数与极限课件.pptx

1、集合aAaAAB1,3,5,7,9A|Ax x2320 xx1,2B 2|320Bx xxNNZQR2440 xx32540 xxx(,)a bx axb,a bx axboxaboxab,)a bx axb(,a bx axboxa,)ax xa oxb(,)bx xb.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx .),(axaxaNxa a a ).,(aN记作,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0),(axxaN(,)aa(,)a aaa51x 69x10 x 26x(1,2

2、)N(2,1)N 00 xxxxx。时，才有当且仅当，有对于任意的0|00|xxxRx。，有对于任意的|xxRx。，有对于任意的2|xxRx。，有对于任意的|xxxRx。，则设axaaxa|0。，则设axaaxa|0。或，则设axaxaxa|0。或，则设axaxaxa|0;yxxy 0;yyxyxyxyxyxyxyxxxx331233|1|1x一、一、函数的概念函数的概念例例 圆圆的面积的面积 依赖于圆的半径依赖于圆的半径 ,关系为关系为Sr2.()S rr=例例 (人口模型人口模型)我国我国1982年底的人口为年底的人口为10.3亿，按年亿，按年均均2%增长，到增长，到2010年底，人口是多

3、少？年底，人口是多少？0()(1)tp tpr=+=+这里这里 为为 年后的人口年后的人口,是初始人口是初始人口,则则是人口的自然增长率。是人口的自然增长率。t0pr()p t整个过程中始终保持不变的量称之为常量；可取不同的值的量称之为变量。因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx,的定义域求函数432xy时，表达式才有意义。函数只有当分母042x的

4、所有实数函数定义域为2x),2()2,2()2,(D区间表示：是否为同一个函数？和xxgxxxf1)(21)(2),(定义域都为时，对应法则不同：1x1)2(,1)2(gf是否为同一个函数？和xxxgxxf24)(2)(2),()(定义域为xf)2()2,()(，定义域为xg所以函数是多值函数。对应的函数就有两个，内任一数值时，数值都只有一个，但当时，对应的函或。当圆的方程为，圆心在原点，为的在直角坐标系中，半径),(222rrxrrxryxr)2)(1(1)(xxxf)5lg()(xxf)32(),23(),1(,1)(fffxxxf求xxgxxxf3)(,69)()sin()(,122xx

5、gxyDoxy),(yxxyW 二、二、函数函数的表示的表示三、三、分段函数分段函数定义：当自变量在不同的范围内取值时，须用不同的表达式来表示，这样的函数称为分段函数。，值域其定义域绝对值函数：),0),(0,0,|)(DxxxxxxfxyO010001sgnxxxxy当当当符号函数：1,0,1),(WD，值域定义域1-1xyoxxx sgn,.2,1,0)1,)(nnnxnxxf取整函数：三、三、函数的性质函数的性质(1)有界性(2)单调性(3)奇偶性(4)周期性上有界。在，则称函数都有，对应函数内任一值使得对于，上有定义，若存在正数在集合设函数XxfMxfxfxXMXxf)(|)(|)()

6、(1)有界性有界性(2).图形特征图形特征(1).界界不唯一，关键是有没有界不唯一，关键是有没有界xyMy My)1,0(,1)(xxxf上无界。在因此。使得中找到一点总可在对于任一正数)1,0()(1|)(|11)1,0(,00 xfMMxfMxM)2,1(,1)(xxxf上有界。在因此，上的值域为在)2,1()()1,21()1,0()(xfxf(2)单调性单调性,X)(上有定义的在集合设函数xf,2121时当和内任意两点如果对于xxxxX;)(内是单调增加的在则称函数Xxf),()(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI,2121时当

7、和内任意两点如果对于xxxxX;)(内是单调减少的在则称函数Xxf),()(21xfxf恒有单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。同一函数在同一函数在不同区间不同区间单调性未必相同单调性未必相同当x0时，y单调增加。讨论：y=x2的单调性。(3)奇偶性奇偶性)()()()(xfxfxfxf偶函数奇函数对称区间：奇函数-关于坐标原点对称 偶函数-关于y轴对称图形特征：奇偶函数运算关系：奇偶函数运算关系：/=奇奇奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶 偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶/=奇奇偶偶奇奇奇奇 偶偶奇奇=奇奇偶偶不不知知道道 为奇函数。为奇函数，则求证：若)()()()(),(xgxfx

8、hxgxf)()()()()()()()()()(),()(xhxgxfxgxfxgxfxhxgxgxfxf(3)周期性周期性若存在非零实数若存在非零实数 ，使得对任意实数，使得对任意实数 ，有，有Tx则称函数则称函数 是周期函数，是周期函数，为其周期。为其周期。()f xT)()(xfTxf（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l一、反函数一、反函数-逆向思维逆向思维。的反函数，记作为函数新的函数，称该新函数看作因变量可得到一个看作自变量，值与其对应，即把中唯一的确定值，都可以通过中任意如果对于。，值域为的定义域为设函数)()(

9、)()(yxxfyxyxDxfyyWWDxfy为该函数的直接函数。函数。，值域为的定义域为函数)()(xfyDWyx注意：注意：yxyxyxff及）（1。，值域是的定义域是）（DW2。，成）习惯上将反函数表示（Wxxy)(3)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数对称。直线反函数关于）直接函数和（xy 4的反函数：求解函数)1(log32xy312xy由函数求解可得：123yx312 yx的反函数是函数即)1(log12323xyyx二、复合函数二、复合函数)32sin(32,sin22xyxuuy设复合而成的复合函数。和是由则函数32sin)32sin

10、(22xuuyxy称为中间变量。而记作复合而成的复合函数，与函数称为由为因变量的函数，这个为自变量、对应，从而得到一个以与值有确定的数值，对应，并通过与值有确定的数值通过则对于每一个数值，并且值域为，的定义域为，函数的定义域为若函数uDxxfyxuufyyxuyufyxWuxuDxDWWDxuDufy)(),()()()()(,)()(2221221注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构

11、成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 。，求设)()(,11)(xfffxffxxf。且即，且定义域：2101012111)(11)(1111xxxxxxfxffxx。且且即，且定义域：23-212,10132211)(11)(2121xxxxxxxffxfffxxxx三、基本初等函数三、基本初等函数基本初等函数包括：l常量l幂函数l指数函数l对数函数l三角函数l反三角函数(1)常量常量)(为常数CCy 值域为，定义域为),(oxyCy(2)幂函数幂函数)0,(为常数xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 值发生变化定义域随内的单调性？定义域),0(3)指数函

12、数指数函数)1,0(aaayx),0(),(值域定义域xay xay)1()1(a)1,0(单调递减，单调递增,101aa计算性质：xay;10)1(0ax时，yxyxaaa)2(yxyxaaa)3(xbbxbxaaa)()()4(化简下列格式：2433)1(-3522)2(621221)()()3(x32)4(7293362442223-51622224)6(262xx8)2(3(4)对数函数（指数函数的反函数）对数函数（指数函数的反函数）)1,0(logaaxya值域？定义域,单调性？xyalog xya1log)1(a)0,1(计算性质：xyalog01log1)1(ax时，1log)2

13、(aaxa时，xaxalog)3()0,(loglog)(log)4(yxyxxyaaa)0,(logloglog)5(yxxyxyaaa)1,0,(logloglog)6(cacaaxxcca且)0(loglog)7(xxxaa以无理数e=2.718281828459045为底的指数函数 和对数函数 称之为自然指数和自然对数，其中 自然对数一般记为 。xey xyelogxelogxln比较下列各对数的大小54log)1(2176log213log)2(213log513.0log)3(318.0log2求解下列方程53)1(12x215log5log1233xx02)2(xxexe5lgl

14、g)3(23xx202,0 xxex5105lg5lg21lg23xxxx5105lg5)/lg(2123xxxx正弦函数正弦函数xysin(5)三角函数三角函数定义域？值域？周期性？奇偶性？单调性？1,1),(，值域正弦函数定义域单调性，奇函数，整体上没有周期2上，单调减少。在上，单调增加；在232,2222,22kkkkxycos 余弦函数余弦函数定义域？值域？周期性？奇偶性？单调性？1,1),(，值域余弦函数定义域单调性，偶函数，整体上没有周期2上，单调减少。在上，单调增加；在2,22,2kkkk正切函数正切函数xxxycossintan定义域？值域？周期性？奇偶性？单调性？),()(2

15、值域，正切函数定义域Zkkx单调性，奇函数，整体上没有周期2上，单调增加。在)2,2(kkxxxysincoscot余切函数余切函数),(值域，余切函数定义域Zkkx单调性，奇函数，整体上没有周期上，单调减少。在),(kk正割函数正割函数xxycos1sec),1 1,()(2值域，正割函数定义域Zkkx单调性，偶函数，整体上没有周期2上，单调减少。，和在上，单调增加；，和在22232()232,2222()22,2kkkkkkkkxxysin1csc余割函数余割函数),(,值域，余割函数定义域Zkkx单调性，奇函数，整体上没有周期2上，单调减少。，和在上，单调增加；，和，在)2223222,

16、2(2322()222kkkkkkkk常用的三角函数公式：常用的三角函数公式：求解下列三角函数值7.5cos52.5cos(1)2212222145cos)60cos()5.75.52cos()5.752.5cos(）（sincos2,081cossin(2)，求，若25411cossin21sinsincos2cos)sin(cossincos222(6)反三角函数反三角函数xyarcsin 反反正正弦弦函函数数2,2 1,1值域，反正弦函数定义域单调增加，非周期性函数，奇函数xyarccos 反反余余弦弦函函数数,0 1,1值域，反余弦函数定义域 单调减小偶函数，非周期性函数，非奇非xya

17、rctan 反正切函数反正切函数单调增加，非周期性函数，奇函数)2,2(),(值域反正切函数定义域xyarccot 反余切函数),0(),(值域反余切函数定义域单调减少偶函数，非周期性函数，非奇非求解下列反三角函数值)cos(1)sin(arcx2221)(arccoscos1)(arccossin)sin(arccosxxxx0)sin(arccosx或者也可以采用书上方法，使用辅助直角三角形进行求解。四、初等函数四、初等函数由基本初等函数经过有限次的加减乘除和有限次的复合构成的函数称为初初等函数等函数。0112211.)(,axaxaxaxaxfnnnnnn多项式例如注意：符号函数、取整函

18、数等分段函数都不是初等函数，称为非初等函数。五、双曲函数和反双曲函数（认识）五、双曲函数和反双曲函数（认识）(1)双曲函数双曲函数xxxxxxxxxxxxeeeexxxyeeeexxxyeexyeexysinhcoshcothcoshsinhtanh2cosh2sinh双曲余切双曲正切双曲余弦双曲正弦双曲正弦和双曲余弦双曲正切和双曲余切(2)反双曲函数反双曲函数反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切xxxyxxxyxxxy11ln21artanh)1ln(arcosh)1(lnarsinh22反双曲正切反双曲余弦反双曲正弦一、极坐标系一、极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点极点。从O点引一条射线Ox

19、，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位，通常取逆时针方向为正方向通常取逆时针方向为正方向。这样平面上任一点P的位置可以用有向线段OP的长度r以及从Ox到OP的角度来确定。有序对(r,)为点P的极坐标，r为点P的极径，为点P的极角。极径为0的极点，其极角是任意的。xOP(r,)r若限制r=0,0=2时，平面上除极点O外其他每个点都有唯一的极坐标。若不限制，则每个点对应无数多组极坐标。如果(r,)是一个点的极坐标，那么(r,+2n)都可以作为它的极坐标，n为任意整数。若r0，表示原射线的反向射线上极径为|r|的点。练习：说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342 二、极坐标系与平面直角坐标系二、极坐标系与平面直角坐标系之间的转换关系之间的转换关系xyyxrryrxtan,sin,cos222二、常见的几种极坐标曲线二、常见的几种极坐标曲线222)1(RyxRr222)(cos2)2(RyRxRr222)(sin2)3(RRyxRr将下列极坐标方程和直角坐标方程相互转化cos1)1(r极坐标方程转直角坐标方程：1.先使用转换公式消去，xrrrrcos22.使用r2=x2+y2，消去r。xyxyx222294)2(xy直角坐标方程转极坐标方程：直接使用转换公式消去x,y，即可。292sinsincos4492rrrxy