高等数学(侯风波)第11章课件.ppt

1、 第一节第一节 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算 第二节第二节 二重积分应用举例二重积分应用举例 *第三节第三节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 *第四节第四节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分*第五节第五节 格林（格林（GreenGreen）公式及其应用）公式及其应用 *第六节第六节 对坐标的曲面积分及其应用对坐标的曲面积分及其应用第十一章第十一章 多元函数积分学多元函数积分学一、一、二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二、二、在直角坐标系中计算二重积分在直角坐标系中计算二重积分 三、三、在在极极坐标系中计算二重积分坐标系中计算二重积分第一节第一节 二重积分的概念与计算

2、二重积分的概念与计算 第一节第一节 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算 曲边梯形面积计算回顾曲边梯形面积计算回顾第第一一步步:将将,ba无无限限细细分分,在在微微小小 区区间间 ,dxxx上上“以以直直代代曲曲”,求求 得得面面积积微微元元为为 xxfAd)(d 这这一一步步即即局局部部线线性性化化.第二步第二步:将微元将微元Ad在在 a,b 上无上无 限累积，即得面积为限累积，即得面积为 abxxfAd)(.O y x x x d x a b)(x f y A d 一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质下下面面我我们们把把这这种种思思想想推推广广到到平平面面区区域域 D上上的

3、的 二二元元函函数数),(yxf.1 1.引引例例:曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 曲顶柱体曲顶柱体：若立体的底为：若立体的底为xOy平面上的有界闭区平面上的有界闭区域域 D,其侧面为以其侧面为以 D的边界线为准线，而母线平行的边界线为准线，而母线平行 z轴的柱面，其顶是二元函数轴的柱面，其顶是二元函数),(yxfz 所表示的曲面所表示的曲面.这样的几何体称为曲顶柱体这样的几何体称为曲顶柱体.第第一一步步：将将区区域域 D无无限限细细分分，在在微微小小区区域域 d上上取取一一点点),(yx,用用以以),(yxf为为高高，d为为底底的的平平顶顶柱柱体体体体积积),(yxfd近近似似代代替替d上上的

4、的小小曲曲顶顶柱柱体体体体积积，即即得得体体积积微微元元 d),(dyxfV.第二步第二步:将体积微元将体积微元d),(dyxfV在区域在区域D上无限累加上无限累加(这一步记为这一步记为“D”),),则得所求曲顶柱体体积为则得所求曲顶柱体体积为 DyxfVd),(.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设),(yxf0,求求曲曲顶顶柱柱体体(如如下下图图)的的体体积积.x z O y),(y x f z D d 2 2二重积分的概念二重积分的概念设设),(yxfz 为定义在有界闭区域为定义在有界闭区域D上的连续函上的连续函数，则上述两步后所得的表达式数，则上述两步后所得的表达式Dyxfd),(,即为

5、函数即为函数),(yxf在区域在区域D上的二重积分上的二重积分.其中其中),(yxf称为被积函称为被积函数数,D为积分区域为积分区域,d),(yxf称为被积式称为被积式,d为面积为面积元素，元素，x与与 y称为积分变量称为积分变量.二重积分的几何意义：当二重积分的几何意义：当),(yxf 0时二重积分代表时二重积分代表曲顶柱体的体积；特别地曲顶柱体的体积；特别地,当当),(yxf=1=1 时时,Dd表示区域表示区域D的面积的面积.3 3二重积分的性质二重积分的性质性质性质 1 1 常数因子可提到积分号外面，即常数因子可提到积分号外面，即d),(d),(DDyxfkyxkf.性质性质 2 2 函

6、数和与差的积分等于各函数积分的和与函数和与差的积分等于各函数积分的和与差差,即即 d),(),(Dyxgyxf=Dyxfd),(Dyxgd),(.性质性质 3 3 若积分区域若积分区域 D分割为分割为 1D与与 2D两部分两部分,则有则有 d),(Dyxf=d),(1Dyxf d),(2Dyxf.性质性质 4 4 (中值定理中值定理)设设),(yxf在有界闭域在有界闭域 D上连续上连续,是区域是区域 D的面积，则在的面积，则在 D上至少有一点上至少有一点),(使得下式成立使得下式成立 ),(d),(fyxfD.在直角坐标系中我们采用平行于在直角坐标系中我们采用平行于 x轴和轴和 y轴的直轴的直

7、线把区域线把区域D分成许多小矩形分成许多小矩形,于是面积元素于是面积元素yxddd,二重积分可以写成二重积分可以写成 Dyxyxfdd),(.设设D可表示为不等式可表示为不等式(如下页图如下页图(a)(a)(1xyy)(2xy,a x b.二、在直角坐标系中计算二重积分二、在直角坐标系中计算二重积分 下下面面我我们们用用定定积积分分的的“切切片片法法”来来求求这这个个曲曲顶顶柱柱体体体体积积.y x O x a b)(2 x y y )(1 x y y D O y x x a)(2 x y y )(1 x y y b z),(y x f z (a a)(b b)在在 a,b 上任意固定一点上任

8、意固定一点0 x,过过 0 x作垂直于作垂直于 x轴的平面与柱体相交轴的平面与柱体相交,截出的面积设为截出的面积设为)(0 xS,由定由定积分可知积分可知 )(0 xS=)()(00201d),(xyxyyyxf.一一般般地地,过过 a,b 上上任任意意一一点点 x,且且垂垂直直于于 x 轴轴的的平平面面与与柱柱体体相相交交得得到到的的截截面面面面积积为为 )(xS=21()()(,)dyxyxf x yy.见见上上页页图图(b b),由由定定积积分分的的“平平行行截截面面面面积积为为已已知知,求求立立体体体体积积”的的方方法法可可知知,所所求求曲曲顶顶柱柱体体体体积积为为 abxxSVd)(

9、xyyxfabxyxyd d),()()(21，所所以以 Dyxyxfdd),(xyyxfabxyxyd d),()()(21.上式也可简记为上式也可简记为Dyxyxfdd),(abxyxyyyxfx)()(21d),(d 公式就是二重积分化为定积分的计算方法，该公式就是二重积分化为定积分的计算方法，该方法也称为累次积分法方法也称为累次积分法.计算第一次积分时计算第一次积分时,视视 x为为常量，对变量常量，对变量 y由下限由下限)(1xy积到上限积到上限)(2xy,这时计算这时计算结果是一个关于结果是一个关于 x的函数，计算第二次积分时的函数，计算第二次积分时,x是积是积分变量，积分限是常数分

10、变量，积分限是常数,计算结果是一个定值计算结果是一个定值.设积分区域设积分区域D可表示为不等式可表示为不等式(见下图见下图)(1yxx)(2yx,cyd.完完全全类类似似地地可可得得 Dyxyxfdd),(21()()d(,)ddxycxyyf x yxO y x)(2 y x x x)(1 y x c d D（2 2）用公式或时）用公式或时,要求要求 D分分别满足别满足:平行于平行于 y轴或轴或 x轴的直线轴的直线与与 D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点.如果如果D不满足这个条件，则需把不满足这个条件，则需把 D分割分割成几块成几块(见右图见右图),),然后分块计算然后分块计算;O

11、y x D (3)(3)一个重积分常常是既可以先对一个重积分常常是既可以先对 y积分积分(公式公式),),又可以先对又可以先对 x积分积分(公式公式),),而这两种不同的积分次序，而这两种不同的积分次序，往往导致计算的繁简程度差别很大往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地那么，该如何恰当地选择积分次序呢选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明我们结合下述各例加以说明.化二重积分为累次积分时化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：需注意以下几点：（1 1）累次积分的下限必须小于上限）累次积分的下限必须小于上限;例例 1 1 计计算算Dyxxydd,其其中中 D:22yx 1 x 0，

12、y 0.解解 作作D的图形的图形(见下图见下图).).先对先对 y积分积分(固定固定 x),),y的变化范围由的变化范围由 0到到 21x,然后再在然后再在 x的的最大变化范围最大变化范围0,10,1内对内对 x积分，于是得到积分，于是得到 O y x D 1 1 x Dyxxydd211120001dd()2xxxy yxy2411200111(1)d().22248xxxxx本本题题若若先先对对x积积分分，解解法法类类似似.例例 2 2 计计算算Dyxxydd22,其其中中D由由抛抛物物线线xy 2及及直直线线 2 xy所所围围成成.解解 画画D的图形的图形(见下图见下图).).选择先对选

13、择先对 x积分积分,这这时时 D的表示式为的表示式为 2122yyxy,从而从而Dyxxydd22=21222d2dyyxxyy yyyyyyxyyyd)44(d|)(216234221222 =356157345127345yyyy.O y x D 2 y x 2 y x 1 2)1,1(A)2,4(B 例例 2 2 求椭圆抛物面求椭圆抛物面4422yxz与平面与平面 0z所所围成的立体体积围成的立体体积.解解 画出所围立体的示意图画出所围立体的示意图(见图见图 a),a),考虑到图形的考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可对称性，只需计算第一卦限部分即可,其中其中 D如图如图(b)(

14、b)所所示示.故故yxyxVDdd44422=yyxxxd44d4204160222 =xyyxyxd12144241602032=16d)4(31620232xx.O y x 2 4 2 4 16 x y D (a)(a)z O y x 2 4 4 4 2 2 y x z (b)(b)1.1.极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素设函数的积分区域为设函数的积分区域为 D，用，用 r取一系列常数取一系列常数(得到一族中心在极点的同心圆得到一族中心在极点的同心圆)和和 取一系列常取一系列常数数(得到一族过极点的射线得到一族过极点的射线)的两组曲线，将的两组曲线，将 D分成分成许多小区域许多小区

15、域(见下图见下图),),于是得到了极坐标系下的面于是得到了极坐标系下的面积元素为积元素为 dddrr.再分别用再分别用sin,cosyrx代换被代换被积函数积函数),(yxf中的中的,yx这样二重积分在这样二重积分在极坐标系下表达形式为极坐标系下表达形式为 Dyxfd),(Drrrrfdd)sin,cos(.O x d d r r d d 三、在坐标系中计算二重积分三、在坐标系中计算二重积分O x )(1 r r )(2 r r (a)(a)2.2.极坐标系下化二重积分为累次积分极坐标系下化二重积分为累次积分 设设D(图图 a a)位于两条射线位于两条射线和和之间，之间，D的的两段边界线极坐标

16、方程为两段边界线极坐标方程为 )(),(21rrrr 则二重积分就可化为如下的累次积分则二重积分就可化为如下的累次积分 Dyxfd),()()(21d)sin,cos(rrrrrrfd.如果极点如果极点O在在D内部内部(图图 b),b),则有则有 Dyxfd),()(020d)sin,cos(drrrrrf.O x )(r r (b)(b)例例 5 5 将将二二重重积积分分Dyxfd),(化化为为极极坐坐标标系系下下的的累累次次积积分分，其其中中D:22yx yRx,2 0.解解 画出画出D的图形的图形(见下图见下图),),D可表示为可表示为 02,0 rcos2R,y x O D cos 2

17、 R r R 2 于于是是得得到到 Dyxfd),(cos2020d)sin,cos(dRrrrrf.例例 6 6 计计算算Dyxyxdde)(22,D:22yx 2a.解解 选用极坐标系计算，选用极坐标系计算，D表示为表示为:0ra,0 2,故有故有 Dyxyxdde)(22=Darrrrrr200deddde22 =)e1(de21-22a020ar.例例 7 7 计算计算Dyxxdd2,其中其中D是两圆是两圆122 yx和和422 yx之间的环形区域之间的环形区域.解解 作作D的图形的图形(见下图见下图),),选用极坐标，它可表示选用极坐标，它可表示为为 1r2,02 于是于是 Dyxx

18、dd2213202221220ddcosdcosdrrrrr =20213415dd22cos1rr.2 y x 1 O 例例 8 8 求由锥面求由锥面224yxz与旋转抛物面与旋转抛物面222yxz所围立体的体积所围立体的体积(见下图见下图).).解解 选用极坐标计算选用极坐标计算.yxyxyxVDdd)(21)4(2222 =Drrrrdd242,求立体在求立体在xOy面上的投影区域面上的投影区域 D.由由 ,242222yxzyxz 消去消去 yx,得得22(4)210160zzzz即 亦即亦即 0)8)(2(zz 得得 8,2zz(舍去舍去)因此，因此，D由由2422ryx即围成围成.

19、x y O D 4 z 故故得得 200243232203208322d24drrrrrrrV.说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标系对计算二重积分是至关重要的坐标系对计算二重积分是至关重要的.一般说来，当积分一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有22yx 的项时的项时,采用极坐标计算往往比较简便采用极坐标计算往往比较简便.思考题思考题1.1.把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可 到一个式子到一个式子 niiiiDfyxf10),

20、(limd),(.你对这个式子要说些什么吗？回顾一元定积分的定义，你对这个式子要说些什么吗？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.2 2试试述述二二重重积积分分的的几几何何意意义义.一、一、平面薄板的质量平面薄板的质量二、二、平面薄板的重心平面薄板的重心三、三、平面薄板的转动惯量平面薄板的转动惯量第二节第二节 二重积分应用举例二重积分应用举例

21、例例 1 1 设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为 R的圆域，面密度为的圆域，面密度为22yx，求薄板的质量，求薄板的质量.解解 应应用用微微元元法法，在在圆圆域域 D上上任任取取一一个个微微小小区区域域d，视视面面密密度度不不变变，则则得得质质量量微微元元 ,d)(d),(d22yxyxm将将上上述述微微元元在在区区域域 D上上积积分分，即即得得 DyxmD,d)(22：22yx 2R,用极坐标计算，有用极坐标计算，有 4200221ddRrrrmR.一般地，面密度为一般地，面密度为),(yxu的平面薄板的平面薄板 D的质量是的质量是Dyxmd),(.

22、第二节第二节 二重积分应用举例二重积分应用举例一、平面薄板的质量一、平面薄板的质量设有薄板，占有区域设有薄板，占有区域 D，在点，在点),(yx的密度为的密度为),(yx，求薄板重心的坐标求薄板重心的坐标.在区域在区域D上任期一微小区域上任期一微小区域 d，d),(dyxm，设，设想这部分质量集中在想这部分质量集中在 点点),(yx处，于是得薄板对坐标轴的处，于是得薄板对坐标轴的静力矩微元（见右图）为静力矩微元（见右图）为 d),(dyxxmy d),(dyxymx,O y x d y x 将上述微元在将上述微元在D上积分，得上积分，得 d),(Dyyxxm,Dxyxymd),(,二、平面薄板

23、的重心二、平面薄板的重心于是，薄板重心坐标为于是，薄板重心坐标为 DDyxyxxxd),(d),(,DDyxyxyyd),(d),(.若若薄薄板板是是均均匀匀的的，是是常常数数，则则重重心心坐坐标标为为 DxAxd1,DxAyd1 其其中中A为为区区域域D的的面面积积.例例 2 2 设设半半径径为为 1 1 的的半半圆圆形形薄薄板板上上各各点点处处的的面面密密度度等等于于该该点点到到圆圆心心的的距距离离，求求此此半半圆圆的的重重心心.解解 取坐标系如见下图取坐标系如见下图.22),(yxyx，薄板，薄板形状及密度函数关于形状及密度函数关于 x轴都是对称的，所以重心必在轴都是对称的，所以重心必在

24、 y轴上，即轴上，即0 x，只须求，只须求y即可即可 Dyxmd223dd100rrr Dxyxymd22rrrrd)(sind100 21ddsin0103rr,故得故得 23mmyx,重心坐标为重心坐标为23,0.D 1 1 x y O 三、平面薄板的转动惯量三、平面薄板的转动惯量例例 3 3 求求内内半半径径为为 1R，外外半半径径为为 2R，密密度度均均匀匀的的圆圆环环形形薄薄板板关关于于圆圆心心的的转转动动惯惯量量.解解 建坐标系建坐标系(见下图见下图).).先求转动惯量微元先求转动惯量微元 d)(d220yxI(为密度为密度)将微元在圆环域内积分，将微元在圆环域内积分，则得则得 D

25、yxId)(220 用极坐标计算用极坐标计算,D表示为表示为 1Rr2R,02,于是于是 ).(21dd4142202021RRrrrIRR D x y 1 R O 2 R 一、一、三重积分的概念三重积分的概念二、二、在直角坐标系中计算三重积分在直角坐标系中计算三重积分三、三、在在柱面坐标系中计算三重积分柱面坐标系中计算三重积分 四、四、在球面坐标系中计算三重积分在球面坐标系中计算三重积分*第三节第三节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算引引例例 设设有有一一质质量量非非均均匀匀分分布布的的物物体体，占占有有空空间间 区区 域域,在在的的 每每 一一 点点),(zyx处处 的的 体体 密

26、密 度度 为为),(zyx,求求该该物物体体质质量量.将区域将区域无限细分无限细分,在微小区域在微小区域Vd上任取一点上任取一点),(zyx,并把该点密度并把该点密度),(zyx视为这一小块物体的密度视为这一小块物体的密度(局部以常代变局部以常代变),),这样得到质量微元为这样得到质量微元为 Vzyxmd),(d,然后将质量微元然后将质量微元Vzyxmd),(d在区域在区域 上无限累上无限累加加(这一步记为“这一步记为“”),于是得物体质量为于是得物体质量为 Vzyxmd),(.*第三节第三节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 设设),(zyxf是定义在空间有界闭区域是定义在空间有界闭

27、区域 上的连续函上的连续函数，则经上述“取微元”及“无限累加”两步数，则经上述“取微元”及“无限累加”两步,所得的表所得的表达式达式Vzyxfd),(称为函数称为函数),(zyxf在区域在区域 上的三上的三重积分，其中重积分，其中),(zyxf称为被积函数，称为被积函数，称为积分区域，称为积分区域，Vd称为体积元素称为体积元素.利用三重积分，可以得到利用三重积分，可以得到空间区域空间区域 的体积为的体积为 VVd.二、在直角坐标系中计算三重积分二、在直角坐标系中计算三重积分 1 1.三三重重积积分分在在直直角角坐坐标标系系的的表表达达式式 若对区域若对区域用平行于三个坐标面的平面去分割，则用平

28、行于三个坐标面的平面去分割，则 Vd为小长方体为小长方体,于是体积元素于是体积元素zyxVdddd，从而，从而 Vzyxfd),(Dzyxzyxfddd),(.一、三重积分的概念一、三重积分的概念 2.2.三重积分的计算三重积分的计算设设由上、下两个曲面由上、下两个曲面),(2yxzz 和和),(1yxzz 所围成所围成（1z2z），又），又在在 xOy 坐标面上的投影区域为坐标面上的投影区域为 D(见见下下图图),),则计算公式为则计算公式为 在作第一个积分时在作第一个积分时,视视yx,为常为常数，将数，将),(zyxf对对z z积分（由积分（由),(1zyxz积到积到),(2zyxz）,积

29、分积分的结果是的结果是(yx,)的一个函数，然的一个函数，然后再将这个函数在后再将这个函数在 D上作二重上作二重积分计算积分计算.D x O)(2 x y y )(1 x y y 2 z 1 z a b y z 如如 D 可表示为可表示为:)(1xybxaxyy),(2(见上图见上图),),则三重积分就化为了三个定积分的累次积分则三重积分就化为了三个定积分的累次积分 zyxzyxfddd),(21(,)(,)D(,)d d d.z x yz x yf x y zz x y ),(),()()(2121d),(ddddd),(yxzyxzxyxybazzyxfyxzyxzyxf.例例 1 1 计

30、算三重积分计算三重积分zyxxIddd,其中其中 为三坐为三坐标平面及平面标平面及平面12zyx所围成的区域所围成的区域(见下图见下图).).解解 在面在面 xOy 上投影区域上投影区域 D 为为OAB,其 中 直 线其 中 直 线AB是 平 面是 平 面12zyx与平面与平面0z的交线的交线,其在其在xOy面上的方程为面上的方程为12yx.先对先对 z积分积分,z的变化范围从的变化范围从 0 0 到到yx221;再对再对 y 积分积分,y由由 0 0 变到变到)1(21x；最后；最后对对 x 积分积分,x 由由 0 0 变到变到 1 1，于是，于是 O x y z 1 1 A C B 2 1

31、 yxDzxyxI210ddd11(1)122000dddxxyxyx z )1(21010d)21(dxyyxxx=1032481d)2(41xxxx.例例 2 2 一个物体由旋转抛物面一个物体由旋转抛物面22yxz及平面及平面 1z所围成（见右图）所围成（见右图）,已已知其任一点处的密度知其任一点处的密度 与到与到z z轴距离成正比，求其质量轴距离成正比，求其质量 m.解解 据题意据题意,密度密度22yxk，于是物体，于是物体的质量为的质量为 zyxyxkmddd22其中其中为为由曲面由曲面22yxz及平面及平面1z所围成的区域所围成的区域.在在 坐坐 标标 面面 xOy 上上 的的 投投

32、 影影 区区 域域 D 为为圆圆22yx 1,过过 D 内内 的的 任任 意意 点点 M 引引 平平行行 与与z z轴轴 的的 直直 线线，其其 与与表表 面面 相相 交交 两两 点点的的 竖竖 坐坐 标标z z分分 别别 是是22yxz与与1z,于于是是 x y z 1 O),(y x M zyxyxkmddd22zyxyxkyxDddd12222 =yxyxyxkDdd)(1 2222 =rrrkd)1(d102220=154k.1.1.柱面坐标：对于直角坐标系中的点柱面坐标：对于直角坐标系中的点 P P),(zyx，其中其中yx,就是就是 P P在在 xOy 面上的投影点面上的投影点 M

33、在在 xOy 面上的面上的直角坐标直角坐标.如果用极坐标如果用极坐标),(r来表示点来表示点 M,则空间一点则空间一点P P与数组与数组),(zr也是一一对应的也是一一对应的(限定限定 r0，0 2，z),),这样所确定的坐标系称这样所确定的坐标系称为柱面坐标系，称为柱面坐标系，称),(zr为点为点P P的柱面坐标，记作的柱面坐标，记作),(zrP(见下页图（见下页图（a a）).).三、在柱面坐标系中计算三重积分三、在柱面坐标系中计算三重积分 2 2.柱柱面面坐坐标标和和直直角角坐坐标标的的关关系系为为：cos,sin,xryrzz 3.3.柱面坐标系中的三族坐标面为：柱面坐标系中的三族坐标

34、面为：r常数，表示以常数，表示以z z轴为中心轴的圆柱面族轴为中心轴的圆柱面族;=常数，表示过常数，表示过z z轴的半平面族轴的半平面族;z常数，表示平行于常数，表示平行于 xOy 面的平面族面的平面族.x y z O M x y z r),(z y x P),(z r O z r r z r z z z x y （b）(a)(a)再将坐标变换关系式代入被积函数再将坐标变换关系式代入被积函数),(zyxf中，便中，便得到三重积分在柱面坐标系中的表达式得到三重积分在柱面坐标系中的表达式 zrrzrrfVzyxfddd),sin,cos(d),(在计算时在计算时,再进一步将式化为累次积分再进一步将

35、式化为累次积分.考虑积分区域考虑积分区域被柱面坐标的三族坐标面分割后的小被柱面坐标的三族坐标面分割后的小区域区域V的体积，由上页图的体积，由上页图(b)(b)可看出，小直柱体可看出，小直柱体 V可以可以近似地被看作为小长方体，其三边分别为近似地被看作为小长方体，其三边分别为,zrr因此因此zrrV 于是，在柱面坐标系中的体积元素为于是，在柱面坐标系中的体积元素为 zrrVdddd.4 4.柱柱面面坐坐标标系系中中的的三三重重积积分分计计算算 例例 3 3 计算三重积分计算三重积分Vyxd)(22，其中，其中 是是以以 z 轴为对称轴轴为对称轴,a为半径的圆柱体位于为半径的圆柱体位于 0zh 间

36、的间的部分部分(h0)0)(见下图见下图).).解解 采用柱面坐标，则所给的积采用柱面坐标，则所给的积分区域分区域可用不等式组可用不等式组 0ra,0 2,0zh 表示，因此表示，因此 zrrrVyxdddd)(222 =ahhazrr00432021ddd.x y z h O a 1.1.球面坐标：设球面坐标：设P P为空间中的一点，为空间中的一点，M 为在为在 xOy面上的投影，面上的投影，表示表示P P到原点到原点 O 的距离，的距离，为从为从 Ox轴正向转到轴正向转到 OM 的夹角的夹角,为从为从 Oz 轴正向转到轴正向转到 OP的夹角的夹角,并规定并规定,00 2,0 于是空间任一点

37、于是空间任一点P P（原点除外）就与有序数组（原点除外）就与有序数组),(成一一对应，这样所确定的坐标系称为球面坐标系，成一一对应，这样所确定的坐标系称为球面坐标系，称称),(为点为点P P的球面坐标（见下页图（的球面坐标（见下页图（a a）.2 2.球球面面坐坐标标和和直直角角坐坐标标的的关关系系为为：.cos,sinsin,cossinzyx 3.3.球面坐标系中的三族坐标面为球面坐标系中的三族坐标面为:=常数，表示以原点为中心的球面族常数，表示以原点为中心的球面族;=常数，表示通过常数，表示通过z z轴的半平面族轴的半平面族;=常数，表示顶点在原点、以常数，表示顶点在原点、以z z轴为轴

38、轴为轴的圆锥面族的圆锥面族.四、在球面坐标系中计算三重积分四、在球面坐标系中计算三重积分 4 4.柱柱面面坐坐标标系系中中的的三三重重积积分分计计算算 为为了了应应用用球球面面坐坐标标来来计计算算),(zyxf在在上上的的三三重重积积分分，我我们们来来考考虑虑积积分分区区域域被被球球面面坐坐标标的的三三族族坐坐标标面面分分割割后后的的小小区区域域V的的体体积积,由由见见上上图图(b b)可可看看出出V可可以以近近似似地地看看作作为为以以,sin为为棱棱长长的的小小长长方方体体,因因此此 .sin2V M y x x y z z),(z y x P),(a a)x y sin z (b b)于于

39、是是,在在球球面面坐坐标标系系中中的的体体积积元元素素为为 dddsind2V.再将再将坐标坐标变换变换关系式关系式代入被积函数代入被积函数),(zyxf中，便中，便得到三重积分在球面坐标系中的表达式得到三重积分在球面坐标系中的表达式 Vzyxfd),(dddsin)cos,sinsin,cossin(2f 在在计计算算时时,再再进进一一步步将将式式化化为为累累次次积积分分.例例 4 4 将三重积分将三重积分Vzyxfd),(化为球面坐标系中化为球面坐标系中的累次积分，其中的累次积分，其中是是222zyxRz2（见下图）（见下图）.解解 采用球面坐标，将采用球面坐标，将坐标坐标变换式变换式代入

40、，则区域代入，则区域 边界的球面方程为边界的球面方程为 cos2R Vzyxfd),(dddsin)cos,sinsin,cossin(2f .d)cos,sinsin,cossin(dsindcos2022020Rf 于是，于是，可用不等式组可用不等式组 0cos2R0,2,0 2 给出，给出，故故 z x y O cos 2 R 思考题思考题 1.1.试述计算三重积分的步骤试述计算三重积分的步骤.2 2.总总结结出出在在不不同同的的坐坐标标系系下下，区区域域的的表表达达式式和和相相应应的的积积分分表表达达式式.*第四节第四节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、一、对坐标的曲线积分的概念及

41、性质对坐标的曲线积分的概念及性质二、二、对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算 用微元法思想解决这个问题用微元法思想解决这个问题.第一步：求功的微元，在第一步：求功的微元，在 L 上上 任取一微小弧段任取一微小弧段1iiMM，在这小，在这小 弧段上，我们设想力弧段上，我们设想力 F 保持不变，保持不变，并用有向线段并用有向线段 dddlxyij,来代替弧来代替弧 1iiMM，于是得功的微元为，于是得功的微元为 yyxQxyxPlFWd),(d),(dd.1 1.设设质质点点在在 xOy 平平面面内内，受受变变力力(,)(,)(,)F x yP x yQ x yij 的的作作用用，沿沿有有

42、向向曲曲线线 L（如如右右下下图图）从从点点 A 运运动动到到点点 B，求求力力 F 所所做做的的功功.O dx dy i M A B 1-i M l d x y*第四节第四节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质一、对坐标的曲线积分的概念及性质 设有矢量函数设有矢量函数 (,)(,)(,)F x yP x yQ x yij ，L 为有向为有向光滑曲线弧，且光滑曲线弧，且),(),(yxQyxP在在 L 上连续，则上述两步所上连续，则上述两步所得的表达式得的表达式yyxQxyxPlFLLd),(d),(d称为函数称为函数),(yxF在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上对

43、坐标的曲线积分上对坐标的曲线积分.等式左边是曲线积分的矢量形式（物理意义明显），等等式左边是曲线积分的矢量形式（物理意义明显），等 式右边是曲线积分的坐标形式（便于计算）式右边是曲线积分的坐标形式（便于计算）.第二步：将上述微元沿曲线弧第二步：将上述微元沿曲线弧L L无限累加（这一运算无限累加（这一运算 记为“记为“L”），则得所求功为”），则得所求功为 yyxQxyxPlFWLLd),(d),(d.2.对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念 有时我们会遇到有时我们会遇到),(),(yxQyxP中一个是零的情况，中一个是零的情况，这时曲线积分的坐标形式为这时曲线积分的坐标形式为 Lxyx

44、Pd),(或或LyyxQd),(.曲线曲线L L也可以是封闭曲线，该积分称为沿闭回路的曲线积也可以是封闭曲线，该积分称为沿闭回路的曲线积分，记为分，记为ddLP xQ y.(1)(1)改变积分路径改变积分路径L L的方向，则积分改变符号，的方向，则积分改变符号，即即 yQxPyQPdxLLddd.(2)(2)若若21LLL，则则 yQxPyQxPyQxPLLLdddddd21.3.性质性质 设曲线设曲线 L 由参数方程给出由参数方程给出L:(),(),xtytat 对 应对 应L的起点，的起点，t对应对应 L 的终点的终点(这里这里 a 不一定要小于不一定要小于 )，当参数当参数 t 由由 a

45、 变到变到 时，点时，点),(yxM就描出有向弧段就描出有向弧段 L.又函数又函数),(yxP),(yxQ在在 L 上连续，上连续，则有则有 yyxQxyxPLd)(d),(=(),()()(),()()dPtttQtttt.即曲线积分仍是化为定积分计算，这里有三个“替换”：即曲线积分仍是化为定积分计算，这里有三个“替换”：被积函数中的被积函数中的 x,y 用积分路径用积分路径 L 的方程替换；的方程替换；dx,dy 用用 L的方程求微分后替换；积分路径的方程求微分后替换；积分路径 L 被被 L 的起点和终点的参的起点和终点的参数值来替换数值来替换.二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积

46、分的计算 设曲线设曲线 L 的方程由的方程由)(xfy 给出，它可视为参数方程的特给出，它可视为参数方程的特殊情况，此时有殊情况，此时有 yyxQxyxPLd),(d),(=baxxfxfxQxfxPd)()(,)(,.下限下限 a 对应对应 L 的起点，上限的起点，上限 b 对应对应 L 的终点的终点.完全类似，若曲线完全类似，若曲线 L 由方程由方程()xy给出时，则将化为对给出时，则将化为对y 的定积分的定积分.例例 1 1 计算计算xyyxLdd，其中，其中 L 为为 (1)(1)从点从点)0,(aA到点到点),0(bB的一段椭圆的一段椭圆12222byax弧；弧；(2)(2)直线段直

47、线段 AB（如下页图）（如下页图）.解解（1 1）椭圆参数方程为）椭圆参数方程为 ,sin,costbytax 起点起点 A 对应于对应于t=0t=0，终点终点 B 对应于对应于t t =2,化为定积分为化为定积分为 20d)sin(sin)cos(cosddttatbtbtaxyyxL =abtab21d20 .O x y A(a,0)B(0,b)(2)(2)直线段直线段 AB 的方程为的方程为bxaby，起点，起点 ax，终点，终点0 x，化为对，化为对 x 的定积分为的定积分为 .dddd00abxbxbxababxxyyxaaL 该例说明，曲线积分的值是与积分路径有关该例说明，曲线积分

48、的值是与积分路径有关的，虽然两个被积函数相同，起点与终点也相同，的，虽然两个被积函数相同，起点与终点也相同，但是沿不同的路径积分，积分值却不同但是沿不同的路径积分，积分值却不同.解解(1)(1)化为对化为对 x 的定积分的定积分.L:2xy 从从 0 变到变到 1,所所以以122202dd(22)dLxy xxyxxxxx1304d1.xx (2)(2)化为对化为对 y 的定积分的定积分.L:2yx 从从 0 变到变到 1,所所以以122402dd(22)dLxy xxyy y yyy1405d1.yy 例例 2 2 计算计算yxxxyLdd22,其中其中 L为为 (1)(1)抛物线抛物线2x

49、y 上从点上从点)0,0(O 到点到点)1,1(B;(2)(2)抛物线抛物线2yx 上从点上从点 O 到点到点 B;(3)(3)有向折线有向折线OAB(如右图如右图).).O x y A(1,0)B(1,1)(3)(3)22ddOABxy xxy 222dd2ddOAABxy xxyxy xxy.在在OA上，上，xyy,0d,0从从 0 0 变到变到 1,1,所以所以 12202dd(200)d0,OAxy xxyxxx 在在AB上，上，yxx,0d,1从从 0 0 变到变到 1,1,所以所以 1202dd(20 1)d1,ABxy xxyyy 从而从而 110dd22yxxxyOAB.该例说

50、明该例说明,对有些函数对有些函数),(),(yxQyxP，它们的曲线，它们的曲线积分值只与积分路径的起点和终点有关，而与连接起积分值只与积分路径的起点和终点有关，而与连接起点与终点的路径本身无关点与终点的路径本身无关.下面讨论空间曲线的情况下面讨论空间曲线的情况.设空间有向曲线弧设空间有向曲线弧 的的参数方程为参数方程为(),(),()xtytzt.函数函数),(),(zyxQzyxP),(zyxR在在 上是连续的上是连续的,则有则有 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(=(),(),()()(),(),()PttttQttt ()(),(),()()tRttttdt.其中下